Жюль Ришар (математик)

Жюль Ришар (12 августа 1862 — 14 октября 1956) — французский математик , работавший в основном в области геометрии, но его имя чаще всего ассоциируется с парадоксом Ришара .

Жизнь и творчество

Ришар родился в Блете Шер , в департаменте .

Преподавал в лицеях Тура , Дижона и Шатору . Он получил докторскую степень в возрасте 39 лет на факультете наук в Париже . Его диссертация объемом 126 страниц посвящена волновой поверхности Френеля. Рихард работал в основном над основами математики и геометрии, касаясь работ Гильберта , фон Штаудта и Мере .

В более философском трактате о природе аксиом геометрии Ричард обсуждает и отвергает следующие основные принципы:

1. Геометрия основана на произвольно выбранных аксиомах — существует бесконечно много одинаково истинных геометрий.
2. Опыт дает аксиомы геометрии, основа экспериментальная, развитие дедуктивное.
3. Аксиомы геометрии являются определениями (в отличие от (1)).
4. Аксиомы не являются ни экспериментальными, ни произвольными, они навязываются нам, поскольку без них опыт невозможен.

Последний подход по существу был тем, что предложил Кант . Ричард пришел к выводу, что понятия тождественности двух объектов и неизменности объекта слишком расплывчаты и требуют уточнения. Это следует делать с помощью аксиом.

Аксиомы — это предложения, задача которых — уточнить понятие тождества двух объектов, ранее существовавших в нашем сознании.

Далее, по мнению Ричарда, цель науки — объяснить материальную вселенную. И хотя неевклидова геометрия не нашла никаких приложений ( Альберт Эйнштейн завершил свою общую теорию относительности лишь в 1915 году), Ричард уже ясновиденно заявил:

Видно, что, допустив понятие угла, можно свободно выбрать понятие прямой линии таким образом, чтобы та или иная из трех геометрий была истинной.

Ришар переписывался с Джузеппе Пеано и Анри Пуанкаре . Он стал известен более чем небольшой группе специалистов, сформулировав свой парадокс, который Пуанкаре широко использовал для нападок на теорию множеств, после чего сторонникам теории множеств пришлось опровергать эти нападки.

Он умер в 1956 году в Шатору Эндр , департамент , в возрасте 94 лет.

Парадокс Ричарда

Основная статья: Парадокс Ричарда

Впервые о парадоксе было заявлено в 1905 году в письме Луи Оливье, директору « Revue générale des Sciences pure et appliquées» . Оно было опубликовано в 1905 году в статье Les Principes des mathématiques et le problème des ансамблей . В Principia Mathematica Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела он цитируется вместе с шестью другими парадоксами, касающимися проблемы самореференции. В одном из важнейших сборников математической логики, составленном Жаном ван Хейеноортом, статья Ришара переведена на английский язык. Парадокс можно интерпретировать как применение диагонального аргумента Кантора . Оно вдохновило Курта Гёделя и Алана Тьюринга на создание их знаменитых произведений. Курт Гёдель считал свою теорему о неполноте аналогом парадокса Рихарда, который в оригинальной версии звучит следующим образом:

Пусть E — множество действительных чисел, которое можно определить конечным числом слов. Это множество счетно. Пусть p — n- е десятичное число n- го числа множества E ; образуем число N, имеющее нуль для целой части и р + 1 для n- й десятичной дроби, если р не равно ни 8, ни 9, и единицу в противном случае. Это число N не принадлежит множеству E , поскольку оно отличается от любого числа этого множества, а именно от n -го числа на n- ю цифру. Но N было определено конечным числом слов. Следовательно, оно должно принадлежать множеству E . Это противоречие.

Ричард никогда не представлял свой парадокс в другой форме, но между тем существует несколько различных версий, некоторые из которых весьма слабо связаны с оригиналом. Для полноты картины их можно изложить здесь.

парадокса

(A) Версия, представленная в Principia Mathematica Уайтхедом и Расселом, аналогична оригинальной версии Ричарда, но, увы, не столь точна. Здесь только цифра 9 заменяется цифрой 0, так что тождества типа 1.000... = 0.999... могут испортить результат.

(B) Парадокс Берри , впервые упомянутый в Principia Mathematica как пятый из семи парадоксов, приписывается г-ну Г. Г. Берри из Бодлианской библиотеки. Он использует наименьшее целое число, которое не может быть названо менее чем девятнадцатью слогами ; на самом деле по-английски это означает 111 777. Но «наименьшее целое число, которое не может быть названо менее чем девятнадцатью слогами», само по себе является именем, состоящим из восемнадцати слогов; следовательно, наименьшее целое число, не состоящее менее чем из девятнадцати слогов, может быть названо из восемнадцати слогов, что является противоречием.

(C) Парадокс Берри с буквами вместо слогов часто связан с набором всех натуральных чисел, которые могут быть определены менее чем 100 (или любым другим большим числом) букв. Поскольку натуральные числа представляют собой упорядоченный набор, должно быть наименьшее число, которое не может быть определено менее чем 100 буквами . Но это число всего лишь определялось 65 буквами с пробелами.

(D) Парадокс Кенига был также опубликован в 1905 году Юлиусом Кенигом . Все действительные числа, которые могут быть определены конечным числом слов, образуют подмножество действительных чисел. Если действительные числа могут быть упорядочены, то должно существовать первое действительное число (в соответствии с этим порядком), которое не может быть определено конечным числом слов. Но первое действительное число, которое не может быть определено конечным числом слов, только что было определено конечным числом слов.

(E) Наименьшее натуральное число, не имеющее интересных свойств, приобретает интересное свойство именно за счет отсутствия каких-либо интересных свойств.

(F) Заимствование Парадокса Греллинга и Нельсона . Число всех конечных определений счетно. В лексическом порядке мы получаем последовательность определений D ₁ , D ₂ , D ₃ , ... Теперь может случиться так, что определение определяет свой собственный номер. Это было бы так, если бы D ₁ читалось как «наименьшее натуральное число». Может случиться так, что определение не описывает собственное число. Это было бы так, если бы D2 _{читалось как} «наименьшее натуральное число». Кроме того, предложение «это определение не описывает его число» является конечным определением. Пусть это Дн _будет . Является ли n описанным D _n . Если да, то нет, а если нет, то да. Дилемма неразрешима. (Более подробно эта версия описана в другой статье « Парадокс Ричарда ».)

Ричарда

Георг Кантор писал в письме Давиду Гильберту :

• «Бесконечные определения» (т. е. определения, которые невозможно сделать за конечное время) — это абсурд. Если бы утверждение Кенигса было «правильным», согласно которому все «конечно определимые» действительные числа образуют набор кардинальных чисел $\aleph _{0}$, это означало бы счетность всего континуума; но это явно неправильно. Вопрос теперь в том, на какой ошибке основано предполагаемое доказательство его неверной теоремы. Ошибка (которая появляется также в заметке г-на Ришара в последнем номере Acta Mathematic, которую г-н Пуанкаре подчеркивает в последнем номере «Revue de Métaphysique et de Morale») состоит, по моему мнению, в следующем: Предполагается, что система { B } понятий B , которые необходимо использовать для определения отдельных чисел, не более чем счетно бесконечна. Это предположение «должно быть ошибочным», потому что в противном случае мы получили бы неверную теорему: «континуум чисел имеет мощность $\aleph _{0}$".

Здесь Кантор ошибается. Сегодня мы знаем, что существует несчетное множество действительных чисел без возможности конечного определения.

Эрнст Цермело комментирует аргумент Рихарда:

• Понятие «конечно определимый» не является абсолютным, а относительным, поскольку всегда связано с выбранным «языком». Вывод, согласно которому все конечно определимые объекты счетны, справедлив лишь в случае использования одной и той же системы символов; Вопрос о том, может ли отдельный индивидуум подпадать под конечное определение, не имеет смысла, поскольку каждой вещи можно присвоить произвольное имя.

Цермело указывает на причину, по которой парадокс Ричарда терпит неудачу. Однако его последнее заявление невозможно удовлетворить. Действительное число с бесконечным числом цифр, не определяемое каким-либо «правилом», имеет бесконечно большое содержание информации. Такое число можно было бы идентифицировать только по короткому имени, если бы существовало только одно или несколько из них. Если их существует бесчисленное множество, как это имеет место, идентификация невозможна.

Библиография

• Диссертации, представленные на факультете наук Парижа г-ном Жюлем Ришаром, 1-я диссертация: «На поверхности волн Френеля...» , Шатору, 1901 г. (126 страниц).
• По философии математики , Готье-Виллар, Париж, 1903 г. (248 страниц).
• О способе раскрытия проективной геометрии , L’Enseignement Mathématique 7 (1905) 366–374.
• Принципы математики и проблема множеств , Revue Générale des Sciences Pures et Appliques 16 (1905) 541-543.
• Принципы математики и проблема множеств (1905 г.), английский перевод Жана ван Хейеноорта, «От Фреге до Гёделя - справочник по математической логике», 1879–1931. Гарвардский университет. Пресс, 1967, с. 142-144.
• Письмо редактору журнала Revue Générale des Sciences , Acta Math. 30 (1906) 295-296.
• О принципах механики , Mathematical Education 8 (1906) 137–143.
• Соображения по астрономии, ее недостаточное место на различных уровнях образования , L'Enseignement Mathématique 8 (1906) 208-216.
• О логике и понятии целого числа , L’Enseignement Mathématique 9 (1907) 39–44.
• О парадоксе теории множеств и аксиоме Цермело , L'Enseignement Mathématique 9 (1907) 94–98.
• О природе аксиом геометрии , Mathematical Education 10 (1908) 60-65.
• О переводах , Математическое образование 11 (1909) 98-101.
• Против экспериментальной геометрии Revue de l’Enseignement des Sciences (1910) 150.

См. также

• Доказательство невозможности

Ссылки

• Ж. Итар: Ричард, Жюль Антуан , Словарь научной биографии, 11 , Сыновья Чарльза Скрибнера, Нью-Йорк (1980) 413–414. [Похоже, это единственный первоисточник, которым пользуются все остальные биографы.]
• С. Готвальд: Рихард, Жюль Антуан в: Лексикон выдающихся математиков, Харри Дойч, Тун и Франкфурт (М) 1990.
• Джей Джей О'Коннор, Э. Ф. Робертсон: Архив истории математики MacTutor [1]

Ричарда

• Х. Мешковски, В. Нильсон: Георг Кантор - Письма , Sphinhubyringer, Берлин, 1991, с. 446.
• В. Мюкенхайм: Математика бесконечности , Шейкер, Аахен, 2006.
• А. Н. Уайтхед, Б. Рассел: Principia Mathematica I , Cambridge Univ. Пресс, Кембридж, 1910, с. 64. [2]
• Э. Цермело: Новые доказательства возможности хорошего порядка , Матем. 65 (1908) с. 107-128. [3]

Внешние ссылки

• Парадокс Ричарда
• Логическое чтение