Функция (математика)

«f(x)» перенаправляется сюда. Не путать с f(x) (музыкальная группа) .

В математике функция от множества X один к множеству Y сопоставляет каждому элементу X элемент Y. ровно Множество X называется областью определения функции а множество Y называется кодобластью функции.

Первоначально функции были идеализацией того, как изменяющаяся величина зависит от другой величины. Например, положение планеты является функцией времени . Исторически это понятие было разработано с помощью исчисления бесконечно малых в конце 17 века, и до 19 века рассматриваемые функции были дифференцируемыми (то есть имели высокую степень регулярности). Понятие функции было формализовано в конце XIX века в терминах теории множеств , что значительно расширило области применения этого понятия.

Функция часто обозначается буквой, например f , g или h . Значение функции f в элементе x ее области определения (то есть элементе области значений, связанном с x ) обозначается f ( x ) ; например, значение f при x = 4 обозначается f (4) . Обычно конкретная функция определяется с помощью выражения, зависящего от x , например $f(x)=x^{2}+1;$ в этом случае некоторые вычисления, называемые оценка функции может потребоваться для вывода значения функции при определенном значении; например, если $f(x)=x^{2}+1,$ затем $f(4)=4^{2}+1=17.$

Учитывая ее область определения и ее кодомен, функция однозначно представляется набором всех пар ( x , f ( x )) , называемым графиком функции , популярным средством иллюстрации функции. Когда домен и кодомен представляют собой наборы действительных чисел, каждую такую ​​пару можно рассматривать как декартовы координаты точки на плоскости.

Функции широко используются в науке , технике и в большинстве областей математики. Было сказано, что функции являются «центральными объектами исследования» в большинстве областей математики.

Определение

Схематическое изображение функции, метафорически описываемой как «машина» или « черный ящик », которая для каждого входа дает соответствующий результат.

Красная кривая — это график функции , поскольку любая вертикальная линия имеет ровно одну точку пересечения с кривой.

Функция — f из множества X в множество Y присвоение одного элемента Y каждому элементу X. это Множество X называется областью определения функции, а множество Y называется областью определения функции.

Если элемент y в Y присваивается x в X функцией f , говорят, что f отображает x в y , и это обычно пишется $y=f(x).$В этих обозначениях x — аргумент или переменная функции. Конкретный элемент x из X — это значение переменной , а соответствующий элемент Y — это функции в точке x или изображение x значение под функцией.

Функция f , ее область определения X и ее кодомен Y часто задаются обозначением $f:X\to Y.$ В этом случае можно написать $x\mapsto y$ вместо $y=f(x).$Это позволяет определить функцию без присвоения ей имени. Например, квадратичная функция — это функция $x\mapsto x^{2}.$

Домен и кодомен не всегда задаются явно при определении функции. В частности, обычно без каких-либо (возможно, сложных) вычислений можно узнать только то, что область определения конкретной функции содержится в более широком наборе. Например, если $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — действительная функция , определение области определения функции $x\mapsto 1/f(x)$требуется знать нули f . Это одна из причин, по которой в математическом анализе «функция от X до Y » может относиться к функции, имеющей правильное подмножество X в качестве области определения. Например, «функция от действительных чисел к действительным числам» может относиться к действительной функции действительной переменной , областью определения которой является правильное подмножество действительных чисел , обычно подмножество, содержащее непустой открытый интервал . Такая функция тогда называется частичной функцией .

Диапазон изображение или всех функции — это набор изображений элементов в области определения.

Функция f на множестве S означает функцию из области S без указания кодомена. некоторые авторы используют его как сокращение для обозначения функции f : S → S. Однако

Формальное определение

Схема функции

Схема отношения, которое не является функцией. Одна из причин заключается в том, что 2 является первым элементом более чем в одной упорядоченной паре. Другая причина заключается в том, что ни 3, ни 4 не являются первым элементом (входом) любой упорядоченной пары в нем.

Приведенное выше определение функции по существу является определением исчисления , Лейбница Ньютона Эйлера и основателей . Однако оно не может быть формализовано , поскольку не существует математического определения «присвоения». Лишь в конце XIX века удалось дать первое формальное определение функции с точки зрения теории множеств . Это теоретико-множественное определение основано на том факте, что функция устанавливает связь между элементами домена и некоторыми (возможно, всеми) элементами кодомена. Математически бинарное отношение между двумя множествами X и Y является подмножеством множества всех упорядоченных пар. $(x,y)$ такой, что $x\in X$ и $y\in Y.$ Множество всех этих пар называется декартовым произведением X и Y и обозначается $X\times Y.$ Таким образом, приведенное выше определение можно формализовать следующим образом.

Функция , с областью определения X и кодоменом Y представляет собой бинарное отношение R между X и Y которое удовлетворяет двум следующим условиям:

• Для каждого $x$ в $X$ Существует $y$ в $Y$ такой, что $(x,y)\in R.$
• $(x,y)\in R$ и $(x,z)\in R$ подразумевать $y=z.$

Еще более формально, без явной ссылки на концепцию отношения, но используя больше обозначений (включая нотацию построителя множеств ):

Функция формируется тремя множествами, областью определения $X,$ кодомен ​ $Y,$ и график $R$ которые удовлетворяют трем следующим условиям.

• $R\subset \{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}$
• $\forall x\in X,\exists y\in Y,\left(x,y\right)\in R\qquad$
• $(x,y)\in R\land (x,z)\in R\implies y=z\qquad$

Частичные функции

Основная статья: Частичная функция

Частичные функции определяются аналогично обычным функциям, с удаленным условием «итого». То есть частичная функция от X до Y — это бинарное отношение R между X и Y такое, что для каждого $x\in X,$ существует не более одного y в Y такого, что $(x,y)\in R.$

Используя функциональную запись, это означает, что при условии $x\in X,$ или $f(x)$ находится в Y или не определено.

Множество элементов X таких, что $f(x)$определена и принадлежит Y , называется областью определения функции. Таким образом , частичная функция от X до Y является обычной функцией, областью определения которой является подмножество X , называемое областью определения функции. Если область определения равна X , часто говорят, что частичная функция является полной функцией .

В некоторых областях математики термин «функция» относится к частичным функциям, а не к обычным функциям. Обычно это тот случай, когда функции могут быть определены таким образом, что определение их области определения становится затруднительным или даже невозможным.

В исчислении вещественная функция действительной переменной или действительная функция — это частичная функция из множества $\mathbb {R}$действительных чисел к себе. Учитывая действительную функцию $f:x\mapsto f(x)$ его мультипликативное обратное $x\mapsto 1/f(x)$также является реальной функцией. Определение области определения мультипликативной обратной (частичной) функции сводится к вычислению нулей функции, значений, в которых определена функция, но не ее мультипликативной обратной функции.

Аналогично, функция комплексной переменной обычно представляет собой частичную функцию с областью определения, включенной в множество $\mathbb {C}$комплексных чисел . Трудность определения области определения комплексной функции иллюстрируется мультипликативной обратной дзета-функцией Римана : определение области определения функции $z\mapsto 1/\zeta (z)$ более или менее эквивалентно доказательству или опровержению одной из главных открытых проблем математики — гипотезы Римана .

В теории вычислимости общерекурсивная функция — это частичная функция от целых чисел к целым числам, значения которой могут быть вычислены с помощью алгоритма (грубо говоря). Областью определения такой функции является набор входных данных, для которых алгоритм не работает вечно. Фундаментальная теорема теории вычислимости заключается в том, что не может существовать алгоритм, который принимает на вход произвольную общерекурсивную функцию и проверяет, принадлежит ли 0 ее области определения (см. Проблема остановки ).

Многомерные функции

Не путать с многозначной функцией .

Бинарная операция — типичный пример двумерной функции, которая присваивает каждой паре $(x,y)$ результат $x\circ y$.

Многомерная функция , многомерная функция или функция нескольких переменных — это функция, которая зависит от нескольких аргументов. Такие функции встречаются часто. Например, положение автомобиля на дороге зависит от пройденного времени и его средней скорости.

Формально функция n переменных — это функция, областью определения которой является набор из n -кортежей. Например, умножение целых чисел — это функция двух переменных или двумерная функция , областью определения которой является множество всех упорядоченных пар (2-кортежей) целых чисел, а кодоменом является множество целых чисел. То же самое верно для каждой бинарной операции . Обычно n -кортеж обозначается заключенным в круглые скобки, например, в $(1,2,\ldots ,n).$ При использовании функциональной записи обычно опускают круглые скобки, окружающие кортежи, записывая $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ вместо $f((x_{1},\ldots ,x_{n})).$

Даны n наборов $X_{1},\ldots ,X_{n},$ набор всех n -кортежей $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ такой, что $x_{1}\in X_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{n}$ называется произведением декартовым $X_{1},\ldots ,X_{n},$ и обозначили $X_{1}\times \cdots \times X_{n}.$

Следовательно, многомерная функция — это функция, областью определения которой является декартово произведение или собственное подмножество декартова произведения.

$f:U\to Y,$

где область U имеет вид

$U\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}.$

Если все $X_{i}$ равны множеству $\mathbb {R}$ действительных чисел или множества $\mathbb {C}$ о комплексных числах говорят соответственно о функции нескольких действительных переменных или о функции нескольких комплексных переменных .

Обозначения

Существуют различные стандартные способы обозначения функций. Наиболее часто используемой нотацией является функциональная нотация, которая является первой нотацией, описанной ниже.

Функциональное обозначение

Функциональная запись требует, чтобы функции было присвоено имя, которое в случае неопределенной функции часто представляет собой букву f . Затем применение функции к аргументу обозначается ее именем, за которым следует ее аргумент (или, в случае многомерных функций, ее аргументы), заключенный в круглые скобки, например, в

$f(x),\quad \sin(3),\quad {\text{or}}\quad f(x^{2}+1).$

Аргументом в круглых скобках может быть переменная , часто x , которая представляет произвольный элемент области определения функции, конкретный элемент области определения ( 3 в приведенном выше примере) или выражение , которое можно вычислить как элемент домен ( $x^{2}+1$в приведенном выше примере). Использование неопределенной переменной между круглыми скобками полезно для явного определения функции, например, в «let $f(x)=\sin(x^{2}+1)$".

Когда символ, обозначающий функцию, состоит из нескольких символов и не может возникнуть никакой двусмысленности, круглые скобки функционального обозначения могут быть опущены. принято писать sin x Например, вместо sin( x ) .

Функциональная запись была впервые использована Леонардом Эйлером в 1734 году. Некоторые широко используемые функции обозначаются символом, состоящим из нескольких букв (обычно двух или трех, обычно это сокращение их названия). В этом случае вместо него обычно используется латинский шрифт , например « sin » для функции синуса , в отличие от курсива для однобуквенных символов.

Функциональная нотация часто используется в разговорной речи для ссылки на функцию и одновременного обозначения ее аргумента, например, в «let $f(x)$ быть функцией». Это злоупотребление обозначениями , которое полезно для более простой формулировки.

Обозначение стрелок

Обозначение стрелки определяет правило встроенной функции, не требуя присвоения имени функции. Например, $x\mapsto x+1$ — это функция, которая принимает на вход действительное число и выводит это число плюс 1. Опять же, домен и кодомен $\mathbb {R}$ подразумевается.

Домен и кодомен также могут быть указаны явно, например:

${\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}$

Это определяет функцию sqr, преобразующую целые числа в целые числа, которая возвращает квадрат входных данных.

В качестве общего применения обозначения стрелок предположим, что $f:X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)$ — это функция двух переменных, и мы хотим сослаться на частично примененную функцию $X\to Y$получается путем присвоения второму аргументу значения t ₀ без введения нового имени функции. Рассматриваемую карту можно обозначить $x\mapsto f(x,t_{0})$используя обозначения стрелок. Выражение $x\mapsto f(x,t_{0})$ (читай: «отображение, переводящее x в f из x нулем с ») представляет эту новую функцию только с одним аргументом, тогда как выражение f ( x ₀ , t ₀ ) относится к значению функции f в точке ( x ₀ , т ₀ ) .

Обозначение индекса

Вместо функциональной записи можно использовать индексную нотацию. То есть вместо записи f ( x ) пишут $f_{x}.$

Обычно это относится к функциям, областью определения которых является множество натуральных чисел . Такая функция называется последовательностью , и в этом случае элемент $f_{n}$ называется n- м элементом последовательности.

Обозначение индекса также можно использовать для различения некоторых переменных, называемых параметрами , от «истинных переменных». По сути, параметры — это конкретные переменные, которые считаются фиксированными в ходе исследования проблемы. Например, карта $x\mapsto f(x,t)$ (см. выше) будет обозначаться $f_{t}$ используя индексную нотацию, если мы определим набор карт $f_{t}$ по формуле $f_{t}(x)=f(x,t)$ для всех $x,t\in X$.

Точечная запись

В обозначениях $x\mapsto f(x),$символ x не представляет никакого значения; это просто заполнитель , означающий, что если x заменяется каким-либо значением слева от стрелки, оно должно быть заменено тем же значением справа от стрелки. Следовательно, x можно заменить любым символом, часто вставочным знаком « ⋅ ». Это может быть полезно для того, чтобы отличить функцию f (⋅) от ее значения f ( x ) в точке x .

Например, $a(\cdot )^{2}$ может обозначать функцию $x\mapsto ax^{2}$, и ${\textstyle \int _{a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du}$ может обозначать функцию, определяемую интегралом с переменной верхней границей: ${\textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}$.

Специализированные обозначения

Существуют и другие специализированные обозначения функций в разделах математики. Например, в линейной алгебре и функциональном анализе линейные формы и векторы , на которые они действуют, обозначаются с помощью двойственной пары , чтобы показать основную двойственность . Это похоже на использование обозначений брекета в квантовой механике. В логике и теории вычислений функция лямбда-исчисления используется для явного выражения основных понятий абстракции и применения функций . В теории категорий и гомологической алгебре сети функций описываются с точки зрения того, как они и их композиции коммутируют друг с другом с использованием коммутативных диаграмм , которые расширяют и обобщают стрелочные обозначения для функций, описанных выше.

Функции более чем одной переменной

В некоторых случаях аргументом функции может быть упорядоченная пара элементов, взятых из некоторого набора или наборов. Например, функцию f можно определить как отображение любой пары действительных чисел. $(x,y)$ к сумме их квадратов, $x^{2}+y^{2}$. Такую функцию обычно записывают как $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$и называется «функцией двух переменных». Точно так же можно иметь функцию трех или более переменных с такими обозначениями, как $f(w,x,y)$, $f(w,x,y,z)$.

Другие термины

Для более широкого освещения этой темы см. Карта (математика) .

Срок	Отличие от «функции»
Карта/Картографирование	Никто; эти термины являются синонимами.
	Кодоменом карты может быть любой набор , а в некоторых контекстах, обычно в старых книгах, кодоменом функции является набор действительных или комплексных чисел.
	Альтернативно, карта связана со специальной структурой (например, путем явного указания структурированного кодомена в ее определении). Например, линейная карта .
Гомоморфизм	Функция между двумя структурами одного типа, сохраняющая операции структуры (например, групповой гомоморфизм ).
Морфизм	Обобщение гомоморфизмов на любую категорию , даже если объекты категории не являются множествами (например, группа определяет категорию только с одним объектом, который имеет элементы группы как морфизмы; см. Категория (математика) § Примеры для этот пример и другие подобные).

Функцию также можно назвать картой или отображением , но некоторые авторы проводят различие между терминами «карта» и «функция». Например, термин «карта» часто используется для обозначения «функции» с какой-то специальной структурой (например, карты многообразий ). В частности, можно использовать карту вместо гомоморфизма для краткости (например, линейное отображение или отображение из G в H вместо группового гомоморфизма из G в H ). Некоторые авторы слов зарезервируйте отображение для случая, когда структура кодомена явно принадлежит определению функции.

Некоторые авторы, такие как Серж Ланг , используйте слово «функция» только для обозначения карт, для которых кодомен является подмножеством действительных или комплексных чисел , и используйте термин «отображение» для более общих функций.

В теории динамических систем карта обозначает функцию эволюции, используемую для создания дискретных динамических систем . См. также карту Пуанкаре .

Какое бы определение карты ни использовалось, связанные термины, такие как домен , кодомен , инъективный , непрерывный, имеют то же значение, что и для функции.

Указание функции

Дана функция $f$, по определению, каждому элементу $x$ области определения функции $f$, с ним связан уникальный элемент, значение $f(x)$ из $f$ в $x$. Существует несколько способов указать или описать, как $x$ относится к $f(x)$, как явно, так и неявно. Иногда теорема или аксиома утверждают существование функции, обладающей некоторыми свойствами, не описывая ее более точно. Часто спецификацию или описание называют определением функции. $f$.

Перечислив значения функций

На конечном множестве функция может быть определена путем перечисления элементов кодомена, которые связаны с элементами домена. Например, если $A=\{1,2,3\}$, то можно определить функцию $f:A\to \mathbb {R}$ к $f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.$

По формуле

Функции часто определяются выражением , которое описывает комбинацию арифметических операций и ранее определенных функций; такая формула позволяет вычислить значение функции по значению любого элемента области определения. Например, в приведенном выше примере $f$ можно определить по формуле $f(n)=n+1$, для $n\in \{1,2,3\}$.

Когда функция определена таким образом, иногда бывает сложно определить ее область определения. Если формула, определяющая функцию, содержит деления, значения переменной, знаменатель которой равен нулю, необходимо исключить из области определения; таким образом, для сложной функции определение области определения проходит через вычисление нулей вспомогательных функций. Аналогично, если в определении функции из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R} ,$ область определения входит в набор значений переменной, для которых аргументы квадратных корней неотрицательны.

Например, $f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}$ определяет функцию $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ чей домен $\mathbb {R} ,$ потому что $1+x^{2}$всегда положительно, если x — действительное число. С другой стороны, $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$определяет функцию от действительных чисел до действительных чисел, область определения которой сведена к интервалу [−1, 1] . (В старых текстах такую ​​область называли областью определения функции.)

Функции можно классифицировать по характеру формул, которые их определяют:

• Квадратичная функция – это функция, которую можно записать $f(x)=ax^{2}+bx+c,$ где a , b , c — константы .
• В более общем смысле, полиномиальная функция — это функция, которая может быть определена с помощью формулы, включающей только сложение, вычитание, умножение и возведение в степень до неотрицательных целых степеней. Например, $f(x)=x^{3}-3x-1$ и $f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1$ являются полиномиальными функциями $x$.
• Рациональная функция та же самая, но допускается также деление, например: $f(x)={\frac {x-1}{x+1}},$ и $f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.$
• Алгебраическая функция аналогична той же, но n-й корни степени и корни многочленов . также разрешены
• Элементарная функция то же самое, с разрешенными логарифмами и показательными функциями .

Обратные и неявные функции

Функция $f:X\to Y,$с областью X и кообластью Y , является биективным , если для каждого y в Y существует один и только один элемент x в X такой, что y = f ( x ) . В этом случае обратной функцией f является функция $f^{-1}:Y\to X$ это отображает $y\in Y$ к элементу $x\in X$такой, что y знак равно ж ( Икс ) . Например, натуральный логарифм — это биективная функция преобразования положительных действительных чисел в действительные числа. Таким образом, у него есть обратная функция, называемая экспоненциальной функцией , которая отображает действительные числа в положительные числа.

Если функция $f:X\to Y$ не является биективным, может случиться так, что можно выбрать подмножества $E\subseteq X$ и $F\subseteq Y$такое, что на E ограничение f является биекцией из E в F и, следовательно, имеет обратное. обратные тригонометрические функции Таким образом определяются . Например, функция косинуса путем ограничения вызывает биекцию из интервала [0, π ] на интервал [−1, 1] , а ее обратная функция, называемая арккосинусом , отображает [−1, 1] на [0, π ] . Аналогично определяются и другие обратные тригонометрические функции.

В более общем смысле, учитывая бинарное отношение R между двумя множествами X и Y , пусть E будет подмножеством X таким, что для каждого $x\in E,$ есть некоторая $y\in Y$такой, что x R y . Если имеется критерий, позволяющий выбрать такой y для каждого $x\in E,$ это определяет функцию $f:E\to Y,$ называется неявной функцией поскольку она неявно определяется отношением R. ,

Например, уравнение единичной окружности $x^{2}+y^{2}=1$определяет отношение к действительным числам. Если −1 < x < 1, существует два возможных значения y : одно положительное и одно отрицательное. При x = ± 1 эти два значения становятся равными 0. В противном случае невозможно получить значение y . Это означает, что уравнение определяет две неявные функции с областью определения [−1, 1] и соответствующими кодобластями [0, +∞) и (−∞, 0] .

В этом примере уравнение можно решить относительно y , дав $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},$но в более сложных примерах это невозможно. Например, отношение $y^{5}+y+x=0$ определяет y как неявную функцию x , называемую радикалом Приведения , которая имеет $\mathbb {R}$как домен и диапазон. Радикал «Принести» не может быть выражен через четыре арифметических действия и n- корни й степени .

Теорема о неявной функции дает мягкие условия дифференцируемости существования и единственности неявной функции в окрестности точки.

Использование дифференциального исчисления

Многие функции можно определить как первообразные другой функции. Это случай натурального логарифма , который является первообразной 1/ x , которая равна 0 для x = 1 . Другим распространенным примером является функция ошибки .

В более общем смысле, многие функции, включая большинство специальных функций , могут быть определены как решения дифференциальных уравнений . Самым простым примером, вероятно, является показательная функция , которую можно определить как уникальную функцию, равную своей производной и принимающую значение 1 для x = 0 .

Степенные ряды можно использовать для определения функций в области, в которой они сходятся. Например, показательная функция имеет вид ${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$. Однако, поскольку коэффициенты ряда совершенно произвольны, функция, представляющая собой сумму сходящегося ряда, обычно определяется иначе, а последовательность коэффициентов является результатом некоторых вычислений, основанных на другом определении. Затем степенной ряд можно использовать для расширения области определения функции. Обычно, если функция действительной переменной представляет собой сумму своего ряда Тейлора в некотором интервале, этот степенной ряд позволяет немедленно расширить область определения до подмножества комплексных чисел - круга сходимости ряда. Тогда аналитическое продолжение позволяет еще больше расширить область, включив в нее почти всю комплексную плоскость . Этот процесс представляет собой метод, который обычно используется для определения логарифма , экспоненциальной и тригонометрической функций комплексного числа.

Повторение

Основная статья: Рекуррентное соотношение

Функции, областью определения которых являются неотрицательные целые числа, известные как последовательности , иногда определяются с помощью рекуррентных отношений .

Функция факториала для неотрицательных целых чисел ( $n\mapsto n!$) является базовым примером, поскольку его можно определить рекуррентным соотношением

$n!=n(n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,$

и начальное состояние

$0!=1.$

Представление функции

График обычно используется для интуитивного представления функции. В качестве примера того, как график помогает понять функцию, по его графику легко увидеть, возрастает или убывает функция. Некоторые функции также могут быть представлены в виде гистограмм .

Графики и графики

Основная статья: График функции

Функция сопоставляет каждый год количество смертей на автомобилях в США, показанное в виде линейной диаграммы.

Та же функция, показанная в виде гистограммы

Дана функция $f:X\to Y,$ его график формально представляет собой множество

$G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.$

В частом случае, когда X и Y являются подмножествами действительных чисел (или могут быть отождествлены с такими подмножествами, например, интервалами ), элемент $(x,y)\in G$может быть отождествлен с точкой, имеющей координаты x , y в двумерной системе координат, например, декартовой плоскости . Части этого могут создать график , который представляет функцию (части). Использование графиков настолько повсеместно, что их тоже называют графиком функции . Графическое представление функций возможно и в других системах координат. Например, график квадратичной функции

$x\mapsto x^{2},$

состоящий из всех точек с координатами $(x,x^{2})$ для $x\in \mathbb {R} ,$при изображении в декартовых координатах получается хорошо известная парабола . Если та же квадратичная функция $x\mapsto x^{2},$ с тем же формальным графиком, состоящим из пар чисел, вместо этого строится в полярных координатах $(r,\theta )=(x,x^{2}),$ полученный график представляет собой спираль Ферма .

Таблицы

Основная статья: Математическая таблица

Функцию можно представить в виде таблицы значений. Если область определения функции конечна, то таким образом функцию можно полностью определить. Например, функция умножения $f:\{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R}$ определяется как $f(x,y)=xy$ можно представить знакомой таблицей умножения

и Икс	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20
5	5	10	15	20	25

С другой стороны, если область определения функции непрерывна, таблица может содержать значения функции при определенных значениях области. Если требуется промежуточное значение, интерполяцию для оценки значения функции можно использовать . Например, часть таблицы для функции синуса может быть представлена ​​следующим образом, со значениями, округленными до 6 знаков после запятой:

Икс	грех х
1.289	0.960557
1.290	0.960835
1.291	0.961112
1.292	0.961387
1.293	0.961662

До появления портативных калькуляторов и персональных компьютеров такие таблицы часто составлялись и публиковались для таких функций, как логарифмы и тригонометрические функции.

Гистограмма

Основная статья: Гистограмма

Гистограмма может представлять функцию, областью определения которой является конечное множество, натуральные числа или целые числа . В этом случае элемент x области представлен интервалом оси x , а соответствующее значение функции f ( x ) представлено прямоугольником, основанием которого является интервал, соответствующий x , и высота которого равно f ( x ) (возможно, отрицательное, и в этом случае полоса располагается ниже оси x ).

Общие свойства

В этом разделе описываются общие свойства функций, не зависящие от конкретных свойств предметной области и кодомена.

Стандартные функции

Существует ряд стандартных функций, которые встречаются часто:

• Для каждого множества X существует уникальная функция, называемая пустая функция или пустая карта пустого набора в X. из График пустой функции — это пустое множество. Существование пустых функций необходимо как для связности теории, так и для того, чтобы избежать исключений, касающихся пустого множества во многих утверждениях. При обычном теоретико-множественном определении функции как упорядоченной тройки (или эквивалентных) для каждого набора существует ровно одна пустая функция, поэтому пустая функция $\varnothing \to X$ не равен $\varnothing \to Y$ если и только если $X\neq Y$, хотя оба их графика представляют собой пустое множество .
• Для каждого набора X и каждого одноэлементного набора { s } существует уникальная функция из X в { s } , которая отображает каждый элемент X в s . Это сюръекция (см. ниже), если только X не является пустым множеством.
• Дана функция $f:X\to Y,$ каноническая сюръекция f на ее образ $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$ — это функция от X до f ( X ) , которая отображает x в f ( x ) .
• Для каждого подмножества A множества X отображение включения A A в X является инъективной (см. ниже) функцией, которая отображает каждый элемент в себя.
• Функция идентичности на множестве X , часто обозначаемая id _X , представляет собой включение X в себя.

Композиция функций

Основная статья: Композиция функций

Даны две функции $f:X\to Y$ и $g:Y\to Z$ такие, что область определения g является областью определения f , их композиция является функцией $g\circ f:X\rightarrow Z$ определяется

$(g\circ f)(x)=g(f(x)).$

То есть значение $g\circ f$получается путем первого применения f к x , чтобы получить y = f ( x ) , а затем применения g к результату y , чтобы получить g ( y ) = g ( f ( x )) . В обозначениях справа всегда пишется функция, которая применяется первой.

Сочинение $g\circ f$— это операция над функциями, которая определяется только в том случае, если кодомен первой функции является областью определения второй. Даже когда оба $g\circ f$ и $f\circ g$ удовлетворяют этим условиям, композиция не обязательно коммутативна , т. е. функции $g\circ f$ и $f\circ g$не обязательно должны быть равны, но могут предоставлять разные значения для одного и того же аргумента. Например, пусть f ( x ) = x ² и g ( x ) = x + 1 , тогда $g(f(x))=x^{2}+1$ и $f(g(x))=(x+1)^{2}$ согласен только ради $x=0.$

Композиция функций ассоциативна в том смысле, что если одна из $(h\circ g)\circ f$ и $h\circ (g\circ f)$ определено, то и другое определено, и они равны, т. е. $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).$ Поэтому обычно просто пишут $h\circ g\circ f.$

идентификации Функции $\operatorname {id} _{X}$ и $\operatorname {id} _{Y}$являются соответственно правым тождеством и левым тождеством для функций от X до Y . То есть, если f — функция с областью определения X и областью определения Y , то есть $f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f.$

• 
  Сложную функцию g ( f ( x )) можно представить как комбинацию двух «машин».
• 
  Простой пример композиции функций
• 
  Другая композиция. В этом примере ( g ∘ f )(c) = # .

Изображение и прообраз

Основная статья: Изображение (математика)

Позволять $f:X\to Y.$ Изображение это под f элемента x области X — f ( x ) . Если A — любое подмножество X , то образ A , под f , обозначаемый f ( A ) , является подмножеством кодомена Y состоящим из всех образов элементов A , то есть,

$f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.$

Образ — f есть это образ всей области, то f ( X ) . Его еще диапазоном f , называют хотя термин « диапазон» может также относиться к кодомену.

С другой стороны, прообраз или прообраз под f элемента y кодомена Y — это набор всех элементов области X , чьи образы под f равны y . В символах прообраз y обозначается $f^{-1}(y)$ и определяется уравнением

$f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.$

Аналогично, прообраз подмножества B кодомена Y — это набор прообразов элементов B , то есть это подмножество домена X , состоящее из всех элементов X образы которых принадлежат B. , Это обозначается $f^{-1}(B)$ и определяется уравнением

$f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.$

Например, прообраз $\{4,9\}$ под функцией квадрата находится множество $\{-3,-2,2,3\}$.

По определению функции образ элемента x домена всегда является одним элементом кодомена. Однако прообраз $f^{-1}(y)$элемента y кодомена может быть пустым или содержать любое количество элементов. Например, если f — это функция преобразования целых чисел в себя, которая отображает каждое целое число в 0, то $f^{-1}(0)=\mathbb {Z}$.

Если $f:X\to Y$ — функция, A и B — подмножества X , а C и D — подмножества Y , то она обладает следующими свойствами:

• $A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)$
• $C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)$
• $A\subseteq f^{-1}(f(A))$
• $C\supseteq f(f^{-1}(C))$
• $f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$
• $f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)$

Прообраз f элемента y кодомена иногда называют в некоторых слоем y f под . контекстах

Если функция f имеет обратную (см. ниже), эту обратную функцию обозначают $f^{-1}.$ В этом случае $f^{-1}(C)$ может обозначать либо изображение $f^{-1}$или прообраз f C по . Это не проблема, поскольку эти множества равны. Обозначения $f(A)$ и $f^{-1}(C)$ может быть неоднозначным в случае наборов, которые содержат некоторые подмножества в качестве элементов, например $\{x,\{x\}\}.$ В этом случае может потребоваться некоторая осторожность, например, использование квадратных скобок. $f[A],f^{-1}[C]$ для изображений и прообразов подмножеств и обычные круглые скобки для изображений и прообразов элементов.

Инъективные, сюръективные и биективные функции

Основная статья: Биекция, инъекция и сюръекция

Позволять $f:X\to Y$ быть функцией.

Функция f является инъективной (или взаимно однозначной , или является инъекцией ), если ( a ) ≠ f ( b ) для каждых двух разных элементов a и b из X. f Эквивалентно, f инъективно тогда и только тогда, когда для каждого $y\in Y,$ прообраз $f^{-1}(y)$содержит не более одного элемента. Пустая функция всегда инъективна. Если X не пустое множество, то f инъективно тогда и только тогда, когда существует функция $g:Y\to X$ такой, что $g\circ f=\operatorname {id} _{X},$ то есть, если f имеет левый обратный . Доказательство : если f инъективен, для определения g выбирается элемент $x_{0}$ в X (который существует, поскольку X предполагается непустым), и можно определить g как $g(y)=x$ если $y=f(x)$ и $g(y)=x_{0}$ если $y\not \in f(X).$ И наоборот, если $g\circ f=\operatorname {id} _{X},$ и $y=f(x),$ затем $x=g(y),$ и поэтому $f^{-1}(y)=\{x\}.$

Функция f сюръективна ) , (или на , или является сюръекцией если ее диапазон значений $f(X)$ равен его кодомену $Y$, то есть если для каждого элемента $y$ кодомена существует некоторый элемент $x$ домена такой, что $f(x)=y$ (другими словами, прообраз $f^{-1}(y)$ каждого $y\in Y$ непусто). Если, как обычно в современной математике, аксиома выбора предполагается , то f сюръективна тогда и только тогда, когда существует функция $g:Y\to X$ такой, что $f\circ g=\operatorname {id} _{Y},$ то есть, если f имеет правую обратную . Аксиома выбора необходима, потому что, если f сюръективно, g определяется как $g(y)=x,$ где $x$ является произвольно выбранным элементом $f^{-1}(y).$

Функция f является биективной (или является биекцией или взаимно-однозначным соответствием ), если она одновременно инъективна и сюръективна. То есть f является биективным, если для каждого $y\in Y,$ прообраз $f^{-1}(y)$содержит ровно один элемент. Функция f является биективной тогда и только тогда, когда она допускает обратную функцию , т. е. функцию $g:Y\to X$ такой, что $g\circ f=\operatorname {id} _{X}$ и $f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.$ (В отличие от случая сюръекций, здесь не требуется аксиома выбора; доказательство простое).

Каждая функция $f:X\to Y$ может быть факторизован как композиция $i\circ s$сюръекции с последующей инъекцией, где s — каноническая сюръекция X на f ( X ) а i — каноническая инъекция f ( X ) в Y. , Это факторизация f . каноническая

«Один-к-одному» и «на» — термины, которые были более распространены в старой англоязычной литературе; «Инъективный», «сюръективный» и «биективный» изначально были придуманы как французские слова во второй четверти 20-го века группой Бурбаки и импортированы в английский язык. В качестве предостережения отметим, что «взаимнооднозначная функция» является инъективной, а «взаимнооднозначное соответствие» относится к биективной функции. Кроме того, утверждение « f отображает X на Y » отличается от утверждения « f отображает X в B » тем, что первое подразумевает, что f сюръективно, а второе не делает никаких утверждений о природе f . В сложных рассуждениях легко можно пропустить разницу в одну букву. Из-за запутанного характера этой старой терминологии популярность этих терминов снизилась по сравнению с терминами Бурбака, которые также имеют то преимущество, что они более симметричны.

Ограничение и расширение

Основная статья: Ограничение (математика)

Если $f:X\to Y$ — функция, а S — подмножество X , ограничение то $f$ к S , обозначенному $f|_{S}$, — это функция от S до Y , определяемая формулой

$f|_{S}(x)=f(x)$

для x в S. всех можно использовать ограничения Для определения частичных обратных функций : если существует подмножество S области определения функции $f$ такой, что $f|_{S}$ инъективен, то каноническая сюръекция $f|_{S}$ на его изображение $f|_{S}(S)=f(S)$ является биекцией и, следовательно, имеет обратную функцию от $f(S)$к С. ​ Одним из приложений является определение обратных тригонометрических функций . Например, функция косинуса инъективна, если она ограничена интервалом [ 0, π ] . Образом этого ограничения является интервал [−1, 1] и, таким образом, ограничение имеет обратную функцию от [−1, 1] до [0, π ] , которая называется арккосинусом и обозначается arccos .

Ограничение функций также можно использовать для «склеивания» функций. Позволять ${\textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ — разложение X как объединение подмножеств, и предположим, что функция $f_{i}:U_{i}\to Y$ определяется на каждом $U_{i}$ такой, что для каждой пары $i,j$ индексов, ограничения $f_{i}$ и $f_{j}$ к $U_{i}\cap U_{j}$равны. Тогда это определяет уникальную функцию $f:X\to Y$ такой, что $f|_{U_{i}}=f_{i}$для всех я . Именно так функции на многообразиях определяются .

Расширением f функции f является функция g такая, что является ограничением g . Типичным использованием этой концепции является процесс аналитического продолжения , который позволяет расширять функции, область определения которых составляет небольшую часть комплексной плоскости, до функций, областью определения которых является почти вся комплексная плоскость.

Вот еще один классический пример расширения функции, встречающийся при изучении гомографий вещественной прямой . Гомография – это функция $h(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$такой, что ad − bc ≠ 0 . Его областью определения является множество всех действительных чисел, отличных от $-d/c,$ а его изображением является совокупность всех действительных чисел, отличных от $a/c.$ Если расширить действительную линию до проективно расширенной действительной линии , включив ∞ , можно расширить h до биекции расширенной действительной линии на себя, установив $h(\infty )=a/c$ и $h(-d/c)=\infty$.

В исчислении

Дополнительная информация: История концепции функции.

Идея функции, начиная с 17 века, стала фундаментальной для нового исчисления бесконечно малых . В то время рассматривались только вещественные функции действительной переменной и все функции считались гладкими . Но вскоре это определение было распространено на функции нескольких переменных и на функции комплексной переменной . Во второй половине XIX века было введено математически строгое определение функции и определены функции с произвольными областями определения и кодоменами.

В настоящее время функции используются во всех областях математики. Во вводном исчислении , когда слово функция используется без уточнения, оно означает вещественную функцию одной действительной переменной. Более общее определение функции обычно знакомят студентам второго или третьего курса колледжа со специальностями STEM , а на старшем курсе они знакомятся с исчислением в более широком и строгом контексте на таких курсах, как реальный анализ и комплексный анализ .

Реальная функция

См. также: Реальный анализ

График линейной функции

График полиномиальной функции, здесь квадратичной функции.

График двух тригонометрических функций: синуса и косинуса .

Действительная функция — это вещественная функция действительной переменной , то есть функция, кодоменой которой является поле действительных чисел , а областью определения — набор действительных чисел , содержащий интервал . В этом разделе эти функции называются просто функциями .

Функции, которые чаще всего рассматриваются в математике и ее приложениях, обладают некоторой регулярностью, то есть являются непрерывными , дифференцируемыми и даже аналитическими . Эта регулярность гарантирует, что эти функции можно визуализировать по их графикам . В этом разделе все функции дифференцируемы в некотором интервале.

С функциями выполняются поточечные операции , то есть, если f и g — функции, их сумма, разность и произведение — это функции, определяемые формулой

${\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}.$

Область определения результирующих функций представляет собой пересечение областей определения f и g . Фактор двух функций определяется аналогично

${\frac {f}{g}}(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},$

функции получается удалением нулей g . из пересечения областей определения f и g но область определения результирующей

Полиномиальные функции определяются полиномами , а их областью определения является весь набор действительных чисел. Они включают постоянные функции , линейные функции и квадратичные функции . Рациональные функции являются частными двух полиномиальных функций, а их областью определения являются действительные числа, из которых удалено конечное число, чтобы избежать деления на ноль . Простейшей рациональной функцией является функция $x\mapsto {\frac {1}{x}},$ чей график является гиперболой , а областью определения является вся вещественная линия, кроме 0.

Производная действительной дифференцируемой функции является действительной функцией. Первообразная непрерывной действительной функции — это действительная функция , производная которой — исходная функция. Например, функция ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$непрерывно и даже дифференцируемо на положительных действительных числах. Таким образом, одна первообразная, принимающая нулевое значение при x = 1 , представляет собой дифференцируемую функцию, называемую натуральным логарифмом .

Действительная функция f монотонна на интервале , если знак ${\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}$не зависит от выбора x и y на интервале. Если функция дифференцируема на интервале, то она монотонна, если знак производной постоянен на интервале. Если действительная функция f монотонна в интервале I , она имеет обратную функцию , которая является вещественной функцией с областью определения f ( I ) и I. образом Вот как обратные тригонометрические функции определяются через тригонометрические функции , где тригонометрические функции монотонны. Другой пример: натуральный логарифм монотонен на положительных действительных числах, а его изображением является вся действительная линия; следовательно, у него есть обратная функция, которая является биекцией между действительными числами и положительными действительными числами. Эта обратная функция является показательной функцией .

Многие другие действительные функции определяются либо теоремой о неявной функции (обратная функция является частным случаем), либо как решения дифференциальных уравнений . Например, функции синус и косинус являются решениями линейного дифференциального уравнения.

$y''+y=0$

такой, что

$\sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,\quad {\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0.$

Векторнозначная функция

Основные статьи: векторная функция и векторное поле

Когда элементами кодомена функции являются векторы , функция называется векторной функцией. Эти функции особенно полезны в приложениях, например, при моделировании физических свойств. Например, функция, которая сопоставляет каждой точке жидкости ее вектор скорости, является векторной функцией.

Некоторые векторные функции определены на подмножестве $\mathbb {R} ^{n}$ или другие пространства, которые имеют общие геометрические или топологические свойства $\mathbb {R} ^{n}$, такие как многообразия . Эти векторные функции получили название векторных полей .

Функциональное пространство

Основные статьи: Функциональное пространство и функциональный анализ

В математическом анализе , а точнее в функциональном анализе , функциональное пространство представляет собой набор скалярных или векторных функций , которые имеют определенное свойство и образуют топологическое векторное пространство . Например, вещественные гладкие функции с компактным носителем (т. е. равные нулю вне некоторого компакта ) образуют функциональное пространство, лежащее в основе теории распределений .

Функциональные пространства играют фундаментальную роль в расширенном математическом анализе, позволяя использовать их алгебраические и топологические свойства для изучения свойств функций. Например, все теоремы существования и единственности решений обыкновенных уравнений или уравнений в частных производных являются результатом изучения функциональных пространств.

Многозначные функции

Основная статья: Многозначная функция

Вместе два квадратных корня всех неотрицательных действительных чисел образуют одну гладкую кривую.

Некоторые методы задания функций действительных или комплексных переменных начинаются с локального определения функции в точке или в окрестности точки, а затем за счет непрерывности расширяют функцию на гораздо большую область. Часто в качестве отправной точки $x_{0},$ существует несколько возможных начальных значений функции.

Например, при определении квадратного корня как обратной функции квадратной функции для любого положительного действительного числа $x_{0},$ есть два варианта значения квадратного корня, один из которых положителен и обозначается ${\sqrt {x_{0}}},$ и еще один, отрицательный и обозначаемый $-{\sqrt {x_{0}}}.$Этот выбор определяет две непрерывные функции, обе из которых имеют неотрицательные действительные числа в качестве области определения, а также неотрицательные или неположительные действительные числа в качестве изображений. Глядя на графики этих функций, можно увидеть, что вместе они образуют единую плавную кривую . Поэтому часто бывает полезно рассматривать эти две функции квадратного корня как одну функцию, которая имеет два значения для положительного x , одно значение для 0 и не имеет значения для отрицательного x .

В предыдущем примере один вариант — положительный квадратный корень — более естественен, чем другой. В целом это не так. Например, давайте рассмотрим неявную функцию , которая отображает y в корень x из $x^{3}-3x-y=0$(см. рисунок справа). Для y = 0 можно выбрать либо $0,{\sqrt {3}},{\text{ or }}-{\sqrt {3}}$для х . По теореме о неявной функции каждый выбор определяет функцию; для первого (максимальным) доменом является интервал [-2, 2] и изображением [-1, 1] ; для второго домен — [−2, ∞) и изображение — [1, ∞) ; для последнего областью определения является (−∞, 2] и изображением (−∞, −1] . Поскольку три графика вместе образуют гладкую кривую и нет причин отдавать предпочтение одному варианту, эти три функции часто рассматривается как одна многозначная функция от y , которая имеет три значения для −2 < y < 2 и только одно значение для y ≤ −2 и y ≥ −2 .

Полезность концепции многозначных функций становится более очевидной при рассмотрении сложных функций, обычно аналитических . Область, до которой комплексная функция может быть расширена путем аналитического продолжения, обычно включает почти всю комплексную плоскость . Однако при расширении домена двумя разными путями часто получаются разные значения. Например, при расширении области определения функции квадратного корня по пути комплексных чисел с положительными мнимыми частями можно получить i для квадратного корня из −1; в то время как при расширении комплексных чисел с отрицательными мнимыми частями получается − i . Обычно есть два пути решения проблемы. Можно определить функцию, которая не является непрерывной вдоль некоторой кривой, называемой разрезом ветвления . Такая функция называется главным значением функции. Другой способ — считать, что имеется многозначная функция , которая является аналитической всюду, за исключением изолированных особенностей, но значение которой может «подпрыгивать», если следовать замкнутому циклу вокруг особенности. Этот прыжок называется монодромия .

В основах математики

Определение функции, данное в этой статье, требует понятия set , поскольку домен и кодомен функции должны быть набором. Это не проблема в обычной математике, поскольку, как правило, несложно рассматривать только функции, область определения и ко-область которых являются четко определенными множествами, даже если область определения не определена явно. Однако иногда полезно рассмотреть более общие функции.

Например, одноэлементный набор можно рассматривать как функцию $x\mapsto \{x\}.$Его область действия включала бы все множества и, следовательно, не была бы множеством. В обычной математике подобных проблем можно избежать, указав область определения, что означает наличие множества одноэлементных функций. Однако при установлении основ математики, возможно, придется использовать функции, область определения, ко-область или обе области которых не указаны, и некоторые авторы, часто логики, дают точное определение для этих слабо определенных функций.

Эти обобщенные функции могут иметь решающее значение при разработке формализации основ математики . Например, теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя является расширением теории множеств, в которой совокупность всех множеств является классом . Эта теория включает аксиому замены , которую можно сформулировать так: Если X — множество, а F — функция, то F [ X ] — множество.

В альтернативных формулировках основ математики, использующих теорию типов , а не теорию множеств, функции рассматриваются как примитивные понятия , а не определяются на основе других типов объектов. Они являются обитателями типов функций и могут быть созданы с использованием выражений лямбда-исчисления .

В информатике

Основные статьи: Функция (компьютерное программирование) и лямбда-исчисление

В компьютерном программировании функция — это, как правило, часть компьютерной программы , реализующая абстрактное понятие функции. То есть это программный модуль, который выдает выходные данные для каждого входа. Однако во многих языках программирования каждая подпрограмма называется функцией, даже если нет вывода и когда функциональность состоит просто в изменении некоторых данных в памяти компьютера .

Функциональное программирование — это парадигма программирования , состоящая в создании программ с использованием только подпрограмм, которые ведут себя как математические функции. Например, if_then_else— это функция, которая принимает три функции в качестве аргументов и, в зависимости от результата первой функции ( true или false ), возвращает результат либо второй, либо третьей функции. Важным преимуществом функционального программирования является то, что оно упрощает доказательство программы , поскольку оно основано на хорошо обоснованной теории — лямбда-исчислении (см. ниже).

За исключением терминологии компьютерного языка, «функция» имеет обычное математическое значение в информатике . В этой области наибольший интерес представляет вычислимость функции. Для придания точного значения этой концепции и связанной с ней концепции алгоритма было введено несколько моделей вычислений , старыми из которых являются общерекурсивные функции , лямбда-исчисление и машина Тьюринга . Фундаментальная теорема теории вычислимости состоит в том, что эти три модели вычислений определяют один и тот же набор вычислимых функций, и что все другие модели вычислений, которые когда-либо были предложены, определяют тот же набор вычислимых функций или меньший. Тезис Чёрча -Тьюринга — это утверждение, что каждое философски приемлемое определение вычислимой функции определяет также те же самые функции.

Общерекурсивные функции — это частичные функции от целых чисел к целым числам, которые можно определить из

• постоянные функции ,
• преемник и
• проецирования функции

через операторов

• состав ,
• примитивная рекурсия и
• минимизация .

Хотя они определены только для функций от целых чисел к целым, они могут моделировать любую вычислимую функцию благодаря следующим свойствам:

• Вычисление — это манипуляция конечными последовательностями символов (цифр чисел, формул и т. д.),
• каждая последовательность символов может быть закодирована как последовательность битов ,
• битовую последовательность можно интерпретировать как двоичное представление целого числа.

Лямбда-исчисление — это теория, которая определяет вычислимые функции без использования теории множеств и является теоретической основой функционального программирования. Он состоит из терминов , которые являются либо переменными, определениями функций ( 𝜆 -термы), либо приложениями функций к терминам. Манипулирование терминами осуществляется посредством некоторых правил ( α -эквивалентности, β -редукции и η -конверсии), которые являются аксиомами теории и могут интерпретироваться как правила вычислений.

В своей первоначальной форме лямбда-исчисление не включает понятия области определения и кодомена функции. Грубо говоря, они были введены в теорию под названием type в типизированном лямбда-исчислении . Большинство типов типизированных лямбда-исчислений могут определять меньше функций, чем нетипизированные лямбда-исчисления.

См. также

Подстраницы

• Список типов функций
• Список функций
• Функциональная установка
• Неявная функция

Обобщения

• Функция высшего порядка
• Гомоморфизм
• Морфизм
• Микрофункция
• Распределение
• Оператор

Связанные темы

• Ассоциативный массив
• Выражение в закрытой форме
• Элементарная функция
• Функциональный
• Функциональная декомпозиция
• Функциональный предикат
• Функциональное программирование
• Параметрическое уравнение
• Установить функцию
• Простая функция

Источники

• Бартл, Роберт (1976). Элементы реального анализа (2-е изд.). Уайли. ISBN  978-0-471-05465-8 . OCLC   465115030 .
• Блох, Итан Д. (2011). Доказательства и основы: первый курс абстрактной математики . Спрингер. ISBN  978-1-4419-7126-5 .
• Каннингем, Дэниел В. (2016). Теория множеств: первый курс . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-12032-7 .
• Гёдель, Курт (1940). Непротиворечивость гипотезы континуума . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-07927-1 .
• Халмос, Пол Р. (1970). Наивная теория множеств . Спрингер Верлаг. ISBN  978-0-387-90092-6 .
• Я, Томас (2003). Теория множеств (3-е изд.). Спрингер Верлаг . ISBN  978-3-540-44085-7 .
• Спивак, Михаил (2008). Исчисление (4-е изд.). Опубликуй или погибни. ISBN  978-0-914098-91-1 .

Дальнейшее чтение

• Антон, Ховард (1980). Исчисление с помощью аналитической геометрии . Уайли . ISBN  978-0-471-03248-9 .
• Бартл, Роберт Г. (1976). Элементы реального анализа (2-е изд.). Уайли. ISBN  978-0-471-05464-1 .
• Дубинский, Эд; Харель, Гершон (1992). Понятие функции: аспекты эпистемологии и педагогики . Математическая ассоциация Америки. ISBN  978-0-88385-081-7 .
• Хаммак, Ричард (2009). «12. Функции» (PDF) . Книга доказательств . Университет Содружества Вирджинии . Проверено 1 августа 2012 г.
• Хаш, Лоуренс С. (2001). Визуальное исчисление . Университет Теннесси . Проверено 27 сентября 2007 г.
• Кац, Роберт (1964). Аксиоматический анализ . Округ Колумбия Хит и компания .
• Кляйнер, Израиль (1989). «Эволюция концепции функции: краткий обзор». Математический журнал колледжа . 20 (4): 282–300. CiteSeerX   10.1.1.113.6352 . дои : 10.2307/2686848 . JSTOR   2686848 .
• Лютцен, Йеспер (2003). «Между строгостью и приложениями: развитие концепции функции в математическом анализе» . В Портере, Рой (ред.). Кембриджская история науки: современные физико-математические науки . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57199-9 . Доступное и увлекательное историческое изложение.
• Малик, Массачусетс (1980). «Историко-педагогические аспекты определения функции». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 11 (4): 489–492. дои : 10.1080/0020739800110404 .
• Райхенбах, Ганс (1947). Элементы символической логики . Дувр. ISBN  0-486-24004-5 .
• Рутинг, Д. (1984). «Старый разведчик: некоторые определения понятия функции от Бернулли Дж. до Бурбаки Н.». Математический интеллект . 6 (4): 71–78. дои : 10.1007/BF03026743 . S2CID   189883712 .
• Томас, Джордж Б.; Финни, Росс Л. (1995). Исчисление и аналитическая геометрия (9-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN  978-0-201-53174-9 .

Внешние ссылки

• The Wolfram Functions – website giving formulae and visualizations of many mathematical functions
• NIST Digital Library of Mathematical Functions