Частичное применение

В информатике меньшей частичное применение (или частичное применение функции ) относится к процессу фиксации ряда аргументов функции, создавая другую функцию арности . Дана функция $f\colon (X\times Y\times Z)\to N$ , мы могли бы исправить (или «связать») первый аргумент, создав функцию типа ${\text{partial}}(f)\colon (Y\times Z)\to N$ . Вычисление этой функции можно представить как $f_{partial}(2,3)$ . Обратите внимание, что результатом применения частичной функции в этом случае является функция, принимающая два аргумента. Частичное применение иногда неправильно называют каррированием , это родственное, но отдельное понятие.

Мотивация [ править ]

Интуитивно понятно, что применение частичной функции говорит: «Если вы исправите первые аргументы функции, вы получите функцию остальных аргументов». Например, если функция div ( x , y ) = x / y , то div с параметром x, фиксированным равным 1, является другой функцией: div ₁ ( y ) = div (1, y ) = 1/ y . Это то же самое, что функция inv , которая возвращает мультипликативную величину, обратную своему аргументу, определяемому inv ( y ) = 1/ y .

Практическая мотивация частичного применения заключается в том, что очень часто функции, полученные путем передачи некоторых, но не всех аргументов функции, оказываются полезными; например, во многих языках есть функция или оператор, похожие на plus_one. Частичное применение упрощает определение этих функций, например, путем создания функции, которая представляет оператор сложения с привязанной к 1 единицей в качестве первого аргумента.

Реализации [ править ]

В таких языках, как ML , Haskell и F# , функции по умолчанию определяются в каррированной форме. Предоставление меньшего количества аргументов, чем общее количество, называется частичным применением.

В языках с первоклассными функциями можно определить curry, uncurry и papply для явного выполнения каррирования и частичного применения. Это может повлечь за собой большие накладные расходы во время выполнения из-за создания дополнительных замыканий , тогда как Haskell может использовать более эффективные методы. ^[1]

Scala реализует необязательное частичное приложение с заполнителем, например def add(x: Int, y: Int) = {x+y}; add(1, _: Int) возвращает возрастающую функцию. Scala также поддерживает каррирование нескольких списков параметров, например def add(x: Int)(y: Int) = {x+y}; add(1) _.

Clojure реализует частичное приложение, используя partial функция, определенная в ее основной библиотеке. ^[2]

Стандартная библиотека C++ предоставляет bind(function, args..) вернуть объект функции , который является результатом частичного применения данных аргументов к данной функции. Начиная с C++20, функция bind_front(function, args...) также предоставляется, который связывает первый sizeof...(args) аргументы функции в args. В отличие, bind позволяет связать любой из аргументов переданной ему функции, а не только первые. Альтернативно лямбда-выражения можно использовать :

int f(int a, int b);
auto f_partial = [](int a) { return f(a, 123); };
assert(f_partial(456) == f(456, 123) );

На Яве , MethodHandle.bindTo частично применяет функцию к ее первому аргументу. ^[3] Альтернативно, начиная с Java 8, можно использовать лямбды:

public static <A, B, R> Function<B, R> partialApply(BiFunction<A, B, R> biFunc, A value) {
    return b -> biFunc.apply(value, b);
}

В Раку assuming метод создает новую функцию с меньшим количеством параметров. ^[4]

Модуль Python стандартной библиотеки functools включает в себя partial функция, позволяющая привязывать позиционные и именованные аргументы, возвращая новую функцию. ^[5]

В XQuery заполнитель аргумента ( ?) используется для каждого нефиксированного аргумента в приложении частичной функции. ^[6]

Определения [ править ]

В простом лямбда-исчислении с типами функций и продуктов ( λ ^→,×) частичное применение, каррирование и некаррирование можно определить как

papply: ((( а × б ) → c ) × а ) → ( б → c ) знак равно λ ( ж , Икс ). ли . е ( х , у )
curry: (( а × б ) → c ) → ( а → ( б → c )) знак равно λf . λx . λy . е ( х , у )
uncurry: ( а → ( б → c )) → (( а × б ) → c ) знак равно λf . λ ( Икс , у ). FXY

Обратите внимание, что curry papply = curry.

и примеры формулировка Математическая

Частичное применение может быть полезным способом определить несколько полезных понятий математики.

Данные наборы $X,Y$ и $Z$ и функция $f:X\times Y\rightarrow Z$ , можно определить функцию

f(\,\cdot \,,-):X\rightarrow (Y\rightarrow Z),

где $(Y\rightarrow Z)$ это набор функций $Y\rightarrow Z$ . Образ $x\in X$ под этой картой находится $f(x,\,\cdot \,):Y\rightarrow Z$ . Это функция, которая отправляет $y\in Y$ к $f(x,y)$ . Часто встречаются конструкции $X,Y,Z$ это означает, что образ $f(\,\cdot \,,-)$ ограничивается некоторым подмножеством функций $Y\rightarrow Z$ , как показано в следующих примерах.

Групповые действия [ править ]

Групповое действие можно понимать как функцию $*:G\times X\rightarrow X$ . Частичная оценка $\rho :G\rightarrow {\text{Sym}}(X)\subset (X\rightarrow X)$ ограничивается группой биекций из $X$ самому себе. Аксиомы группового действия дополнительно гарантируют $\rho$ является групповым гомоморфизмом .

Внутренние произведения и каноническое отображение на двойственное [ править ]

Внутренний продукт в векторном пространстве $V$ над полем $K$ это карта $\phi :V\times V\rightarrow K$ . Частичная оценка обеспечивает каноническую карту в двойственное векторное пространство . $\phi (\,\cdot \,,-):V\rightarrow V^{*}\subset (V\rightarrow K)$ . Если это скалярное произведение гильбертова пространства , теорема о представлении Рисса гарантирует, что это изоморфизм .

Перекрестные произведения и присоединенное отображение алгебр Ли

Частичное применение векторного произведения $\times$ на $\mathbb {R} ^{3}$ является $\times (\,\cdot \,,-):\mathbb {R} ^{3}\mapsto {\text{End}}(\mathbb {R} ^{3})$ . Изображение вектора $\mathbf {u}$ это линейная карта $T_{\mathbf {u} }$ такой, что $T_{\mathbf {u} }(\mathbf {v} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v}$ . Компоненты $T_{\mathbf {u} }$ можно найти $(T_{\mathbf {u} })_{ij}=\epsilon _{ijk}u_{k}$ .

Это тесно связано с присоединенным отображением для алгебр Ли . Алгебры Ли снабжены скобкой $[\,\cdot \,,\,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ . Частичное приложение дает карту ${\text{ad}}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}({\mathfrak {g}})$ . Аксиомы скобки гарантируют, что это отображение является гомоморфизмом алгебр Ли.

См. также [ править ]

n-преобразование
ПОП-2
Ограничение (математика) — более общее явление ограничения функции подмножеством ее области определения.

Ссылки [ править ]

^ Марлоу и Пейтон Джонс, 2004 г.
^ «clojure/clojure, частичная функция» . Гитхаб . Проверено 18 июля 2020 г.
^ «MethodHandle (платформа Java SE 7)» . docs.oracle.com . Проверено 12 сентября 2018 г.
^ «Метод предположения» . docs.perl6.org . Проверено 12 сентября 2018 г.
^ «10.2. functools — Функции высшего порядка и операции над вызываемыми объектами — Документация Python 3.7.0» . docs.python.org . Проверено 12 сентября 2018 г.
^ «XQuery 3.1: язык запросов XML» . www.w3.org . Проверено 12 сентября 2018 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

Марлоу, Саймон ; Пейтон Джонс, Саймон (2004), «Создание быстрого карри: Push/Enter против Eval/Apply для языков высшего порядка» , ICFP '04 Материалы девятой международной конференции ACM SIGPLAN по функциональному программированию
Бенджамин С. Пирс и др. «Частичное применение» , Архивировано 21 мая 2016 г. на Wayback Machine «Отступление: Каррирование» . Архивировано 21 мая 2016 г. в Wayback Machine Software Foundations .

Внешние ссылки [ править ]

Применение частичной функции на коде Rosetta.
Частичное приложение в Haskell Wiki
Постоянная аппликативная форма в Haskell Wiki
Опасности быть слишком пристрастными

[1] Марлоу и Пейтон Джонс, 2004 г.

[2] «clojure/clojure, частичная функция» . Гитхаб . Проверено 18 июля 2020 г.

[3] «MethodHandle (платформа Java SE 7)» . docs.oracle.com . Проверено 12 сентября 2018 г.

[4] «Метод предположения» . docs.perl6.org . Проверено 12 сентября 2018 г.

[5] «10.2. functools — Функции высшего порядка и операции над вызываемыми объектами — Документация Python 3.7.0» . docs.python.org . Проверено 12 сентября 2018 г.

[6] «XQuery 3.1: язык запросов XML» . www.w3.org . Проверено 12 сентября 2018 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]