Карты многообразий

Поверхность Морена , погружение, используемое при вывороте сферы .

В математике , точнее, в дифференциальной геометрии и топологии , изучаются различные типы функций между многообразиями как сами по себе объекты, так и с точки зрения света, который они проливают.

Типы карт

Точно так же, как существуют различные типы многообразий, существуют и различные типы отображений многообразий.

PDIFF служит для связи DIFF и PL и эквивалентен PL.

В геометрической топологии основные типы отображений соответствуют различным категориям многообразий: DIFF для гладких функций между дифференцируемыми многообразиями , PL для кусочно-линейных функций между кусочно-линейными многообразиями и TOP для непрерывных функций между топологическими многообразиями . Это постепенно более слабые структуры, правильно связанные через PDIFF , категорию кусочно -гладких отображений между кусочно-гладкими многообразиями.

Помимо этих общих категорий карт, существуют карты со специальными свойствами; они могут образовывать, а могут и не образовывать категории, и могут обсуждаться, а могут и не обсуждаться в целом категорически.

Правый узел-трилистник .

В геометрической топологии основным типом являются вложения , центральным примером которых является теория узлов , а также такие обобщения, как погружения , субмерсии , накрывающие пространства и разветвленные накрывающие пространства .Основные результаты включают теорему вложения Уитни и теорему погружения Уитни .

Риманова поверхность для функции f ( z ) = √ z , показанная как разветвленное накрытие комплексной плоскости.

В сложной геометрии разветвленные накрывающие пространства используются для моделирования римановых поверхностей и для анализа отображений между поверхностями, например, по формуле Римана-Гурвица .

В римановой геометрии можно попросить карты сохранить риманову метрику, что приведет к понятиям изометрических вложений , изометрических погружений и римановых субмерсий ; основным результатом является теорема вложения Нэша .

Скалярные функции

3D цветной график сферических гармоник степени $n=5$

Основным примером отображений между многообразиями являются скалярные функции на многообразии. $\scriptstyle f\colon M\to \mathbb {R}$ или $\scriptstyle f\colon M\to \mathbb {C} ,$ иногда называемые регулярными функциями или функционалами по аналогии с алгебраической геометрией или линейной алгеброй. Они представляют интерес как сами по себе, так и для изучения лежащего в их основе многообразия.

В геометрической топологии чаще всего изучаются функции Морса , которые дают разложение ручного тела , которое обобщается на функции Морса-Ботта и может использоваться, например, для понимания классических групп, таких как периодичность Ботта .

В математическом анализе часто изучают решение уравнений в частных производных , важным примером которого является гармонический анализ , где изучаются гармонические функции : ядро ​​оператора Лапласа . Это приводит к таким функциям, как сферические гармоники , и к с использованием теплового ядра методам изучения многообразий , таким как прослушивание формы барабана и некоторым доказательствам теоремы об индексе Атьи-Зингера .

Монодромия является важной вокруг особенности или точки ветвления частью анализа таких функций.

Кривые и пути

линия Геодезическая на американском футболе, иллюстрирующая доказательство гипотезы Громова о площади заполнения в систолической геометрии в гиперэллиптическом случае (см. пояснение ).

Функции, двойственные скалярным значениям – карты $\scriptstyle M\to \mathbb {R}$ – это карты $\scriptstyle \mathbb {R} \to M,$ которые соответствуют кривым или путям в многообразии. Их также можно определить, где домен представляет собой интервал $[a,b],$ особенно единичный интервал $[0,1],$ или где областью определения является круг (эквивалентно периодическому пути) S ¹ , что дает цикл. Они используются для определения фундаментальной группы , цепей в теории гомологии , геодезических кривых и систолической геометрии .

Встроенные пути и петли приводят к теории узлов и связанным с ней структурам, таким как связи , косы и клубки .

Метрические пространства

Римановы многообразия являются частными случаями метрических пространств , и, таким образом, существует понятие липшицевой непрерывности , условия Гёльдера вместе с грубой структурой , что приводит к таким понятиям, как грубые отображения и связи с геометрической теорией групп .

См. также

• Категория:Карты коллекторов