Арифметизация анализа
 | Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( январь 2015 г. ) |
Арифметизация анализа — это исследовательская программа по основам математики , проводившаяся во второй половине XIX века, целью которой было исключить всю геометрическую интуицию из доказательств в анализе. Для последователей этой программы фундаментальные понятия исчисления также не должны ссылаться на идеи движения и скорости. Этот идеал преследовался Огюстеном-Луи Коши , Бернаром Больцано , Карлом Вейерштрассом и другими, которые считали, что Исаака Ньютона исчислению не хватает строгости.
История [ править ]
Кронекер первоначально ввел термин «арифметизация анализа» , под которым он подразумевал его конструктивизацию в контексте натуральных чисел (см. цитату внизу страницы). Позже значение этого термина изменилось и стало обозначать теоретико-множественную конструкцию реальной линии . Его главным сторонником был Вейерштрасс , который утверждал, что геометрические основы исчисления недостаточно прочны для строгой работы.
Программа исследований [ править ]
Основными моментами этой исследовательской программы являются:
- различные (но эквивалентные) конструкции действительных чисел Дедекинда , и Кантора приводящие к современному аксиоматическому определению действительных чисел поля ;
- эпсилон-дельта определение предела ; и
- наивное теоретико-множественное определение функции .
Наследие [ править ]
Важным побочным продуктом арифметизации анализа является теория множеств. Наивная теория множеств была создана Кантором и другими после завершения арифметизации как способ изучения особенностей функций, возникающих в исчислении.
Арифметизация анализа имела несколько важных последствий:
- широко распространенное убеждение в изгнании бесконечно малых из математики до создания нестандартного анализа в Абрахамом Робинсоном 1960-х годах, тогда как в действительности работы над неархимедовыми системами продолжались с прежней силой, как документально подтверждено П. Эрлихом;
- смещение акцента с геометрических рассуждений на алгебраические : это имело важные последствия для современного преподавания математики;
- развитие современной меры Лебегом оно сделало возможным и зачатков функционального анализа Гильбертом ; теории
- это мотивировало преобладающую в настоящее время философскую позицию, согласно которой вся математика должна быть выведена из логики и теории множеств, что в конечном итоге привело к программе Гильберта , нестандартному теоремам Гёделя и анализу .
Цитата [ править ]
- «Бог создал натуральные числа, все остальное — дело рук человека». - Кронекер
Ссылки [ править ]
- Торина Дешон Льюис (2006) Арифметизация анализа: от Евдокса до Дедекинда , Южный университет.
- Карл Б. Бойер, Ута К. Мерцбах (2011) История математики John Wiley & Sons.
- Арифметизация анализа в Математической энциклопедии .
- Джеймс Пирпонт (1899) «Об арифметизации математики», Bull. амер. Математика. Соц. 5 (8): 394–406.