функция Уолша

Натуральная упорядоченная матрица Адамара (средняя матрица) порядка 16, которая представляет собой последовательность, упорядоченную для вывода матрицы Уолша (правая матрица).
Оба содержат 16 функций Уолша 16-го порядка в виде строк (и столбцов).
В правой матрице количество смен знака в строке является последовательным.

В математике , точнее в гармоническом анализе , функции Уолша образуют полный ортогональный набор , функций который можно использовать для представления любой дискретной функции — точно так же, как тригонометрические функции можно использовать для представления любой непрерывной функции в анализе Фурье . Таким образом, их можно рассматривать как дискретный цифровой аналог непрерывной аналоговой системы тригонометрических функций на единичном интервале . Но в отличие от функций синуса и косинуса , которые являются непрерывными, функции Уолша являются кусочно- постоянными . Они принимают значения −1 и +1 только на подинтервалах, определяемых двоичными дробями .

Система функций Уолша известна как система Уолша . Это расширение Радемахера . системы ортогональных функций

функции Уолша, система Уолша, ряд Уолша, и быстрое преобразование Уолша-Адамара названы в честь американского математика Джозефа Л. Уолша . Они находят различные применения в физике и технике при анализе цифровых сигналов .

Исторически различные нумерации использовались функций Уолша; ни один из них не превосходит другого. В этой статье используется нумерация Уолша – Пэли .

Определение

Определим последовательность функций Уолша $W_{k}:[0,1]\rightarrow \{-1,1\}$, $k\in \mathbb {N}$ следующее.

Для любого натурального числа k и действительного числа $x\in [0,1]$, позволять

$k_{j}$ быть j -м битом в двоичном представлении k , начиная с $k_{0}$ как наименее значащий бит, и

$x_{j}$ быть j -м битом в дробно-двоичном представлении $x$, начиная с $x_{1}$ как самый старший дробный бит.

Тогда по определению

$W_{k}(x)=(-1)^{\sum _{j=0}^{\infty }k_{j}x_{j+1}}$

В частности, $W_{0}(x)=1$ всюду на интервале, поскольку все биты k равны нулю.

Обратите внимание, что $W_{2^{m}}$ это в точности функция Радемахера r _m .Таким образом, система Радемахера является подсистемой системы Уолша. Более того, каждая функция Уолша является произведением функций Радемахера:

$W_{k}(x)=\prod _{j=0}^{\infty }r_{j}(x)^{k_{j}}$

функций Уолша и

Функции Уолша и тригонометрические функции представляют собой системы, которые образуют полный ортонормированный набор функций, ортонормированный базис в гильбертовом пространстве. $L^{2}[0,1]$ функций , интегрируемых с квадратом, на единичном интервале. Обе являются системами ограниченных функций , в отличие, скажем, от системы Хаара или системы Франклина.

И тригонометрическая система, и система Уолша допускают естественное расширение по периодичности от единичного интервала до действительной прямой . Кроме того, как анализ Фурье на единичном интервале ( ряд Фурье ), так и на реальной линии ( преобразование Фурье ) имеют свои цифровые аналоги, определенные через систему Уолша, ряд Уолша, аналогичный ряду Фурье, и преобразование Адамара, аналогичное преобразованию Фурье.

Свойства

Система Уолша $\{W_{k}\},k\in \mathbb {N} _{0}$ — абелева мультипликативная дискретная группа изоморфная , $\coprod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, Понтрягин, двойственный группе Кантора $\prod _{n=0}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$. Его идентичность ​ $W_{0}$, и каждый элемент имеет второй порядок (то есть самоинверсный).

Система Уолша является ортонормированным базисом гильбертова пространства. $L^{2}[0,1]$. Ортонормальность означает

$\int _{0}^{1}W_{k}(x)W_{l}(x)dx=\delta _{kl}$,

а быть базисом означает, что если для каждого $f\in L^{2}[0,1]$, мы установили $f_{k}=\int _{0}^{1}f(x)W_{k}(x)dx$ затем

$\int _{0}^{1}(f(x)-\sum _{k=0}^{N}f_{k}W_{k}(x))^{2}dx\;\ {\xrightarrow[{N\rightarrow \infty }]{}}\;\ 0$

Оказывается, для каждого $f\in L^{2}[0,1]$, сериал $\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}W_{k}(x)$ сходится к $f(x)$ почти для каждого $x\in [0,1]$.

Система Уолша (в нумерации Уолша-Пэли) образует базис Шаудера в $L^{p}[0,1]$,   $1<p<\infty$. Обратите внимание, что в отличие от системы Хаара и, как и тригонометрической системы, этот базис не является безусловным , и система не является базисом Шаудера в $L^{1}[0,1]$.

Обобщения

Системы Уолша-Ферлегера

Позволять $\mathbb {D} =\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ — компактная группа Кантора, наделенная мерой Хаара , и пусть ${\hat {\mathbb {D} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ быть его дискретной группой символов . Элементы ${\hat {\mathbb {D} }}$ легко отождествляются с функциями Уолша. Разумеется, персонажи определены на $\mathbb {D}$ в то время как функции Уолша определены на единичном интервале, но поскольку существует изоморфизм по модулю нуля между этими пространствами с мерой , измеримые функции на них идентифицируются посредством изометрии .

Тогда базовая теория представлений предлагает следующее широкое обобщение понятия системы Уолша .

Для произвольного банахова пространства $(X,||\cdot ||)$ позволять $\{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }\subset \operatorname {Aut} X$ — сильно непрерывное , равномерно точное действие ограниченное $\mathbb {D}$ на Х. ​Для каждого $\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}$, рассмотрим его собственное пространство $X_{\gamma }=\{x\in X:R_{t}x=\gamma (t)x\}$. Тогда X — замкнутая линейная оболочка собственных пространств: $X={\overline {\operatorname {Span} }}(X_{\gamma },\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }})$. Предположим, что каждое собственное пространство одномерно , и выберите элемент $w_{\gamma }\in X_{\gamma }$ такой, что $\|w_{\gamma }\|=1$. Тогда система $\{w_{\gamma }\}_{\gamma \in {\hat {\mathbb {D} }}}$, или та же система в нумерации символов Уолша-Пэли $\{w_{k}\}_{k\in {\mathbb {N} }_{0}}$ называется обобщенной системой Уолша, связанной с действием $\{R_{t}\}_{t\in \mathbb {D} }$. Классическая система Уолша становится частным случаем, а именно:

$R_{t}:x=\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}2^{-j}\mapsto \sum _{j=1}^{\infty }(x_{j}\oplus t_{j})2^{-j}$

где $\oplus$ это сложение по модулю 2.

В начале 1990-х годов Серж Ферлегер и Федор Сукочев показали, что в широком классе банаховых пространств (так называемых UMD- пространств ) обобщенные системы Уолша обладают многими свойствами, аналогичными классическим: они образуют базис Шаудера и равномерное конечномерное разложение в пространстве обладают свойством случайной безусловной сходимости. Одним из важных примеров обобщенной системы Уолша является фермионная система Уолша в некоммутативном L. ^п пространства, связанные с гиперконечным фактором типа II .

Фермионная система Уолша

Фермионная система Уолша является некоммутативным или «квантовым» аналогом классической системы Уолша. В отличие от последнего, он состоит из операторов, а не функций. Тем не менее, обе системы обладают многими важными свойствами, например, обе образуют ортонормированный базис в соответствующем гильбертовом пространстве или базис Шаудера в соответствующих симметричных пространствах. Элементы фермионной системы Уолша называются операторами Уолша .

Термин «фермион» в названии системы объясняется тем, что обертывающее операторное пространство, так называемый гиперконечный фактор II типа ${\mathcal {R}}$, можно рассматривать как пространство наблюдаемых системы счетного бесконечного числа различных спинов $1/2$ фермионы . Каждый оператор Радемахера действует только на одну конкретную координату фермиона, и там это матрица Паули . Его можно отождествить с наблюдаемой измеряемой спиновой компонентой этого фермиона вдоль одной из осей $\{x,y,z\}$ в спиновом пространстве. Таким образом, оператор Уолша измеряет спин подмножества фермионов, каждый вдоль своей оси.

Система Виленкина

Исправить последовательность $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},...)$ целых чисел с $\alpha _{k}\geq 2,k=1,2,\dots$ и пусть $\mathbb {G} =\mathbb {G} _{\alpha }=\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /\alpha _{k}\mathbb {Z}$ наделен топологией произведения и нормированной мерой Хаара. Определять $A_{0}=1$ и $A_{k}=\alpha _{1}\alpha _{2}\dots \alpha _{k-1}$. Каждый $x\in \mathbb {G}$ может быть связано с действительным числом

$\left|x\right|=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x_{k}}{A_{k}}}\in \left[0,1\right].$

Это соответствие представляет собой нулевой модульный изоморфизм между $\mathbb {G}$ и единичный интервал. Он также определяет норму, которая топологию генерирует $\mathbb {G}$. Для $k=1,2,\dots$, позволять $\rho _{k}:\mathbb {G} \to \mathbb {C}$ где

$\rho _{k}(x)=\exp \left(i{\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right)=\cos \left({\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi x_{k}}{\alpha _{k}}}\right).$

Набор $\{\rho _{k}\}$ называется обобщенной системой Радемахера . Система Виленкина – это группа ${\hat {\mathbb {G} }}=\coprod _{n=1}^{\infty }\mathbb {Z} /\alpha _{k}\mathbb {Z}$ ( комплексных ) символов $\mathbb {G}$, которые все являются конечными произведениями $\{\rho _{k}\}$. Для каждого неотрицательного целого числа $n$ существует уникальная последовательность $n_{0},n_{1},\dots$ такой, что $0\leq n_{k}<\alpha _{k+1},k=0,1,2,\dots$ и

$n=\sum _{k=0}^{\infty }n_{k}A_{k}.$

Затем ${\hat {\mathbb {G} }}={\chi _{n}|n=0,1,\dots }$ где

$\chi _{n}=\sum _{k=0}^{\infty }\rho _{k+1}^{n_{k}}.$

В частности, если $\alpha _{k}=2,k=1,2...$, затем $\mathbb {G}$ это группа Кантора и ${\hat {\mathbb {G} }}=\left\{\chi _{n}|n=0,1,\dots \right\}$ - это (действительная) система Уолша-Пэли.

Система Виленкина является полной ортонормированной системой на $\mathbb {G}$ и формирует основу для содрогания в $L^{p}(\mathbb {G} ,\mathbb {C} )$,  $1<p<\infty$.

фазовые

нелинейные фазовые расширения дискретного преобразования Уолша-Адамара Разработаны . Было показано, что нелинейные фазовые базисные функции с улучшенными свойствами взаимной корреляции значительно превосходят традиционные коды Уолша в связи множественного доступа с кодовым разделением каналов (CDMA).

Приложения

Приложения функций Уолша можно найти везде, где используются цифровые представления, включая распознавание речи , обработку медицинских и биологических изображений и цифровую голографию .

Например, быстрое преобразование Уолша-Адамара (FWHT) может использоваться при анализе цифровых методов квази-Монте-Карло . В радиоастрономии функции Уолша могут помочь уменьшить влияние электрических перекрестных помех между сигналами антенн. Они также используются в пассивных ЖК- панелях в качестве сигналов двоичного управления X и Y, где автокорреляция между X и Y может быть сделана минимальной для пикселей выключенных .

См. также

• Дискретное преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье
• Гармонический анализ
• Ортогональные функции
• Матрица Уолша
• Функция четности

Ссылки

• Ферлегер, Сергей В. (март 1998 г.). RUC-системы в некоммутативных симметричных пространствах (Технический отчет). МП-АРК-98-188.
• Ферлегер, Сергей В.; Сукочев, Федор А. (март 1996 г.). «О стягиваемости в точку линейных групп рефлексивных некоммутативных Lp-пространств». Математические труды Кембриджского философского общества . 119 (3): 545–560. Бибкод : 1996MPCPS.119..545F . дои : 10.1017/s0305004100074405 . S2CID   119786894 .
• Файн, Нью-Джерси (1949). «О функциях Уолша» . Пер. амер. Математика. Соц . 65 (3): 372–414. дои : 10.1090/s0002-9947-1949-0032833-2 .
• Писье, Жиль (2011). Мартингалы в банаховых пространствах (в связи с типом и котипом). Курс IHP (PDF) .
• Шипп, Ференц; Уэйд, WR; Саймон, П. (1990). Серия Уолша. Введение в диадический гармонический анализ . Академии Киадо.
• Сукочев Федор А.; Ферлегер, Сергей В. (декабрь 1995 г.). «Гармонический анализ в (UMD)-пространствах: приложения к теории базисов». Математические заметки . 58 (6): 1315–1326. дои : 10.1007/bf02304891 . S2CID   121256402 .
• Уолш, Дж. Л. (1923). «Замкнутое множество нормальных ортогональных функций». амер. Дж. Математика. 45 (1): 5–24. дои : 10.2307/2387224 . JSTOR   2387224 . S2CID   6131655 .
• Янг, В.-С. (1976). «Средняя сходимость обобщенных рядов Уолша-Фурье» . Пер. амер. Математика. Соц. 218 : 311–320. дои : 10.1090/s0002-9947-1976-0394022-8 . JSTOR   1997441 . S2CID   53755959 .

Внешние ссылки

• «Функции Уолша» . Математический мир .

• «Функции Уолша» . Энциклопедия математики .

• «Система Уолша» . Энциклопедия математики .

• «Функции Уолша» . Стэнфордский исследовательский проект .