Арифметизация анализа

Арифметизация анализа — это исследовательская программа по основам математики, осуществленная во второй половине XIX века, целью которой было исключить всю геометрическую интуицию из доказательств в анализе. Для последователей этой программы фундаментальные понятия исчисления также не должны ссылаться на идеи движения и скорости. Этого идеала преследовали Огюстен-Луи Коши , Бернар Больцано , Карл Вейерштрасс и другие, которые считали, что Исаака Ньютона исчислению не хватает строгости.

История

Кронекер первоначально ввел термин «арифметизация анализа» , под которым он имел в виду его конструктивизацию в контексте натуральных чисел (см. цитату внизу страницы). Позже значение этого термина изменилось и стало обозначать теоретико-множественную конструкцию реальной линии . Его главным сторонником был Вейерштрасс , который утверждал, что геометрические основы исчисления недостаточно прочны для строгой работы.

Программа исследований

Основными моментами этой исследовательской программы являются:

• различные (но эквивалентные) конструкции действительных чисел Дедекинда приводящие и Кантора, к современному аксиоматическому определению действительных чисел поля ;
• эпсилон-дельта определение предела ; и
• наивное теоретико-множественное определение функции .

Наследие

Важным побочным продуктом арифметизации анализа является теория множеств. Наивная теория множеств была создана Кантором и другими после завершения арифметизации как способ изучения особенностей функций, возникающих в исчислении.

Арифметизация анализа имела несколько важных последствий:

• широко распространенное убеждение в изгнании бесконечно малых из математики до создания нестандартного анализа Абрахамом Робинсоном в 1960-х годах, тогда как в действительности работы над неархимедовыми системами продолжались с прежней силой, как документально подтверждено П. Эрлихом;
• смещение акцента с геометрических рассуждений на алгебраические : это имело важные последствия для современного преподавания математики;
• развитие современной теории меры Лебегом оно сделало и зачатков функционального анализа Гильбертом возможным ;
• это мотивировало преобладающую в настоящее время философскую позицию, согласно которой вся математика должна быть выведена из логики и теории множеств, что в конечном итоге привело к программе Гильберта , нестандартному теоремам Гёделя и анализу .

Цитата

• «Бог создал натуральные числа, все остальное — дело рук человека». - Кронекер

Ссылки

• Торина Дешон Льюис (2006) Арифметизация анализа: от Евдокса до Дедекинда , Южный университет.
• Карл Б. Бойер, Ута К. Мерцбах (2011) История математики John Wiley & Sons.
• Арифметизация анализа в Математической энциклопедии .
• Джеймс Пирпонт (1899) «Об арифметизации математики», Bull. амер. Математика. Соц. 5 (8): 394–406.