Грубая структура

В математических областях геометрии и топологии грубая структура на множестве X представляет собой набор подмножеств декартова произведения X × X с определенными свойствами, которые позволяют крупномасштабную структуру метрических пространств и топологических пространств определить .

Традиционная геометрия и топология обеспокоены мелкомасштабной структурой пространства: такие свойства, как непрерывность функции , зависят от того, являются ли прообразы малых открытых множеств или окрестностей сами по себе открытыми. Крупномасштабные свойства пространства, такие как ограниченность или степени свободы пространства, не зависят от таких особенностей. Грубая геометрия и грубая топология предоставляют инструменты для измерения крупномасштабных свойств пространства, и точно так же, как метрика или топология содержат информацию о мелкомасштабной структуре пространства, грубая структура содержит информацию о его крупномасштабных свойствах.

Собственно, грубая структура — это не крупномасштабный аналог топологической структуры, а однородная структура .

Определение

А грубая набора структура $X$ это коллекция $\mathbf {E}$ подмножеств ​ ​ $X\times X$ (поэтому подпадающие под более общую категоризацию бинарных отношений на $X$) называется управляемые множества s , и так что $\mathbf {E}$ обладает тождественным отношением , замкнуто относительно взятия подмножеств, обратных и конечных объединений и замкнуто относительно композиции отношений . Явно:

1. Идентичность/диагональ :

   Диагональ ​ $\Delta =\{(x,x):x\in X\}$ является членом $\mathbf {E}$— отношение тождества.

2. Закрыто при принятии подмножеств :

   Если $E\in \mathbf {E}$ и $F\subseteq E,$ затем $F\in \mathbf {E} .$

3. Закрыто при взятии инверсий :

   Если $E\in \mathbf {E}$ затем обратное (или транспонированное ) $E^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in E\}$ является членом $\mathbf {E}$— обратная зависимость.

4. Закрыто под принятием профсоюзов :

   Если $E,F\in \mathbf {E}$ тогда их союз $E\cup F$ является членом $\mathbf {E} .$

5. Закрыто по составу :

   Если $E,F\in \mathbf {E}$ тогда их продукт $E\circ F=\{(x,y):{\text{ there exists }}z\in X{\text{ such that }}(x,z)\in E{\text{ and }}(z,y)\in F\}$ является членом $\mathbf {E}$— состав отношений .

Набор $X$ наделенный грубой структурой $\mathbf {E}$ это грубое пространство .

Для подмножества $K$ из $X,$ набор $E[K]$ определяется как $\{x\in X:(x,k)\in E{\text{ for some }}k\in K\}.$ Мы определяем раздел ​ $E$ к $x$ быть набором $E[\{x\}],$ также обозначается $E_{x}.$ Символ $E^{y}$ обозначает множество $E^{-1}[\{y\}].$ Это формы проекций .

Подмножество $B$ из $X$ Говорят, что это ограниченное множество, если $B\times B$ представляет собой управляемый набор.

Интуиция

Контролируемые множества — это «маленькие» множества, или « незначительные множества »: набор $A$ такой, что $A\times A$ контролируется незначительно, а функция $f:X\to X$ такой, что его график является управляемым, «близок» к тождеству. В ограниченной грубой структуре эти множества являются ограниченными множествами, а функциями являются те, которые находятся на конечном расстоянии от единицы в равномерной метрике .

Грубые карты

Учитывая набор $S$ и грубая структура $X,$ мы говорим, что карты $f:S\to X$ и $g:S\to X$ являются закрыть, если $\{(f(s),g(s)):s\in S\}$ представляет собой управляемый набор.

Для грубых структур $X$ и $Y,$ мы говорим это $f:X\to Y$ это грубая карта , если для каждого ограниченного множества $B$ из $Y$ набор $f^{-1}(B)$ ограничен $X$ и для каждого управляемого набора $E$ из $X$ набор $(f\times f)(E)$ контролируется в $Y.$ $X$ и $Y$ Говорят, что они грубо эквивалентно, если существуют грубые отображения $f:X\to Y$ и $g:Y\to X$ такой, что $f\circ g$ близко к $\operatorname {id} _{Y}$ и $g\circ f$ близко к $\operatorname {id} _{X}.$

Примеры

• The ограниченная грубая структура в метрическом пространстве $(X,d)$ это коллекция $\mathbf {E}$ из всех подмножеств $E$ из $X\times X$ такой, что $\sup _{(x,y)\in E}d(x,y)$ является конечным . При такой структуре целочисленная решетка $\mathbb {Z} ^{n}$ грубо эквивалентно $n$-мерное евклидово пространство .
• Пространство $X$ где $X\times X$ контролируется, называется ограниченное пространство . Такое пространство грубо эквивалентно точке. Метрическое пространство с ограниченной грубой структурой ограничено (как грубое пространство) тогда и только тогда, когда оно ограничено (как метрическое пространство).
• Тривиальная грубая структура состоит только из диагонали и ее подмножеств. В этой структуре отображение является грубой эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно является биекцией (множеств).
• The $C_{0}$ грубая структура в метрическом пространстве $(X,d)$ представляет собой совокупность всех подмножеств $E$ из $X\times X$ такой, что для всех $\varepsilon >0$ есть компактный набор $K$ из $E$ такой, что $d(x,y)<\varepsilon$ для всех $(x,y)\in E\setminus K\times K.$ Альтернативно, сбор всех подмножеств $E$ из $X\times X$ такой, что $\{(x,y)\in E:d(x,y)\geq \varepsilon \}$ компактен.
• The дискретная грубая структура на множестве $X$ состоит из диагонали $\Delta$ вместе с подмножествами $E$ из $X\times X$ которые содержат лишь конечное число точек $(x,y)$ за пределами диагонали.
• Если $X$ является топологическим пространством , то нескромная грубая структура на $X$ состоит из всех собственных подмножеств $X\times X,$ имеется в виду все подмножества $E$ такой, что $E[K]$ и $E^{-1}[K]$ относительно компактны , когда $K$ относительно компактен.

См. также

• Борнология - математическое обобщение ограниченности.
• Квазиизометрия - функция между двумя метрическими пространствами, которая учитывает только их крупномасштабную геометрию.
• Единообразное пространство - Топологическое пространство с понятием однородных свойств.

Ссылки

• Джон Роу, Лекции по грубой геометрии , Серия университетских лекций, том. 31, Американское математическое общество: Провиденс, Род-Айленд, 2003. Исправления к лекциям по грубой геометрии.
• Роу, Джон (июнь – июль 2006 г.). «Что такое… грубое пространство?» ( PDF ) . Уведомления Американского математического общества . 53 (6): 669 . Проверено 16 января 2008 г.