Распределенная задержка

В статистике и эконометрике модель с распределенным лагом — это модель данных временных рядов , в которой уравнение регрессии используется для прогнозирования текущих значений зависимой переменной на основе как текущих значений объясняющей переменной , так и запаздывающих (прошлый период) значений эту объясняющую переменную.

Отправной точкой для модели с распределенным лагом является предполагаемая структура вида

$y_{t}=a+w_{0}x_{t}+w_{1}x_{t-1}+w_{2}x_{t-2}+...+{\text{error term}}$

или форма

$y_{t}=a+w_{0}x_{t}+w_{1}x_{t-1}+w_{2}x_{t-2}+...+w_{n}x_{t-n}+{\text{error term}},$

где y _t — значение в период времени t зависимой переменной y , a — оцениваемый член, а w _i называется лаговым весом (также подлежащим оценке), приложенным к значению i периодов ранее независимой переменной. х . В первом уравнении предполагается, что на зависимую переменную влияют значения независимой переменной сколь угодно далеко в прошлом, поэтому количество весов запаздывания бесконечно, и модель называется моделью с бесконечным распределенным запаздыванием . В альтернативном втором уравнении имеется только конечное число весов лага, что указывает на предположение о том, что существует максимальный лаг, за пределами которого значения независимой переменной не влияют на зависимую переменную; модель, основанная на этом предположении, называется моделью с конечным распределенным лагом .

В модели с бесконечным распределенным лагом необходимо оценить бесконечное количество весов лагов; ясно, что это можно сделать только в том случае, если предположить некоторую структуру отношений между различными весами запаздывания, причем вся их бесконечность выражается через конечное число предполагаемых основных параметров. В модели с конечным распределенным запаздыванием параметры могут быть непосредственно оценены с помощью обычного метода наименьших квадратов (при условии, что количество точек данных значительно превышает количество весов запаздывания); тем не менее, такая оценка может дать очень неточные результаты из-за крайней мультиколлинеарности между различными лаговыми значениями независимой переменной, поэтому снова может потребоваться предположить некоторую структуру связи между различными весами лага.

Концепция моделей с распределенным запаздыванием легко обобщается на контекст более чем одной объясняющей переменной в правой части.

Неструктурированная оценка

Самый простой способ оценить параметры, связанные с распределенными лагами, — это использовать обычный метод наименьших квадратов , предполагая фиксированный максимальный лаг. $p$, предполагая независимо и одинаково распределенные ошибки и не налагая никакой структуры на отношения коэффициентов запаздывающих объяснителей друг с другом. Однако часто возникает мультиколлинеарность среди отстающих объяснителей, что приводит к высокой дисперсии оценок коэффициентов.

Структурированная оценка

Структурированные модели с распределенным лагом бывают двух типов: конечные и бесконечные. Бесконечные распределенные лаги позволяют значению независимой переменной в определенный момент времени влиять на зависимую переменную бесконечно далеко в будущем, или, другими словами, они позволяют значению независимой переменной влиять на текущее значение зависимой переменной. это произошло бесконечно давно; но после некоторого периода задержки эффект снижается до нуля. Конечные распределенные лаги позволяют независимой переменной в определенный момент времени влиять на зависимую переменную только в течение конечного числа периодов.

Конечные распределенные лаги

Наиболее важной структурированной моделью с конечным распределенным лагом является Алмона модель лага . Эта модель позволяет данным определять форму лаговой конструкции, но исследователь должен указать максимальную длину лагов; неправильно указанная максимальная длина лага может исказить форму предполагаемой структуры лага, а также кумулятивный эффект независимой переменной. Лаг Алмона предполагает, что k + 1 лаговых весов связаны с n + 1 линейно оцениваемыми базовыми параметрами ( n < k ) a _j в соответствии с

$w_{i}=\sum _{j=0}^{n}a_{j}i^{j}$

для $i=0,\dots ,k.$

Бесконечные распределенные лаги

Наиболее распространенным типом структурированной модели бесконечного распределенного лага является геометрический лаг , также известный как лаг Койка . В этой лаговой структуре веса (величины влияния) значений запаздывающих независимых переменных уменьшаются экспоненциально с длиной лага; хотя форма лаговой структуры, таким образом, полностью зависит от выбора этого метода, скорость снижения, а также общая величина эффекта определяются данными. Спецификация уравнения регрессии очень проста: в качестве поясняющих элементов (правых переменных в регрессии) включаются значение зависимой переменной с лагом в один период и текущее значение независимой переменной:

$y_{t}=a+\lambda y_{t-1}+bx_{t}+{\text{error term}},$

где $0\leq \lambda <1$. В этой модели краткосрочный (за один и тот же период) эффект изменения единицы измерения независимой переменной равен значению b , тогда как долгосрочный (кумулятивный) эффект устойчивого изменения единицы измерения независимой переменной можно показать как быть

$b+\lambda b+\lambda ^{2}b+...=b/(1-\lambda ).$

Были предложены другие модели с бесконечным распределенным запаздыванием, позволяющие данным определять форму структуры запаздывания. Полиномиальная обратная задержка предполагает, что веса лагов связаны с базовыми, линейно оцениваемыми параметрами a _j в соответствии с

$w_{i}=\sum _{j=2}^{n}{\frac {a_{j}}{(i+1)^{j}}},$

для $i=0,\dots ,\infty .$

комбинации Лаг геометрической предполагает, что веса лагов связаны с базовыми, линейно оцениваемыми параметрами a _j согласно либо

$w_{i}=\sum _{j=2}^{n}a_{j}(1/j)^{i},$

для $i=0,\dots ,\infty$ или

$w_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}[j/(n+1)]^{i},$

для $i=0,\dots ,\infty .$

Гамма -лаг и рациональное отставание другие структуры с бесконечной распределенной задержкой.

Модель распределенного лага в исследованиях здоровья

Модели с распределенным лагом были введены в исследования, связанные со здоровьем, в 2002 году Занобетти и Шварцем. Байесовская версия модели была предложена Уэлти в 2007 году. Гаспаррини представил более гибкие статистические модели в 2010 году. которые способны описывать дополнительные временные измерения зависимости «воздействие-реакция», и разработали семейство нелинейных моделей с распределенным запаздыванием (DLNM), структуру моделирования, которая может одновременно представлять нелинейные зависимости «воздействие-реакция» и отложенные эффекты.

Концепция модели с распределенным лагом была впервые применена к продольным когортным исследованиям в 2015 году. Сюем изучение взаимосвязи между PM2,5 и детской астмой , а также более сложный метод распределенного лага, предназначенный для проведения анализа продольных когортных исследований, такого как байесовская модель взаимодействия с распределенным лагом. Уилсоном впоследствии были разработаны для ответа на аналогичные исследовательские вопросы.

См. также

• АРМАКС
• Смешанная выборка данных