PDF-файл

Сплайны кусочно-гладкие, следовательно, в PDIFF, но не глобально гладкие или кусочно-линейные, следовательно, не в DIFF или PL.

В геометрической топологии PDIFF , что означает «кусочно - дифференцируемый» — это категория многообразий кусочно - гладких , и кусочно-гладких отображений между ними. По сути, она содержит DIFF (категория гладких многообразий и гладких функций между ними) и PL (категория кусочно-линейных многообразий и кусочно- линейных отображений между ними), и причина, по которой она определена, состоит в том, чтобы позволить связать эти две категории. Кроме того, в математике широко распространены кусочные функции, такие как сплайны и полигональные цепи , и PDIFF предоставляет категорию для их обсуждения.

Мотивация

PDIFF служит для связи DIFF и PL и эквивалентен PL.

PDIFF — это в основном технический момент: гладкие карты не являются кусочно-линейными (если только они не являются линейными), а кусочно-линейные карты не являются гладкими (если они не глобально линейны) — пересечение — это линейные карты или, точнее, аффинные карты (потому что не основаны) — поэтому они не могут быть напрямую связаны: они являются отдельными обобщениями понятия аффинного отображения.

Однако, хотя гладкое многообразие не является PL-многообразием, оно имеет каноническую PL-структуру – оно однозначно триангуляруемо; и наоборот, не каждое PL-многообразие сглаживается. Для конкретного гладкого многообразия или гладкого отображения между гладкими многообразиями это можно показать, разбив многообразие на достаточно мелкие части, а затем линеаризовав многообразие или отображение на каждой части: например, круг на плоскости можно аппроксимировать с помощью треугольником, а не 2-угольником , так как последний не может быть линейно вложен.

Однако эта связь между Diff и PL требует выбора, и ее более естественно показать и понять, включив обе категории в более крупную категорию, а затем показав, что включение PL является эквивалентностью: каждое гладкое многообразие и каждое многообразие PL являются многообразием PDiff. . Таким образом, переход от Diff к PDiff и от PL к PDiff естественен — это всего лишь включение. Отображение PL в PDiff, хотя и не является равенством (не каждая кусочно-гладкая функция является кусочно-линейной), является эквивалентностью: можно пойти назад, линеаризовав куски. Таким образом, для некоторых целей его можно инвертировать или считать изоморфизмом, что дает отображение ${\text{Diff}}\to {\text{PDiff}}\to {\text{PL}}.$ Все эти категории находятся внутри TOP, категории топологического многообразия и непрерывных отображений между ними.

Подводя итог, PDiff является более общим, чем Diff, потому что он допускает фрагменты (углы), и в целом невозможно сгладить углы, в то время как PL не менее общий, чем PDiff, поскольку можно линеаризовать фрагменты (точнее, может потребоваться разбить их на меньшими частями, а затем линеаризовать, что разрешено в PDiff).

История

Что каждая гладкая (действительно, C ¹ ) многообразие имеет уникальную структуру PL, первоначально было доказано в ( Whitehead 1940 ). Подробное поясняющее доказательство дано в ( Munkres 1966 ). Результат является элементарным и довольно техническим, чтобы его можно было подробно доказать, поэтому в современных текстах он обычно лишь схематически изображается, как в краткой схеме доказательства, приведенной в ( Thurston 1997 ). Очень краткое изложение дано в ( McMullen 1997 ), а краткое, но подробное доказательство — в ( Lurie 2009 ).

Ссылки

• Лурье, Джейкоб (13 февраля 2009 г.), Триангуляции Уайтхеда (лекция 3) (PDF)
• Макмаллен, Коннектикут (21 августа 1997 г.). «Re: Коллекторы PL и DIFF: вопрос» . Группа новостей : sci.math.research . Архивировано из оригинала 8 апреля 2013 года . Проверено 10 мая 2012 г.
• Манкрес, Джеймс Р. (1966), Элементарная дифференциальная топология , Анналы математических исследований, том. 54, Издательство Принстонского университета , ISBN  0-69109093-9 , Глава II {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
• Терстон, Уильям (1997), Трехмерная геометрия и топология , Princeton University Press , стр. 194–195, ISBN  978-0-69108304-9 , PDIFF описывается как «кусочно-гладкий». {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
• Уайтхед, JHC (октябрь 1940 г.). «На С ¹ -Комплексы». Анналы математики . Вторая серия. 41 (4): 809–824. doi : 10.2307/1968861 . JSTOR   1968861 .