История концепции функции

Математическое ; понятие функции датируется развитием исчисления 17 веком в связи с например, склон $\operatorname {d} \!y/\operatorname {d} \!x$графика в точке рассматривалась как функция x -координаты точки. Функции не рассматривались явно в древности, но некоторых предшественников этой концепции, возможно, можно увидеть в работах средневековых философов и математиков, таких как Орем .

Математики XVIII века обычно считали функцию определяемой аналитическим выражением . В XIX веке требования строгого развития анализа Вейерштрассом . и другими, переформулировка геометрии в терминах анализа и изобретение теории множеств Кантором в конечном итоге привели к гораздо более общей современной концепции функции как функции однозначное отображение одного набора в другой.

17

Уже в XII веке математик Шараф ад-Дин ат-Туси проанализировал уравнение x ³ + d = б ⋅ х ² в форме х ² ⋅ ( b – x ) = d , утверждая, что левая часть должна быть как минимум равна значению d , чтобы уравнение имело решение. Затем он определил максимальное значение этого выражения. Можно утверждать, что выделение этого выражения является ранним подходом к понятию «функция». Значение меньше d означает отсутствие положительного решения; значение, равное d, соответствует одному решению, а значение больше d соответствует двум решениям. Анализ этого уравнения, проведенный Шараф ад-Дином, стал заметным достижением в исламской математике , но его работа в то время не получила дальнейшего развития ни в мусульманском мире, ни в Европе.

По словам Дьедонне и Понте, Понятие функции возникло в 17 в. в результате развития аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых . Тем не менее, Медведев предполагает, что неявное понятие функции имеет древнее происхождение. Понте также видит более явные подходы к этой концепции в средние века :

Исторически можно считать, что некоторые математики предвидели и приблизились к современной формулировке понятия функции. Среди них — Орем (1323–1382) . . . В его теории, по-видимому, присутствуют некоторые общие идеи о независимых и зависимых переменных величинах.

Развитие аналитической геометрии около 1640 года позволило математикам переходить от геометрических задач о кривых к алгебраическим отношениям между «переменными координатами x и y ». Исчисление было разработано с использованием понятия переменных и связанного с ним геометрического значения, которое сохранялось вплоть до восемнадцатого века. Однако терминология «функция» стала использоваться во взаимоотношениях между Лейбницем и Бернулли к концу 17 века.

Понятие «функция» в анализе

Термин «функция» был буквально введен Готфридом Лейбницем в письме 1673 года для описания величины, связанной с точками кривой , такой как координата кривой или наклон . Иоганн Бернулли начал называть выражения, состоящие из одной переменной, «функциями». В 1698 году он согласился с Лейбницем в том, что любую величину, образованную «алгебраическим и трансцендентным образом», можно назвать функцией от х . К 1718 году он стал считать функцией «любое выражение, состоящее из переменной и некоторых констант». Алексис Клод Клеро (примерно в 1734 году) и Леонард Эйлер ввели знакомые обозначения. ${f(x)}$ для значения функции.

Функции, рассматривавшиеся в те времена, сегодня называются дифференцируемыми функциями . Для этого типа функций можно говорить о пределах и производных; оба являются измерениями выхода или изменения выхода, поскольку они зависят от входа или изменения входа. Такие функции являются основой исчисления .

Эйлер

В первом томе своего фундаментального труда Introductio in analysin infinitorum , опубликованного в 1748 году, Эйлер дал по существу то же определение функции, что и его учитель Бернулли, как выражение или формулу , включающую переменные и константы, например: ${x^{2}+3x+2}$. Собственное определение Эйлера гласит:

Функция переменной величины — это аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из переменной величины и чисел или постоянных величин.

Эйлер также допускал многозначные функции, значения которых определяются неявным уравнением.

Однако в 1755 году в своей работе «Institutiones Calculi Differentialis » Эйлер дал более общее понятие функции:

Когда одни величины зависят от других таким образом, что претерпевают изменение при изменении последних, то первые называются функциями вторых. Это имя имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, которыми одна величина может быть определена через другие.

Медведев считает, что «по сути это определение, которое стало известно как определение Дирихле». Эдвардс также приписывает Эйлеру общее понятие функции и говорит далее, что

Отношения между этими величинами не рассматриваются как заданные формулами, но, с другой стороны, они, конечно, не рассматриваются как своего рода общие теоретико-множественные, всевозможные подмножества пространств продуктов, которые современные математики имеют в виду, когда используют слово «функция».

Фурье

В своей «Аналитической теории теплоты» Фурье утверждал, что произвольную функцию можно представить рядом Фурье . У Фурье было общее представление о функции, которое включало функции, которые не были ни непрерывными , ни определяемыми аналитическим выражением. Связанные с этим вопросы о природе и представлении функций, возникающие при решении волнового уравнения для колеблющейся струны, уже были предметом спора Даламбера и Эйлера и оказали существенное влияние на обобщение понятия функции. . Лузин отмечает:

Современное понимание функции и ее определение, которое нам кажется правильным, могло возникнуть только после открытия Фурье. Его открытие ясно показало, что большинство недоразумений, возникших в спорах о вибрирующей струне, были результатом смешения двух, казалось бы, идентичных, но на самом деле совершенно разных понятий, а именно понятия функции и понятия ее аналитического представления. Действительно, до открытия Фурье не проводилось различия между понятиями «функция» и «аналитическое представление», и именно это открытие привело к их разъединению.

Коши

В 19 веке математики начали формализовать все различные разделы математики. Одним из первых, кто сделал это, был Коши ; его несколько неточные результаты были позже сделаны полностью строгими Вейерштрассом , который выступал за построение исчисления на арифметике , а не на геометрии , что отдавало предпочтение определению Эйлера по сравнению с определением Лейбница (см. Арифметизация анализа ). По мнению Смитиса, Коши считал, что функции определяются уравнениями, включающими действительные или комплексные числа , и молчаливо предполагал, что они непрерывны:

Коши делает некоторые общие замечания о функциях в главе I, разделе 1 своего «Алгебрического анализа» (1821 г.). Из того, что он там говорит, ясно, что он обычно рассматривает функцию как определяемую аналитическим выражением (если оно явно) или уравнением или системой уравнений (если оно неявно); В чем его отличие от своих предшественников, так это в том, что он готов рассмотреть возможность определения функции только для ограниченного диапазона независимой переменной.

Лобачевский и Дирихле

Николай Лобачевский и Питер Густав Лежен Дирихле традиционно приписывают независимое определение современного «формального» определения функции как отношения , в котором каждый первый элемент имеет уникальный второй элемент.

Лобачевский (1834) пишет, что

Общая концепция функции требует, чтобы функция x определялась как число, заданное для каждого x и постепенно меняющееся с x . Значение функции может быть задано либо аналитическим выражением, либо условием, позволяющим изучить все числа и выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать, но оставаться неизвестной.

в то время как Дирихле (1837) пишет

соответствует единственный конечный y Если теперь каждому x , и притом таким образом, что когда x непрерывно изменяется в интервале от a до b , ${y=f(x)}$также изменяется непрерывно, то y называется непрерывной функцией x на этом интервале. Здесь вовсе не обязательно, чтобы у задавался через х по одному и тому же закону на всем интервале и не обязательно рассматривать его как зависимость, выражаемую с помощью математических операций.

Ивз утверждает, что «студент-математик обычно знакомится с определением функции Дирихле в своем вводном курсе исчисления.

Притязания Дирихле на эту формализацию оспариваются Имре Лакатосом :

В творчестве Дирихле такого определения вообще нет. Но существует множество свидетельств того, что он понятия не имел об этой концепции. Например, в своей статье [1837 г.], когда он обсуждает кусочно-непрерывные функции, он говорит, что в точках разрыва функция имеет два значения : ...

Однако Гардинер говорит «...мне кажется, что Лакатос заходит слишком далеко, например, когда утверждает, что «существует достаточно доказательств того, что [Дирихле] понятия не имел о концепции [современной функции]»». Более того, как отмечалось выше, статья Дирихле, по-видимому, действительно включает определение, подобное тому, которое ему обычно приписывают, хотя (как и Лобачевский) он формулирует его только для непрерывных функций действительной переменной.

Точно так же Лавин отмечает, что:

Спорным является вопрос о том, какую заслугу заслуживает Дирихле за современное определение функции, отчасти потому, что он ограничил свое определение непрерывными функциями... Я считаю, что Дирихле определил понятие непрерывной функции, чтобы прояснить, что никакое правило или закон требуется даже в случае непрерывных функций, а не только вообще. Это заслуживало бы особого внимания, поскольку Эйлер определил непрерывную функцию как функцию, заданную одним выражением или законом. Но я также сомневаюсь, что существует достаточно доказательств для разрешения спора.

Поскольку Лобачевский и Дирихле считаются одними из первых, кто ввел понятие произвольного соответствия, это понятие иногда называют определением функции Дирихле или Лобачевского-Дирихле. Общая версия этого определения была позже использована Бурбаки (1939), а некоторые в образовательном сообществе называют ее определением функции «Дирихле-Бурбаки».

Дедекинд

Дьедонне точное и общее современное определение функции , который был одним из основателей группы Бурбаки, приписывает Дедекинду в своей работе. Был Sind и был Sollen die Zahlen , которая появилась в 1888 году, но была разработана уже в 1878 году. Дьедонне отмечает, что вместо того, чтобы ограничиваться, как в предыдущих концепциях, действительными (или комплексными) функциями, Дедекинд определяет функцию как однозначное отображение между любыми двумя множествами:

Новым и существенным для всей математики было совершенно общее понятие функции .

Харди

Харди 1908 , стр. 26–28 определил функцию как отношение между двумя переменными x и y такое, что «некоторым значениям x во всяком случае соответствуют значения y ». Он не требовал, чтобы функция была определена для всех значений x, и не требовал, чтобы каждое значение x ассоциировалось с одним значением y . Это широкое определение функции охватывает больше отношений, чем обычно считаются функциями в современной математике. Например, определение Харди включает многозначные функции и то, что в теории вычислимости называется частичными функциями .

«Функция» логика

Логики того времени в первую очередь занимались анализом силлогизмов (аристотелевских форм 2000-летней давности и других) или, как выразился Огастес Де Морган (1847): «исследование той части рассуждения, которая зависит от способа, которым делаются выводы». формируются, и исследование общих принципов и правил построения аргументов». В настоящее время понятие (логической) «функции» не является явным, но, по крайней мере, в работах Де Моргана и Джорджа Буля оно подразумевается: мы видим абстракцию форм аргумента, введение переменных, введение символического алгебра относительно этих переменных и некоторые понятия теории множеств.

В книге Де Моргана 1847 года «ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА ИЛИ, Исчисление выводов, необходимых и вероятных» отмечается, что « логическая истина зависит от структуры утверждения , а не от конкретных вопросов, о которых говорится»; он, не теряя времени (предисловие, страница i), абстрагируется: «В форме предложения связка сделана такой же абстрактной, как и термины». Он немедленно (стр. 1) приводит то, что он называет «предложением» (современной пропозициональной функцией или отношением ), в такую ​​форму, как «X есть Y», где символы X, «есть» и Y представляют соответственно субъект , связка и . сказуемое Пока не фигурирует слово «функция», есть понятие «абстракция», есть «переменные», есть понятие включения в его символику «все Δ находится в О» (с. 9), и, наконец, здесь присутствует новая символика для логического анализа понятия «отношение» (по отношению к этому примеру он использует слово «X)Y» (стр. 75)):

«A ₁ X)Y Чтобы взять X, нужно взять Y» [или Чтобы быть X, нужно быть Y]

"А ¹ Y)X Чтобы взять Y, достаточно взять X» [или Чтобы быть Y, достаточно быть X] и т. д.

В своей книге « Природа логики» 1848 года Буль утверждает, что «логика… в более частном смысле — это наука о рассуждениях с помощью знаков», и кратко обсуждает понятия «принадлежности к» и «классу»: «Человек может обладать великое разнообразие атрибутов и, таким образом, принадлежность к множеству различных классов». Как и Де Морган, он использует понятие «переменной», полученное в результате анализа; он приводит пример того, как «представить класс волов через x , а класс лошадей — через y , а союз и знак +… мы могли бы представить совокупный класс волов и лошадей через x + y ».

В контексте «Дифференциального исчисления» Буль определил (около 1849 г.) понятие функции следующим образом:

«Та величина, изменение которой равномерно... называется независимой переменной. Та величина, изменение которой относится к изменению первой, называется ее функцией . Дифференциальное исчисление позволяет нам в каждом случае перейти от функции до предела. Это происходит с помощью определенной операции. ."

логиков 1850–1950

Ивс отмечает, что «логики пытались еще дальше опустить начальный уровень дефиниционного развития математики и вывести теорию множеств или классов на основе логики предложений и пропозициональных функций». Но к концу XIX века исследования логиков в области оснований математики претерпели серьезный раскол. Направление первой группы, логиков , вероятно, лучше всего можно резюмировать Бертраном Расселом в 1903 году : «выполнить две цели: во-первых, показать, что вся математика вытекает из символической логики, и, во-вторых, открыть, насколько это возможно, что являются принципами самой символической логики».

Вторая группа логиков, теоретики множеств, возникла вместе с «теорией множеств» Георга Кантора (1870–1890), но получила развитие отчасти в результате открытия Расселом парадокса, который можно вывести из концепции Фреге «функции». ", но и как реакция на предложенное Расселом решение. « Теоретико-множественным ответом Цермело стали его Исследования по основам теории множеств I» 1908 года — первая аксиоматическая теория множеств ; здесь также играет роль понятие «пропозициональная функция».

Джорджа Буля, «Законы мышления» 1854 г.; Венна Символическая логика 1881

В своем «Исследовании законов мышления» Буль определил функцию через символ x следующим образом:

«8. Определение. Любое алгебраическое выражение, включающее символ x , называется функцией x и может быть представлено сокращенной формой f ( x )»

Затем Буль использовал алгебраические выражения для определения как алгебраических, так и логических понятий, например, 1 - x является логическим НЕ( x ), xy является логическим AND( x , y ), x + y является логическим OR( x , y ), x ( x + y ) равно xx + xy , а «специальный закон» xx = x ² = х .

В своей «Символической логике» 1881 года Венн использовал слова «логическая функция» и современный символизм ( x = f ( y ), y = f ⁻¹ ( x ), ср. стр. xxi) плюс круговые диаграммы, исторически связанные с Венном для описания «классовых отношений», понятия «квантификация нашего предиката», «предложения в отношении их расширения», «отношение включения и исключения двух классов друг к другу» и «пропозициональная функция» (все на стр. 10), черта над переменная, обозначающая не -x (стр. 43) и т. д. Действительно, он однозначно приравнивал понятие «логической функции» к «классу» [современному «набору»]: «… с точки зрения, принятой в этой книге, f ( x ) никогда не означает ничего, кроме логического класса. Это может быть составной класс, составленный из множества простых классов, это может быть класс, определяемый некоторыми обратными логическими операциями, он может состоять из двух групп классов, равных друг другу, или что есть то же самое, их разность объявлена ​​равной нулю, т. е. логическое уравнение, но как бы оно ни было составлено или выведено, f ( x ) у нас никогда не будет ничем иным, как общим выражением для таких логических классов вещей, которые справедливо могут быть. найти место в обычной Логике».

Фреге Концептуальное 1879

Готтлоба Фреге » «Begriffsschrift (1879) предшествовал Джузеппе Пеано (1889), но Пеано ничего не знал о Фреге 1879 до тех пор, пока он не опубликовал свой 1889. Оба писателя сильно повлияли на Рассела (1903) . Рассел, в свою очередь, повлиял на большую часть математики и логики 20-го века через свои Principia Mathematica (1913), написанные совместно с Альфредом Нортом Уайтхедом .

Вначале Фреге отказывается от традиционных «понятий субъекта и предиката », заменяя их аргументом и функцией соответственно, которые, по его мнению, «выдержат испытание временем». Легко увидеть, как рассмотрение содержания как функции аргумента приводит к образование понятий, кроме того, заслуживает внимания демонстрация связи между значениями слов если и, не или, есть, некоторые, все и т. д.».

Фреге начинает свое обсуждение «функции» с примера: «Начните с выражения «Водород легче углекислого газа». Теперь уберите знак водорода (т. е. слово «водород») и замените его знаком кислорода (т. е. словом «кислород»); это делает второе утверждение. Сделайте это еще раз (используя любое утверждение) и замените знак азота (т. е. словом «азот») и обратите внимание, что «Это меняет значение таким образом, что «кислород» или «азот» вступают в отношения, в которых « водород «стоял раньше». Есть три утверждения:

• «Водород легче углекислого газа».
• «Кислород легче углекислого газа».
• «Азот легче углекислого газа».

Теперь обратите внимание на «стабильный компонент, представляющий совокупность [отношений]» во всех трёх; назовем это функцией , т.е.

«...легче углекислого газа» - вот функция.

Фреге называет аргумент функции «знаком [например, водорода, кислорода или азота], рассматриваемым как заменяемый другими, который обозначает объект, находящийся в этих отношениях». Он отмечает, что мы могли бы также вывести функцию как «Водород легче, чем…», с позицией аргумента справа ; точное наблюдение сделано Пеано (подробнее см. ниже). Наконец, Фреге допускает случай двух (или более) аргументов. Например, удалите «диоксид углерода», чтобы получить инвариантную часть (функцию) как:

• «...легче, чем...»

Функция с одним аргументом Фреге обобщается в форму Φ(A), где A является аргументом, а Φ(·) представляет функцию, тогда как функция с двумя аргументами, которую он символизирует как Ψ(A, B), где A и B являются аргументами, а Ψ ( , ) функция и предупреждает, что «вообще Ψ(A, B) отличается от Ψ(B, A)». Используя свою уникальную символику, он переводит читателю следующую символику:

«Мы можем прочитать |--- Ф(А) как «А обладает свойством Ф. |--- Ψ(A, B) можно перевести как «B находится в отношении Ψ к A» или «B является результатом применения процедуры Ψ к объекту A».

, Принципы арифметики» 1889

Пеано определил понятие «функция» аналогично Фреге, но без точности. Сначала Пеано определяет знак «К означает класс или совокупность объектов», объекты которых удовлетворяют трем простым условиям равенства, а знак равно а , ( а знак равно б ) = ( б знак равно а ), ЕСЛИ (( а знак равно б ) И ( б знак равно с )) ТО ( а = с ). Затем он вводит φ, «знак или совокупность знаков, такой, что если x является объектом класса s , выражение φ x обозначает новый объект». Пеано добавляет два условия к этим новым объектам: во-первых, три условия равенства выполняются для объектов φ x ; во-вторых, что «если x и y — объекты класса s и если x = y , мы предполагаем, что возможно вывести φ x = φ y ». Если все эти условия соблюдены, φ является «предопределенной функцией». Точно так же он определяет «функциональный постзнак». Например, если φ — это функция presign a +, то φ x дает a + x , или если φ — это функция postsign + a, то x φ дает x + a .

Бертран Рассел « математики» 1903

Хотя влияние Кантора и Пеано было первостепенным, в Приложении А «Логические и арифметические доктрины Фреге» к «Принципам математики » Рассел приходит к обсуждению понятия функции Фреге , «... момента, в котором работа Фреге очень важна и требует тщательного изучения». Фреге, В ответ на обмен письмами с Фреге в 1902 году по поводу противоречия, которое он обнаружил в Begriffsschrift Рассел добавил этот раздел в последний момент.

Для Рассела сбивающим с толку понятием является понятие переменной : «6. Математические предложения характеризуются не только тем фактом, что они утверждают импликации, но также и тем фактом, что они содержат переменные . В настоящее время я хочу открыто прояснить, что во всех математических предложениях есть переменные, даже там, где на первый взгляд может показаться, что они отсутствуют. что слова «любой» или «некоторые» встречаются; и эти слова являются признаками переменной и формальной импликации».

Как выразился Рассел, «процесс преобразования констант в предложении в переменные приводит к тому, что называется обобщением, и дает нам как бы формальную сущность предложения... Пока любой термин в нашем предложении можно превратить в в переменную, наше предложение можно обобщить, и пока это возможно, задача математики — сделать это»; эти обобщения Рассел назвал пропозициональными функциями . » Фреге Действительно, он цитирует и цитирует «Begriffsschrift » Фреге 1891 года и представляет яркий пример из «Function und Begriff : «Сущность арифметической функции 2 x ³ + x — это то, что остается, когда x убирают, т.е. в приведенном выше примере 2( ) ³ + ( ). Аргумент x не принадлежит функции, но вместе они составляют целое». Рассел согласился с понятием «функции» Фреге в одном смысле: «Он считает функции – и в этом я с ним согласен – более фундаментальными, чем предикаты и отношения », но Рассел отверг «теорию субъекта и утверждения» Фреге, в частности «он считает, что если термин а встречается в предложении, то это предложение всегда можно проанализировать на а и утверждение о " .

Эволюция понятия «функция» Рассела в

Рассел развил свои идеи в своей книге « Математическая логика, основанная на теории типов» 1908 года , а также в своей книге и книге Уайтхеда « Principia Mathematica » 1910–1913 годов . Ко времени написания Principia Mathematica Рассел, как и Фреге, считал пропозициональную функцию фундаментальной: «Пропозициональные функции — это фундаментальный вид, из которого происходят более обычные виды функций, такие как «грех x », ​​log x или «отец x ». Эти производные функции называются «дескриптивными функциями».

Пропозициональные функции : поскольку его терминология отличается от современной, читатель может быть сбит с толку «пропозициональной функцией» Рассела. Пример может помочь. Рассел записывает пропозициональную функцию в ее сырой форме, например, как φŷ : « ŷ ранен». (Обратите внимание на циркумфлекс или «шляпу» над переменной y ). В нашем примере мы присвоим переменной ŷ всего 4 значения : «Боб», «Эта птица», «Кролик Эмили» и « y ». Замена одного из этих значений на переменную ŷ дает утверждение ; это предложение называется «значением» пропозициональной функции. В нашем примере есть четыре значения пропозициональной функции, например: «Боб ранен», «Эта птица ранена», «Кролик Эмили ранен» и « Y ранен». Предложение, если оно значимо , т. е. если его истинность определена имеет истинностное значение истины ложности или , . Если истинностным значением предложения является «истина», то говорят, что значение переменной удовлетворяет пропозициональной функции. Наконец, согласно определению Рассела, « класс [множество] — это все объекты, удовлетворяющие некоторой пропозициональной функции» (стр. 23). Обратите внимание на слово «все» – именно так в трактовку входят современные понятия «Для всех ∀» и «существует хотя бы один экземпляр ∃» (с. 15).

Продолжим пример: предположим (извне математики/логики) кто-то определяет, что предложения «Боб ранен» имеет истинностное значение «ложь», «Эта птица ранена» имеет истинностное значение «истина», «Эмили «кролик ранен» имеет неопределенное истинностное значение, поскольку «кролик Эмили» не существует, а истинностное значение выражения « y ранен» неоднозначно, поскольку сам аргумент y неоднозначен. Хотя два предложения «Боб ранен» и «Эта птица ранена» значимы (оба имеют истинностные значения), только значение «Эта птица» переменной ŷ удовлетворяет пропозициональной функции φŷ : « ŷ ранено». Когда кто-то переходит к формированию класса α: φŷ : « ŷ ранен», включается только «Эта птица», учитывая четыре значения «Боб», «Эта птица», «Кролик Эмили» и « y » для переменной ŷ. и их соответствующие истинностные значения: ложность, истина, неопределенность, двусмысленность.

Рассел определяет функции предложений с аргументами и функции истинности f ( p) . Например, предположим, что нужно сформировать «функцию предложений с аргументами» p ₁ : «НЕ( p ) И q » и присвоить ее переменным значения p : «Боб ранен» и q : «Эта птица ранена». . (Мы ограничены логическими связями НЕ, И, ИЛИ и ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ, и мы можем приписывать только «значимые» предложения переменным p и q ). Тогда «функция предложений с аргументами» равна p ₁ : НЕ («Боб ранен») И «Эта птица ранена». Чтобы определить истинностное значение этой «функции предложений с аргументами», мы подчиняем ее «функции истинности», например, f ( p ₁ ): f ( NOT («Боб ранен») И «Эта птица ранена») , что дает истинностное значение «истина».

Понятие функционального отношения «многие-один» : Рассел сначала обсуждает понятие «идентичности», затем определяет описательную функцию (стр. 30 и далее) как уникальное значение ιx , которое удовлетворяет пропозициональной функции (с 2 переменными) (т. е. «отношение») φŷ .

NB. Читателя следует предупредить, что порядок переменных обратный! y — независимая переменная, а x — зависимая переменная, например, x = sin( y ).

Рассел символизирует дескриптивную функцию как «объект, стоящий по отношению к y »: R'y = _DEF ( ιx )( x R y ). Рассел повторяет, что « R'y является функцией y , но не пропозициональной функцией [sic]; мы будем называть ее дескриптивной функцией. Все обычные математические функции относятся к этому типу. Таким образом, в наших обозначениях «sin y » будет можно было бы написать «грех 'y », и «грех» будет обозначать отношение греха 'y к y '.

«Функция» формалиста: аксиоматизация математики Дэвидом Гильбертом

Давид Гильберт поставил перед собой цель «формализовать» классическую математику «как формальную аксиоматическую теорию, причем эта теория должна быть доказана непротиворечивой , т. е. свободной от противоречий». В книге Гильберта « Основы математики» (1927 г.) он формулирует понятие функции с точки зрения существования «объекта»:

13. A(a) -> A(ε(A)) Здесь ε(A) обозначает объект, для которого утверждение A(a) заведомо справедливо, если оно вообще справедливо для любого объекта; назовем ε логической ε-функцией». [Стрелка указывает на «подразумевается».]

Затем Гильберт иллюстрирует три способа использования ε-функции: во-первых, как понятия «для всех» и «существует», во-вторых, для представления «объекта, для которого [предложение] имеет место», и, наконец, как приводить это в функцию выбора .

Теория рекурсии и вычислимость . Но неожиданным результатом усилий Гильберта и его ученика Бернейса стал провал; см. теоремы Гёделя о неполноте 1931 года. Примерно в то же время, пытаясь решить проблему Гильберта Entscheidungsproblem , математики приступили к определению того, что подразумевается под «эффективно вычислимой функцией» ( Алонзо Черч 1936), т. е. «эффективным методом» или «эффективным методом». Алгоритм », то есть явная, пошаговая процедура, позволяющая успешно вычислить функцию. В быстрой последовательности появлялись различные модели алгоритмов, в том числе лямбда-исчисление Чёрча (1936), Стивена Клини мю -рекурсивные функции (1936) и идея Алана Тьюринга (1936–1937) о замене человеческих «компьютеров» полностью механическими. «вычислительные машины» (см. Машины Тьюринга ). Было показано, что все эти модели могут вычислять один и тот же класс вычислимых функций . Тезис Чёрча утверждает, что этот класс функций исчерпывает все теоретико-числовые функции , которые могут быть вычислены с помощью алгоритма. Результаты этих усилий стали яркой демонстрацией того, что, по словам Тьюринга, «не может быть общего процесса определения того, является ли данная формула U функционального исчисления K [ Principia Mathematica ] доказуемо»; подробнее см. в разделах « Независимость (математическая логика) и теория вычислимости» .

Разработка теоретико-множественного определения «функции»

Теория множеств началась с работы логиков с понятием «класс» (современное «множество»), например Де Моргана (1847 г.) , Джевонса (1880 г.), Венна (1881 г.) , Фреге (1879 г.) и Пеано (1889 г.) . Толчком к этому послужила попытка Георга Кантора определить бесконечное в теоретико-множественной трактовке (1870–1890) и последующее открытие антиномии ( противоречия, парадокса) в этой трактовке ( парадокс Кантора ), открытие Рассела (1902). ) антиномии в 1879 году Фреге ( парадокс Рассела ), открытием большего количества антиномий в начале 20-го века (например, парадокс Бурали-Форти 1897 года и парадокс Ричарда 1905 года ), а также сопротивлением сложной трактовке логики Рассела. и неприязнь к его аксиоме сводимости (1908, 1910–1913), которые он предложил как средство уклонения от антиномий.

Рассела

В 1902 году Рассел отправил Фреге письмо, в котором указывал, что в Begriffsschrift Фреге 1879 года функция может быть аргументом сама по себе: «С другой стороны, может также случиться так, что аргумент определен, а функция неопределенна...» Из этой неограниченной ситуации Рассел смог сформировать парадокс:

«Вы утверждаете... что и функция может выступать в качестве неопределенного элемента. Раньше я в это верил, но теперь эта точка зрения кажется мне сомнительной из-за следующего противоречия. Пусть w будет предикатом: быть предикатом, который не может Может ли w быть высказанным о самом себе?»

Фреге тут же ответил: «Ваше открытие противоречия вызвало у меня величайшее удивление и, я бы даже сказал, ужас, поскольку оно пошатнуло основу, на которой я намеревался строить арифметику».

С этого момента дальнейшее развитие основ математики стало упражнением в том, как избежать «парадокса Рассела», сформулированного в «голых [теоретико-множественных] понятиях множества и элемента».

Теория множеств Цермело (1908 г.), модифицированная Сколемом (

Понятие «функция» появляется как аксиома III Цермело — аксиома разделения (Axiom der Aussonderung). Эта аксиома вынуждает нас использовать пропозициональную функцию Φ( x ) для «отделения» подмножества M _Φ от ранее сформированного множества M :

«АКСИОМА III. (Аксиома разделения). Всякий раз, когда пропозициональная функция Φ( x ) определена для всех элементов множества M , M обладает подмножеством M _Φ , содержащим в качестве элементов именно те элементы x из M , для которых Φ( x ) является истинный".

не существует Поскольку универсального набора - множества возникают посредством аксиомы II из элементов (немножества) области B - «... это устраняет антиномию Рассела, насколько это нас касается». Но «определенный критерий» Цермело неточен и установлен Вейлем , Френкелем , Сколемом и фон Нейманом .

Фактически Скулем в своей работе 1922 года называл этот «определенный критерий» или «свойство» «определенным предложением»:

«... конечное выражение, построенное из элементарных предложений формы a ε b или a = b посредством пяти операций [логической конъюнкции, дизъюнкции, отрицания, квантификации всеобщности и квантификации существования].

ван Хейеноорт резюмирует:

«Свойство является определенным в смысле Скулема, если оно выражается... правильно составленной формулой простого исчисления предикатов первого порядка, в которой единственными константами предикатов являются ε и, возможно, =... Сегодня аксиоматизация множества Теория обычно встроена в логическое исчисление, и общепринятым является подход Вейля и Скулема к формулировке аксиомы разделения.

В этой цитате читатель может заметить сдвиг в терминологии: нигде не упоминается понятие «пропозициональная функция», а встречаются слова «формула», «исчисление предикатов», «предикат» и «логическое исчисление». Этот сдвиг в терминологии более подробно обсуждается в разделе, посвященном «функции» в современной теории множеств.

«упорядоченной пары» Винера-Хаусдорфа-Куратовского 1914–1921

История понятия « упорядоченная пара » неясна. Как отмечалось выше, Фреге (1879) предложил интуитивный порядок в своем определении двухаргументной функции Ψ(A, B). Норберт Винер в своей книге «1914» (см. ниже) отмечает, что его собственная трактовка по сути «возвращается к трактовке Шредером отношений как класса упорядоченных пар». Рассел (1903) рассматривал определение отношения (например, Ψ(A, B)) как «класс пар», но отверг его:

«Существует искушение считать отношение определяемым в расширении как класс пар. Это формальное преимущество, заключающееся в том, что оно позволяет избежать необходимости в примитивном утверждении, утверждающем, что каждая пара имеет отношение, сохраняющееся между никакими другими парами терминов. необходимо придать смысл паре, чтобы отличить референт [ область ] от релята [ конверсия области ]: таким образом, пара становится существенно отличной от класса двух терминов и сама должна быть введена как примитивная идея. Поэтому кажется более правильным принять интенсиональный взгляд на отношения и отождествить их скорее с классовыми понятиями, чем с классами».

К 1910–1913 годам и Principia Mathematica Рассел отказался от требования интенсионального определения отношения, заявив, что «математика всегда занимается расширениями, а не интенсионалами» и «отношения, как и классы, следует рассматривать в расширении ». Чтобы продемонстрировать понятие отношения в расширении, Рассел теперь принял понятие упорядоченной пары : «Мы можем рассматривать отношение... как класс пар... отношение, определяемое φ( x, y ), является классом пар. ( x, y ), для которого φ( x, y ) истинно». В сноске он разъяснил свою мысль и пришел к такому определению:

«Такая пара имеет смысл , т. е. пара ( x, y ) отличается от пары ( y, x ), если только x = y . Мы будем называть ее «парой со смыслом»... она также может быть позвонил заказанной паре .

Но далее он говорит, что не будет дальше вводить заказанные пары в свое «символическое лечение»; вместо них он предлагает свою «матрицу» и свою непопулярную аксиому сводимости.

Попытка решить проблему антиномий побудила Рассела предложить свою «доктрину типов» в приложении Б к его « Принципам математики» 1903 года . Через несколько лет он уточнил это понятие и предложил в своей « Теории типов» 1908 года две аксиомы сводимости , целью которых было свести пропозициональные функции (с одной переменной) и отношения (с двумя переменными) к «низшей» форме. (и в конечном итоге в полностью экстенсиональную форму); он и Альфред Норт Уайтхед перенесли эту трактовку в Principia Mathematica 1910–1913 с дальнейшим уточнением, названным «матрицей». Первая аксиома — *12.1; второй — *12.11. Цитируя Винера, вторая аксиома *12.11 «применяется только в теории отношений». Однако обе аксиомы были встречены скептицизмом и сопротивлением; подробнее см. Аксиому сводимости . К 1914 году Норберт Винер, используя символизм Уайтхеда и Рассела, устранил аксиому * 12.11 («двухвариантную» (реляционную) версию аксиомы сводимости), выразив отношение в виде упорядоченной пары с использованием нулевого набора. Примерно в то же время Хаусдорф (1914, стр. 32) дал определение упорядоченной пары ( a , b ) как {{ a ,1}, { b , 2}}. Несколько лет спустя Куратовский (1921) предложил определение, которое с тех пор широко используется, а именно {{ a , b }, { a }}». Как заметил Суппес (1960), «это определение... имело исторически важное значение для сведения теории отношений к теории множеств.

Заметим, что хотя Винер и «редуцировал» реляционную форму *12.11 аксиомы сводимости, он не уменьшил и не изменил иным образом форму пропозициональной функции *12.1; действительно, он заявил, что это «необходимо для рассмотрения идентичности, описаний, классов и отношений».

Понятие Шенфинкеля о «функции» как «множественном» «соответствии»

Откуда именно взялось общее понятие «функция» как соответствие «многие-единицы», неясно. Рассел в своем «Введении в математическую философию» 1920 года утверждает: «Следует отметить, что все математические функции образуют отношения один-многие [так в оригинале - многие-один]… Функции в этом смысле являются описательными функциями». Разумной возможностью является Principia Mathematica понятие «дескриптивной функции» – R 'y = _DEF (ι x )( x R y ): «сингулярный объект, который имеет отношение R к y ». Как бы то ни было, к 1924 году Мозес Шенфинкель высказал эту идею, заявив, что она «хорошо известна»:

«Как известно, под функцией мы подразумеваем в простейшем случае такое соответствие между элементами некоторой области величин, области аргумента, и элементами области значений функции... такое, что каждому значению аргумента соответствует не более одно значение функции».

По словам Уилларда Куайна , Шёнфинкель 1924 «обеспечивает… весь спектр абстрактной теории множеств. Суть вопроса в том, что Шёнфинкель позволяет функциям выступать в качестве аргументов. функций. Это пропозициональные функции, функции, значения которых являются истинностными значениями. Все функции, как пропозициональные, так и другие, являются для Шенфинкеля одноместными функциями». Примечательно, что Шенфинкель сводит всю математику к чрезвычайно компактному функциональному исчислению , состоящему всего из трех функций: постоянства, слияния (т. е. композиции) и взаимного исключения. Куайн отмечает, что Хаскелл Карри (1958) продолжил эту работу «под лозунгом комбинаторной логики ».

множеств фон Неймана

К 1925 году Авраам Френкель (1922) и Торальф Сколем (1922) внесли поправки в теорию множеств Цермело 1908 года. Но фон Нейман не был убежден, что эта аксиоматизация не может привести к антиномиям. Поэтому он предложил свою собственную теорию, свою «Аксиоматизацию теории множеств» 1925 года . Он явно содержит «современную», теоретико-множественную версию понятия «функция»:

«[В отличие от теории множеств Цермело] [мы] предпочитаем, однако, аксиоматизировать не «множество», а «функцию». Последнее понятие, безусловно, включает в себя первое. (Точнее, эти два понятия полностью эквивалентны, поскольку функция может быть рассматриваться как набор пар, а набор как функция, которая может принимать два значения.)».

Вначале он начинает с I-объектов и II-объектов , двух объектов A и B , которые являются I-объектами (первая аксиома), и двух типов «операций», предполагающих упорядоченность как структурное свойство. полученное из результирующих объектов [ x , y ] и ( x , y ). Две «области объектов» называются «аргументами» (I-объекты) и «функциями» (II-объекты); там, где они перекрываются, находятся «функции аргументов» (он называет их объектами I-II). Он вводит две «универсальные операции с двумя переменными» – (i) операцию [ x , y ]: «... прочитать 'значение функции x для аргумента y ... она сама является объектом типа I», и (ii) операция ( x , y ): «... (читай «упорядоченная пара x , y» ), чьи переменные x и y должны быть аргументами, и которая сама по себе создает аргумент ( x , y ). важным свойством является то, что x ₁ = x ₂ и y ₁ = y ₂ следуют из ( x ₁ = y ₂ ) = ( x ₂ = y ₂ )». Чтобы прояснить пару функций, он отмечает, что «Вместо f ( x ) мы пишем [ f,x ], чтобы указать, что f , как и x , следует рассматривать как переменную в этой процедуре». Чтобы избежать «антиномий наивной теории множеств, в первую очередь Рассела... мы должны отказаться от рассмотрения определенных функций как аргументов». Он перенимает идею Цермело об ограничении этих «определенных функций».

Суппес отмечает, что аксиоматизация фон Неймана была модифицирована Бернейсом, «чтобы оставаться ближе к исходной системе Цермело... Он ввел два отношения принадлежности: одно между множествами, а другое между множествами и классами». Тогда Гёдель [1940] далее модифицировал теорию: «его примитивными понятиями являются понятия множества, класса и членства (хотя одного членства достаточно)». Эта аксиоматизация теперь известна как теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя .

Бурбаки 1939 год

В 1939 году Бурбаки , помимо того, что дал известное упорядоченно-парное определение функции как некоторого подмножества декартова произведения E × F , дал следующее:

«Пусть E и F — два множества, которые могут быть различными, а могут и не быть различными. Отношение между переменным элементом x из E и переменным элементом y из F называется функциональным отношением в y , если для всех x ∈ E существует единственный y ∈ F , находящийся в данном отношении с x . Мы даем имя функции операции, которая таким образом сопоставляет каждому элементу x ∈ E элемент y ∈ F , находящийся в данном отношении с x , и говорят, что функция определяется данным функциональным отношением. Два эквивалентных функциональных отношения определяют одну и ту же функцию».

С 1950 года

Понятие «функция» в современной теории множеств

И аксиоматические, и наивные формы теории множеств Цермело в модификации Френкеля (1922) и Сколема (1922) определяют «функцию» как отношение, определяют отношение как набор упорядоченных пар и определяют упорядоченную пару как набор из двух». ассиметричные» наборы.

В то время как читатель » Суппеса (1960) «Аксиоматической теории множеств или Халмоша (1970) «Наивной теории множеств» наблюдает использование функционального символизма в аксиоме разделения , например, φ( x ) (в Суппесе) и S( x ) (в Халмоше ), они не увидят упоминания о «предложении» или даже «исчислении предикатов первого порядка». Их место занимают « выражения объектного языка», «атомарные формулы», «примитивные формулы» и «атомарные предложения».

Клини (1952) определяет слова следующим образом: «В языковых языках предложение выражается предложением. Тогда «предикат» выражается неполным предложением или скелетом предложения, содержащим открытое место. Например, «___ — это мужчина». «выражает предикат... Предикат — это пропозициональная функция одной переменной . Предикаты часто называют «свойствами»... Исчисление предикатов будет трактовать логику предикатов в этом общем смысле слова «предикат», т.е. функция».

В 1954 году Бурбаки, на с. 76 в главе II Theorie des Ensembles (теории множеств) дал определение функции как тройки f = ( F , A , B ). Здесь F — функциональный граф , означающий набор пар, в котором никакие две пары не имеют одинаковый первый элемент. На стр. 77 ( op. cit. ) Бурбаки утверждает (дословный перевод): «Часто в оставшейся части этого Трактата мы будем использовать слово функция вместо функционального графа ».

Суппес (1960) в «Аксиоматической теории множеств» формально определяет отношение (стр. 57) как набор пар, а функцию (стр. 86) как отношение, в котором никакие две пары не имеют одинаковый первый член.

Реляционная форма функции

Причина исчезновения слов «пропозициональная функция», например, у Суппеса (1960) и Халмоша (1970) , объясняется Тарским (1946) вместе с дальнейшим объяснением терминологии:

«Выражение типа x является целым числом , которое содержит переменные и при замене этих переменных константами становится предложением, называется СЕНТЕНЦИАЛЬНОЙ [т.е. пропозициональной относительно его индекса] ФУНКЦИЕЙ. Но математики, кстати, не очень любят это выражение, потому что используют термин «функция» в другом значении... промысловые функции и предложения, состоящие полностью из математических символов (а не слов повседневного языка), такие как: x + y обычно обозначают = 5. математиками как ФОРМУЛЫ Вместо «предложения» мы будем иногда просто говорить «предложение» – но только в тех случаях, когда нет опасности какого-либо недоразумения».

Со своей стороны , Тарский называет реляционную форму функции «ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ОТНОШЕНИЕМ или просто ФУНКЦИЕЙ». После обсуждения этого «функционального отношения» он утверждает, что:

«Понятие функции, которое мы сейчас рассматриваем, существенно отличается от понятий пропозициональной [пропозициональной] и обозначающей функции.... Строго говоря... [они] не принадлежат к области логики или математики; они обозначают определенные категории выражений, которые служат для составления логических и математических утверждений, но они не обозначают вещи, о которых говорится в этих утверждениях... Термин «функция» в своем новом смысле, с другой стороны, является выражением функции. чисто логический характер; оно обозначает определенный тип вещей, рассматриваемых в логике и математике».

Подробнее об «истине под интерпретацией» читайте у Альфреда Тарского .

Ссылки

• Буль, Джордж (1854). Исследование законов мышления, на которых основаны законы мышления и вероятности . Уолтон и Марберли.
• Де Морган, Август (1847). Формальная логика, или Исчисление умозаключений, необходимых и вероятных . Уолтон и Марберли.
• Дедекинд, Ричард ; Погожельский, Х.; Райан, В.; Снайдер, В. (1995). Что такое числа и какими они должны быть? . Научно-исследовательский институт математики.
• Дьедонне, Жан (1992). Математика-музыка разума . Спрингер Верлаг.
• Дирихле, Г. П. Лежен (1889). Собрание сочинений, Том I. Берлин. ISBN  9780828402255 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Эдвардс, Гарольд М. (2007). «Определение производной Эйлером» . Бюллетень Американского математического общества . 44 (4): 575–580. дои : 10.1090/s0273-0979-07-01174-3 . МР   2338366 .
• Эйлер, Леонард (1988). Введение в анализ бесконечного. Книга I. Спрингер-Верлаг.
• Эйлер, Леонард (2000). Основы дифференциального исчисления . Спрингер-Верлаг.
• Ивс, Ховард (1990). Основы и фундаментальные понятия математики (3-е изд.). Дувр. ISBN  0-486-69609-Х .
• Фурье, Жозеф (1822). Аналитическая теория теплоты . Париж: Firmin Didot Père et Fils.
• Граттан-Гиннесс, Айвор ; Борне, Жерар (1997). Джордж Буль: Избранные рукописи по логике и ее философии . Спрингер-Верлаг. ISBN  3-7643-5456-9 .
• Халмош, Пол (1970). Наивная теория множеств . Нью-Йорк, Springer-Publishers. ISBN  9780387900926 .
• Харди, Годфри Гарольд (1908). Курс чистой математики . Издательство Кембриджского университета (опубликовано в 1993 г.). ISBN  978-0-521-09227-2 .
• Клини, Стивен Коул (1952). Введение в метаматематику . Северная Голландия (опубликовано в 1971 г.). ISBN  978-0-7204-2103-3 .
• Лавин, Шон (1994). Понимание Бесконечного . Издательство Гарвардского университета.
• Лобачевский, Николай (1951). Работает . Москва-Ленинград. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Лузин Н. (1998). «Функция: Часть II». Американский математический ежемесячник . 105 (3): 263–270. дои : 10.2307/2589085 . JSTOR   2589085 .
• Медведев, Федор А. (1991). Сцены из истории действительных функций . Биркгаузер. ISBN  9780817625726 .
• Понте, Жоау Педро (1992). «История понятия функции и некоторые образовательные последствия» . Учитель математики . 3 (2): 3–8.
• Рассел, Бертран (1903). Принципы математики . Издательство Кембриджского университета.
• Рассел, Бертран (1920). Введение в математическую философию (2-е изд.). Дувр. ISBN  0-486-27724-0 .
• Смитис, Фрэнк (1997). Коши и создание теории комплексных функций . Издательство Кембриджского университета.
• Суппес, Патрик (1960). Аксиоматическая теория множеств (изд. 1972 г.). Дувр. ISBN  0-486-61630-4 . ср. его глава 1 «Введение» .
• Тарский, Альфред (1946). Введение в логику и методологию дедуктивных наук (изд. 1995 г.). Курьер Дувр. ISBN  0-486-28462-Х .
• Венн, Джон (1881). Символическая логика . Макмиллан.
• ван Хейеноорт, Жан (1976) [1967]. От Фреге до Геделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 (3-е печатное издание). Издательство Гарвардского университета. ISBN  0-674-32449-8 .
  • ——; Фреге, Готтлоб (1967) [1879]. «Фреге (1879) Begriffsschrift, язык формул, созданный по образцу языка арифметики, для чистого мышления ». там же . стр. 1–82. С комментариями ван Хейеноорта.
  • ——; Пеано, Джузеппе (1967) [1889]. «Пеано (1889) Принципы арифметики, изложенные новым методом ». там же . стр. 83–97. С комментариями ван Хейеноорта.
  • ——; Рассел, Бертран (1967) [1902]. «Рассел (1902) Письмо Фреге ». там же . стр. 124–125. С комментариями ван Хейеноорта. При этом Рассел объявляет об открытии «парадокса» в творчестве Фреге.
  • ——; Фреге, Готтлоб (1967) [1902]. «Фреге (1902) Письмо Расселу ». там же . стр. 126–128. С комментариями ван Хейеноорта.
  • ——; Гильберт, Дэвид (1967) [1904]. «Гильберт (1904) Об основах логики и арифметики ». там же . стр. 129–138. С комментариями ван Хейеноорта.
  • ——; Ричард, Жюль (1967) [1905]. «Ричард (1905) Принципы математики и проблема множеств ». там же . стр. 142–144. С комментариями ван Хейеноорта. Ричарда Парадокс .
  • ——; Рассел, Бертран (1967) [1908a]. «Рассел (1908а) Математическая логика, основанная на теории типов ». там же . стр. 150–182. С комментариями Уилларда Куайна .
  • ——; Цермело, Эрнст (1967) [1908]. «Цермело (1908) Новое доказательство возможности благоустройства ». там же . стр. 183–198. С комментариями ван Хейеноорта. При этом Цермело выступает против идеи Пуанкаре (и, следовательно, Рассела) о непредикативном определении.
  • ——; Цермело, Эрнст (1967) [1908a]. «Цермело (1908а) Исследования по основам теории множеств I ». там же . стр. 199–215. С комментариями ван Хейеноорта. При этом Цермело пытается решить парадокс Рассела, структурируя свои аксиомы так, чтобы ограничить универсальную область B (из которой объекты и множества извлекаются определенными свойствами ) так, чтобы она сама не могла быть множеством, т. е. его аксиомы запрещают универсальное множество.
  • ——; Уайтхед, Альфред Норт ; Рассел, Бертран (1967) [1910]. «Уайтхед и Рассел (1910) Неполные символы: описания ». там же . стр. 216–223. С комментариями У. В. Куайна .
  • ——; Винер, Норберт (1967) [1914]. «Винер (1914) Упрощение логики отношений ». там же . стр. 224–227. С комментариями ван Хейеноорта.
  • ——; Сколем, Торальф (1967) [1922]. «Сколем (1922) Некоторые замечания по аксиоматизированной теории множеств ». там же . стр. 290–301. С комментариями ван Хейеноорта. При этом Сколем дает расплывчатое определение Цермело «определенной собственности».
  • ——; Шенфинкель, Моисей (1967) [1924]. «Шёнфинкель (1924) О строительных блоках математической логики ». там же . стр. 355–366. С комментариями Уилларда Куайна . Начало комбинаторной логики .
  • ——; фон Нейман, Джон (1967) [1925]. «фон Нейман (1925) Аксиоматизация теории множеств ». там же . стр. 393–413. С комментариями ван Хейеноорта. При этом фон Нейман создает «классы» в отличие от «множеств» («классы» — это «определенные свойства» Цермело), ​​а теперь существует универсальное множество и т. д.
  • ——; Гильберт, Дэвид (1967). «Гильберт (1927) Основы математики » там же . стр. 100-1 464–479. С комментариями ван Хейеноорта.
• Уайтхед, Альфред Норт ; Рассел, Бертран (1913). Principia Mathematica до *56 (изд. 1962 г.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-62606-4 .

Дальнейшее чтение

• Дубинский, Эд; Харель, Гершон (1992). Понятие функции: аспекты эпистемологии и педагогики . Математическая ассоциация Америки. ISBN  0-88385-081-8 .
• Фреге, «Хвала Богу» (1879). Концептуальное письмо: формульный язык чистого мышления, основанный на арифметике . Зал.
• Кляйнер, Израиль (1989). «Эволюция концепции функции: краткий обзор» . Математический журнал колледжа . 20 (4). Математическая ассоциация Америки: 282–300. дои : 10.2307/2686848 . JSTOR   2686848 .
• Лютцен, Йеспер (2003). «Между строгостью и приложениями: развитие концепции функции в математическом анализе» . В Рое Портере (ред.). Кембриджская история науки: современные физико-математические науки . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0521571995 . Доступное и увлекательное историческое изложение.
• Малик, Массачусетс (1980). «Историко-педагогические аспекты определения функции». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 11 (4): 489–492. дои : 10.1080/0020739800110404 .
• Монна, AF (1972). «Понятие функции в XIX и XX веках, в частности в отношении дискуссий между Бэром, Борелем и Лебегом». Архив истории точных наук . 9 (1): 57–84. дои : 10.1007/BF00348540 . S2CID   120506760 .
• Райхенбах, Ганс (1947) Элементы символической логики , Dover Publishing Inc., Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN   0-486-24004-5 .
• Рутинг, Д. (1984). «Некоторые определения понятия функции от Бернулли Дж. до Бурбаки Н.». Математический интеллект . 6 (4): 72–77. дои : 10.1007/BF03026743 . S2CID   189883712 .
• Юшкевич, АП (1976). «Понятие функции до середины XIX века». Архив истории точных наук . 16 (1): 37–85. дои : 10.1007/BF00348305 . S2CID   121038818 .

Внешние ссылки

• Функции из Cut-the-Knot .