Стандартное вероятностное пространство

В теории вероятностей стандартное вероятностное пространство , также называемое вероятностным пространством Лебега–Рохлина или просто пространством Лебега (последний термин неоднозначен), представляет собой вероятностное пространство, удовлетворяющее определенным предположениям, введенным Владимиром Рохлиным в 1940 году. Неформально это вероятностное пространство, состоящее из интервал и/или конечное или счетное число атомов .

Теория стандартных вероятностных пространств была начата фон Нейманом в 1932 году и сформулирована Владимиром Рохлиным в 1940 году. Рохлин показал, что единичный интервал, наделенный мерой Лебега, имеет важные преимущества перед общими вероятностными пространствами, но может быть эффективно заменен многими из них в теория вероятностей. Размерность единичного интервала не является препятствием, как это было ясно еще Норберту Винеру . Он построил винеровский процесс (также называемый броуновским движением ) в виде измеримого отображения единичного интервала в пространство непрерывных функций .

Краткая история

Теория стандартных вероятностных пространств была начата фон Нейманом в 1932 году. и сформирован Владимиром Рохлиным в 1940 году. Модернизированные презентации см. ( Haezendonck 1973 ), ( de la Rue 1993 ), ( Itô 1984 , Sect. 2.4) и ( Rudolph 1990 , Chapter 2).

В настоящее время стандартные вероятностные пространства могут рассматриваться (и часто рассматриваются) в рамках дескриптивной теории множеств через стандартные борелевские пространства , см., например ( Kechris 1995 , Sect. 17). Этот подход основан на теореме об изоморфизме стандартных борелевских пространств ( Кехрис 1995 , теорема (15.6)). Альтернативный подход Рохлина, основанный на теории меры , пренебрегает нулевыми множествами , в отличие от дескриптивной теории множеств.Стандартные вероятностные пространства обычно используются в эргодической теории .

Определение

Ниже после некоторых приготовлений дано одно из нескольких хорошо известных эквивалентных определений стандартности. Все вероятностные пространства считаются полными .

Изоморфизм

Изоморфизм между двумя вероятностными пространствами $\textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})$, $\textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})$ это обратимая карта $\textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}$ такой, что $\textstyle f$ и $\textstyle f^{-1}$ оба являются (измеримыми и) сохраняющими меру картами .

Два вероятностных пространства изоморфны, если между ними существует изоморфизм.

Изоморфизм по модулю нуля

Два вероятностных пространства $\textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})$, $\textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})$ изоморфны $\textstyle \operatorname {mod} \,0$ если существуют нулевые множества $\textstyle A_{1}\subset \Omega _{1}$, $\textstyle A_{2}\subset \Omega _{2}$ такие, что вероятностные пространства $\textstyle \Omega _{1}\setminus A_{1}$, $\textstyle \Omega _{2}\setminus A_{2}$ изоморфны (естественно наделены сигма-полями и вероятностными мерами).

вероятностное

Вероятностное пространство является стандартным , если оно изоморфно. $\textstyle \operatorname {mod} \,0$ к интервалу с мерой Лебега, конечному или счетному набору атомов или их комбинации (несвязному объединению).

См. ( Рохлин, 1952 , разд. 2.4 (с. 20)), ( Haezendonck 1973 , предложение 6 (с. 249) и замечание 2 (с. 250)), и ( de la Rue 1993 , теорема 4-3). См. также ( Kechris 1995 , раздел 17.F) и ( Itô 1984 , особенно раздел 2.4 и упражнение 3.1(v)). В ( Петерсен 1983 , определение 4.5 на стр. 16) мера предполагается конечной, не обязательно вероятностной. В ( Sinai 1994 , определение 1 на стр. 16) атомы не допускаются.

Примеры нестандартных вероятностных пространств

Наивный

Пространство всех функций $\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ можно рассматривать как продукт $\textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ континуума копий реальной строки $\textstyle \mathbb {R}$. Можно наделить $\textstyle \mathbb {R}$ с вероятностной мерой, скажем, стандартным нормальным распределением $\textstyle \gamma =N(0,1)$, и рассматривать пространство функций как произведение $\textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )^{\mathbb {R} }$ континуума идентичных вероятностных пространств $\textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )$. продукта Мера $\textstyle \gamma ^{\mathbb {R} }$ является вероятностной мерой $\textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$. Наивно может показаться, что $\textstyle \gamma ^{\mathbb {R} }$ описывает белый шум .

Однако интеграл функции белого шума от 0 до 1 должен быть случайной величиной с распределением N (0, 1). Напротив, интеграл (от 0 до 1) от $\textstyle f\in \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )^{\mathbb {R} }$ является неопределенным. ƒ также не может быть почти наверняка измерим, а вероятность того, что ƒ измерима, не определена. Действительно, если X — случайная величина, распределенная (скажем) равномерно на (0, 1) и независимая от ƒ , то ƒ ( X ) вообще не является случайной величиной (у нее отсутствует измеримость).

Перфорированный интервал

Позволять $\textstyle Z\subset (0,1)$ — множество, у которого внутренняя мера Лебега равна 0, а внешняя мера Лебега равна 1 (таким образом, $\textstyle Z$ неизмерима до крайности ). Существует вероятностная мера $\textstyle m$ на $\textstyle Z$ такой, что $\textstyle m(Z\cap A)=\operatorname {mes} (A)$ для каждого измеримого по Лебегу $\textstyle A\subset (0,1)$. (Здесь $\textstyle \operatorname {mes}$ – мера Лебега.) События и случайные величины в вероятностном пространстве $\textstyle (Z,m)$ (обработанный $\textstyle \operatorname {mod} \,0$) находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с событиями и случайными величинами в вероятностном пространстве $\textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )$. Может показаться, что вероятностное пространство $\textstyle (Z,m)$ так же хорошо, как $\textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )$.

Однако это не так. Случайная величина $\textstyle X$ определяется $\textstyle X(\omega )=\omega$ распределяется равномерно по $\textstyle (0,1)$. Условная мера, заданная $\textstyle X=x$, представляет собой всего лишь один атом (при $\textstyle x$), при условии, что $\textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )$ является основным вероятностным пространством. Однако, если $\textstyle (Z,m)$ вместо этого используется, то условная мера не существует, когда $\textstyle x\notin Z$.

Аналогично строится перфорированный круг. Его события и случайные величины такие же, как и на обычном круге. Группа вращений действует на них естественным образом. Однако на перфорированный круг он не действует.

См. также ( Рудольф 1990 , стр. 17).

Лишнее измеримое множество

Позволять $\textstyle Z\subset (0,1)$ быть как в предыдущем примере. Наборы формы $\textstyle (A\cap Z)\cup (B\setminus Z),$ где $\textstyle A$ и $\textstyle B$ — произвольные измеримые по Лебегу множества, являются σ-алгеброй $\textstyle {\mathcal {F}};$ он содержит σ-алгебру Лебега и $\textstyle Z.$ Формула

$\displaystyle m{\big (}(A\cap Z)\cup (B\setminus Z){\big )}=p\,\operatorname {mes} (A)+(1-p)\operatorname {mes} (B)$

дает общий вид вероятностной меры $\textstyle m$ на $\textstyle {\big (}(0,1),{\mathcal {F}}{\big )}$ что расширяет меру Лебега; здесь $\textstyle p\in [0,1]$ является параметром. Если говорить конкретно, мы выбираем $\textstyle p=0.5.$ Может показаться, что такое расширение меры Лебега по крайней мере безвредно.

Однако это замаскированный перфорированный интервал. Карта

$f(x)={\begin{cases}0.5x&{\text{for }}x\in Z,\\0.5+0.5x&{\text{for }}x\in (0,1)\setminus Z\end{cases}}$

является изоморфизмом между $\textstyle {\big (}(0,1),{\mathcal {F}},m{\big )}$ и перфорированный интервал, соответствующий множеству

$\displaystyle Z_{1}=\{0.5x:x\in Z\}\cup \{0.5+0.5x:x\in (0,1)\setminus Z\}\,,$

другой набор внутренней меры Лебега 0, но внешней меры Лебега 1.

См. также ( Рудольф 1990 , упражнение 2.11 на стр. 18).

Критерий стандартности

Стандартность данного вероятностного пространства $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ эквивалентно некоторому свойству измеримого отображения $\textstyle f$ от $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ в измеримое пространство $\textstyle (X,\Sigma ).$ Ответ (стандартный или нет) не зависит от выбора $\textstyle (X,\Sigma )$ и $\textstyle f$. Этот факт весьма полезен; можно адаптировать выбор $\textstyle (X,\Sigma )$ и $\textstyle f$ к данному $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P).$ Нет необходимости рассматривать все случаи. Может быть удобно исследовать случайную величину $\textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ,$ случайный вектор $\textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n},$ случайная последовательность $\textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{\infty },$ или последовательность событий $\textstyle (A_{1},A_{2},\dots )$ рассматривается как последовательность двузначных случайных величин, $\textstyle f:\Omega \to \{0,1\}^{\infty }.$

Будут наложены два условия $\textstyle f$ (быть инъективным и порождающим). Ниже предполагается, что такое $\textstyle f$ дано. Вопрос о его существовании будет рассмотрен позже.

Вероятностное пространство $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ предполагается полным (иначе оно не может быть стандартным).

Одна случайная величина

Измеримая функция $\textstyle f:\Omega \to \mathbb {R}$ побуждает к принятию мер вперед $f_{*}P$, – вероятностная мера $\textstyle \mu$ на $\textstyle \mathbb {R} ,$ определяется

$\displaystyle \mu (B)=(f_{*}P)(B)=P{\big (}f^{-1}(B){\big )}$ для наборов Бореля $\textstyle B\subset \mathbb {R} .$

т.е. распределение случайной величины $f$. Изображение $\textstyle f(\Omega )$ всегда есть совокупность полной внешней меры,

$\displaystyle \mu ^{*}{\big (}f(\Omega ){\big )}=\inf _{B\supset f(\Omega )}\mu (B)=\inf _{B\supset f(\Omega )}P(f^{-1}(B))=P(\Omega )=1,$

но его внутренняя мера может быть иной (см. перфорированный интервал ). Другими словами, $\textstyle f(\Omega )$ не обязательно должен быть набором полной меры $\textstyle \mu .$

Измеримая функция $\textstyle f:\Omega \to \mathbb {R}$ называется порождающим, если $\textstyle {\mathcal {F}}$ является завершением относительно $P$ σ-алгебры прообразов $\textstyle f^{-1}(B),$ где $\textstyle B\subset \mathbb {R}$ пробегает все множества Бореля.

Осторожность. Следующее условие недостаточно для $\textstyle f$ генерировать: для каждого $\textstyle A\in {\mathcal {F}}$ существует борелевское множество $\textstyle B\subset \mathbb {R}$ такой, что $\textstyle P(A{\mathbin {\Delta }}f^{-1}(B))=0.$ ( $\textstyle \Delta$ означает симметричную разность ).

Теорема. Пусть измеримая функция $\textstyle f:\Omega \to \mathbb {R}$ быть инъективным и порождающим, то следующие два условия эквивалентны:

• $\mu (\textstyle f(\Omega ))=1$ (т.е. внутренняя мера имеет и полную меру, а образ $\textstyle f(\Omega )$ измерима относительно завершения);
• $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\,$ — стандартное вероятностное пространство.

См. также ( Ито 1984 , разд. 3.1).

Случайный вектор

Эта же теорема справедлива для любого $\mathbb {R} ^{n}\,$ (вместо $\mathbb {R} \,$). Измеримая функция $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}\,$ можно рассматривать как конечную последовательность случайных величин $X_{1},\dots ,X_{n}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,$ и $f\,$ генерируется тогда и только тогда, когда ${\mathcal {F}}\,$ является пополнением σ-алгебры, порожденной $X_{1},\dots ,X_{n}.\,$

Случайная последовательность

Теорема по-прежнему справедлива для пространства $\mathbb {R} ^{\infty }\,$ бесконечных последовательностей. Измеримая функция $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{\infty }\,$ можно рассматривать как бесконечную последовательность случайных величин. $X_{1},X_{2},\dots :\Omega \to \mathbb {R} ,\,$ и $f\,$ генерируется тогда и только тогда, когда ${\mathcal {F}}\,$ является пополнением σ-алгебры, порожденной $X_{1},X_{2},\dots .\,$

Последовательность событий

В частности, если случайные величины $X_{n}\,$ принимают только два значения 0 и 1, мы имеем дело с измеримой функцией $f:\Omega \to \{0,1\}^{\infty }\,$ и последовательность наборов $A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.\,$ Функция $f\,$ генерируется тогда и только тогда, когда ${\mathcal {F}}\,$ является пополнением σ-алгебры, порожденной $A_{1},A_{2},\dots .\,$

В пионерской работе ( Рохлин, 1952 ) последовательности $A_{1},A_{2},\ldots \,$ которые соответствуют инъективным, порождающим $f\,$ называются базами вероятностного пространства $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\,$ (см. Рохлин 1952 , разд. 2.1). Базис называется полным по модулю 0, если $f(\Omega )\,$ имеет полную меру $\mu ,\,$ см. ( Рохлин 1952 , разд. 2.2). В том же разделе Рохлин доказал, что если вероятностное пространство полно по модулю 0 относительно некоторого базиса, то оно полно по модулю 0 относительно любого другого базиса, и определяет пространства Лебега этим свойством полноты. См. также ( Haezendonck 1973 , Prop. 4 и Def. 7) и ( Rudolph 1990 , Sect. 2.3, особенно теорему 2.2).

Дополнительные замечания

Рассмотренные выше четыре случая эквивалентны и могут быть объединены, поскольку измеримые пространства $\mathbb {R} ,\,$ $\mathbb {R} ^{n},\,$ $\mathbb {R} ^{\infty }\,$ и $\{0,1\}^{\infty }\,$ взаимно изоморфны; все они являются стандартными измеримыми пространствами (другими словами, стандартными борелевскими пространствами).

Существование инъективной измеримой функции из $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ в стандартное измеримое пространство $\textstyle (X,\Sigma )$ не зависит от выбора $\textstyle (X,\Sigma ).$ принимая $\textstyle (X,\Sigma )=\{0,1\}^{\infty }$ мы получаем свойство, известное как счетно-разделимое (но названное сепарабельным в Itô 1984 ).

Существование производящей измеримой функции из $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ в стандартное измеримое пространство $\textstyle (X,\Sigma )$ также не зависит от выбора $\textstyle (X,\Sigma ).$ принимая $\textstyle (X,\Sigma )=\{0,1\}^{\infty }$ мы получаем свойство, хорошо известное как счетно-порожденность (по модулю 0), см. ( Дарретт 1996 , пример I.5).

Вероятностное пространство	Счетно разделенные	Счетно сгенерированный	Стандартный
Интервал с мерой Лебега	Да	Да	Да
Наивный белый шум	Нет	Нет	Нет
Перфорированный интервал	Да	Да	Нет

Любая инъективная измеримая функция из стандартного вероятностного пространства в стандартное измеримое пространство является порождающей. См. ( Рохлин 1952 , разд. 2.5), ( Хазендонк 1973 , следствие 2 на стр. 253), ( де ла Рю 1993 , теоремы 3-4 и 3-5). Это свойство не выполняется для нестандартного вероятностного пространства, о котором говорилось выше в подразделе «Лишнее измеримое множество».

Осторожность. Свойство счетной порожденности инвариантно относительно изоморфизмов по модулю 0, а свойство счетной разделенности - нет. Фактически, стандартное вероятностное пространство $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ счетно разделена тогда и только тогда, мощность когда $\textstyle \Omega$ не превышает континуума (см. Itô 1984 , Exer. 3.1(v)). Стандартное вероятностное пространство может содержать нулевое множество любой мощности, поэтому его не требуется счетно разделять. Однако оно всегда содержит счетно разделенное подмножество полной меры.

определения

Позволять $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ быть полным вероятностным пространством таким, что мощность $\textstyle \Omega$ не превосходит континуума (общий случай сводится к этому частному случаю, см. предостережение выше).

Через

Определение.   $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ является стандартным, если оно счетно разделено, счетно порождено и абсолютно измеримо.

См. ( Рохлин 1952 , конец разд. 2.3) и ( Хазендонк 1973 , примечание 2 на стр. 248). «Абсолютно измеримый» означает: измеримый в каждом счетно разделенном, счетно порожденном вероятностном пространстве, содержащем его.

Через совершенство

Определение.   $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ является стандартным, если оно счетно разделено и совершенно.

См. ( Ито 1984 , разд. 3.1). «Идеальный» означает, что для каждой измеримой функции из $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ к $\mathbb {R} \,$ мера изображения является регулярной . (Здесь мера изображения определяется на всех множествах, прообразы которых принадлежат $\textstyle {\mathcal {F}}$, независимо от борелевской структуры $\mathbb {R} \,$).

Через топологию

Определение.   $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ является стандартным, если существует топология $\textstyle \tau$ на $\textstyle \Omega$ такой, что

• топологическое пространство $\textstyle (\Omega ,\tau )$ метризуема ​ ;
• $\textstyle {\mathcal {F}}$ является пополнением σ-алгебры, порожденной $\textstyle \tau$ (т. е. всеми открытыми множествами);
• для каждого $\textstyle \varepsilon >0$ существует компактный набор $\textstyle K$ в $\textstyle (\Omega ,\tau )$ такой, что $\textstyle P(K)\geq 1-\varepsilon .$

См. ( de la Rue 1993 , Sect. 1).

Проверка стандартности

Каждое распределение вероятностей в пространстве $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ превращает его в стандартное вероятностное пространство. (Здесь распределение вероятностей означает вероятностную меру, первоначально определенную в сигма-алгебре Бореля и завершенную.)

То же самое справедливо для любого польского пространства , см. ( Рохлин 1952 , разд. 2.7 (стр. 24)), ( Хазендонк 1973 , пример 1 (стр. 248)), ( де ла Рю 1993 , теорема 2-3) и ( Ито 1984 , Теорема 2.4.1).

Например, мера Винера превращает польское пространство $\textstyle C[0,\infty )$ (всех непрерывных функций $\textstyle [0,\infty )\to \mathbb {R} ,$ наделенное топологией локальной равномерной сходимости ) в стандартное вероятностное пространство.

Другой пример: для каждой последовательности случайных величин их совместное распределение превращает польское пространство $\textstyle \mathbb {R} ^{\infty }$ (последовательностей; наделенных топологией произведения ) в стандартное вероятностное пространство.

(Таким образом, идея размерности , весьма естественная для топологических пространств , совершенно неприемлема для стандартных вероятностных пространств.)

Произведение двух стандартных вероятностных пространств является стандартным вероятностным пространством.

То же самое справедливо и для произведения счетного числа пространств, см. ( Рохлин, 1952 , разд. 3.4), ( Хазендонк, 1973 , предложение 12) и ( Ито, 1984 , теорема 2.4.3).

Измеримое подмножество стандартного вероятностного пространства — это стандартное вероятностное пространство. Предполагается, что множество не является нулевым и наделено условной мерой. См. ( Рохлин 1952 , разд. 2.3 (с. 14)) и ( Хазендонк 1973 , предложение 5).

Каждая вероятностная мера стандартного борелевского пространства превращает его в стандартное вероятностное пространство.

Использование стандартности

Обычные условные вероятности

В дискретной настройке условная вероятность является еще одной вероятностной мерой, и условное ожидание можно рассматривать как (обычное) ожидание по отношению к условной мере, см. условное ожидание . В недискретной настройке условие часто трактуется косвенно, поскольку условие может иметь вероятность 0, см. условное ожидание . В результате ряд общеизвестных фактов имеет особые «условные» аналоги. Например: линейность ожидания; Неравенство Йенсена (см. условное математическое ожидание ); неравенство Гёльдера ; теорема о монотонной сходимости и т. д.

Учитывая случайную величину $\textstyle Y$ в вероятностном пространстве $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$, естественно попытаться построить условную меру $\textstyle P_{y}$, то есть условное распределение $\textstyle \omega \in \Omega$ данный $\textstyle Y(\omega )=y$. В общем, это невозможно (см. Durrett 1996 , разд. 4.1(c)). Однако для стандартного вероятностного пространства $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ это возможно и хорошо известно как каноническая система мер (см. Рохлин 1952 , разд. 3.1), которая по сути то же самое, что и условные вероятностные меры (см. Ито 1984 , разд. 3.5), дезинтеграция меры (см. Кехрис 1995 , Упражнение (17.35)), а также регулярные условные вероятности (см . Durrett 1996 , раздел 4.1(c)).

Условное неравенство Йенсена — это просто (обычное) неравенство Йенсена, примененное к условной мере. То же самое справедливо и для многих других фактов.

Измерение сохраняющих преобразований

Учитывая два вероятностных пространства $\textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})$, $\textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})$ и карта, сохраняющая меру $\textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}$, изображение $\textstyle f(\Omega _{1})$ не обязательно охватывать весь $\textstyle \Omega _{2}$, он может пропустить нулевой набор. Может показаться, что $\textstyle P_{2}(f(\Omega _{1}))$ должно быть равно 1, но это не так. Внешняя мера $\textstyle f(\Omega _{1})$ равно 1, но внутренняя мера может отличаться. Однако если вероятностные пространства $\textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})$, $\textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})$ они стандартные тогда $\textstyle P_{2}(f(\Omega _{1}))=1$см. ( de la Rue 1993 , теорема 3-2). Если $\textstyle f$ также взаимно однозначно, то каждый $\textstyle A\in {\mathcal {F}}_{1}$ удовлетворяет $\textstyle f(A)\in {\mathcal {F}}_{2}$, $\textstyle P_{2}(f(A))=P_{1}(A)$. Поэтому, $\textstyle f^{-1}$ измеримо (и сохраняет меру). См. ( Рохлин, 1952 , разд. 2.5 (с. 20)) и ( де ла Рю, 1993 , теорема 3-5). См. также ( Haezendonck 1973 , предложение 9 (и замечание после него)).

«Существует последовательный способ игнорировать множества меры 0 в пространстве меры» ( Петерсен 1983 , стр. 15). Стремясь избавиться от нулевых множеств, математики часто используют классы эквивалентности измеримых множеств или функций. Классы эквивалентности измеримых подмножеств вероятностного пространства образуют нормированную полную булеву алгебру, называемую алгеброй меры (или метрической структурой). Каждая мера сохраняет карту $\textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}$ приводит к гомоморфизму $\textstyle F$ алгебр меры; по сути, $\textstyle F(B)=f^{-1}(B)$ для $\textstyle B\in {\mathcal {F}}_{2}$.

Может показаться, что каждому гомоморфизму алгебр с мерой должно соответствовать некоторое отображение, сохраняющее меру, но это не так. Однако для стандартных вероятностных пространств каждое $\textstyle F$ соответствует некоторому $\textstyle f$. См. ( Рохлин 1952 , разд. 2.6 (стр. 23) и 3.2), ( Кехрис 1995 , разд. 17.F), ( Петерсен 1983 , теорема 4.7 на стр. 17).

См. также

«Стандартное вероятностное пространство» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Ссылки

• Рохлин В.А. (1952), Об основных идеях теории меры (PDF) , Переводы, вып. 71, Американское математическое общество, стр. 1–54 . В переводе с русского: Рохлин, В. А. (1949), "Об основных понятиях теории меры", Математический Сборник (Новая Серия) , 25 (67): 107–150 .
• фон Нейман, Дж. (1932), «Некоторые теоремы об измеримых отображениях», Annals of Mathematics , Second Series, 33 (3): 574–586, doi : 10.2307/1968536 , JSTOR   1968536 .
• Халмош, PR ; фон Нейман, Дж. (1942), «Операторные методы в классической механике, II», Annals of Mathematics , Second Series, 43 (2): 332–350, doi : 10.2307/1968872 , JSTOR   1968872 .
• Хаэзендонк, Дж. (1973), «Абстрактные пространства Лебега–Ролина», Бюллетень Математического общества Бельгии , 25 : 243–258 .
• де ла Рю, Т. (1993), «Пространства Лебега», Семинар по вероятностям XXVII , Конспекты лекций по математике, том. 1557, Шпрингер, Берлин, стр. 15–21 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) .
• Петерсен, К. (1983), Эргодическая теория , Кембриджский университет. Нажимать .
• Ито, К. (1984), Введение в теорию вероятностей , Кембриджский университет. Нажимать .
• Рудольф, DJ (1990), Основы измеримой динамики: эргодическая теория пространств Лебега , Оксфорд: Clarendon Press .
• Синай, Я. Г. (1994), Темы эргодической теории , Princeton Univ. Нажимать .
• Кекрис, А.С. (1995), Классическая описательная теория множеств , Springer .
• Дарретт, Р. (1996), Вероятность: теория и примеры (второе изд.) .
• Винер, Н. (1958), Нелинейные проблемы в теории случайных чисел , MIT Press .