Ортонормированный базис

В математике , особенно в линейной алгебре , ортонормированный базис для пространства внутреннего продукта. $V$ конечной размерностью является основой с $V$ чьи векторы ортонормированы , то есть все они являются единичными векторами и ортогональны друг другу. Например, стандартный базис евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$ является ортонормированным базисом, где соответствующий внутренний продукт является скалярным произведением векторов. Образ или стандартного базиса при вращении для отражении (или любом ортогональном преобразовании ) также ортонормирован, и каждый ортонормированный базис $\mathbb {R} ^{n}$ возникает таким образом.

Для общего внутреннего пространства продукта $V,$ ортонормированный базис можно использовать для определения нормализованных ортогональных координат на $V.$ В этих координатах внутренний продукт становится скалярным произведением векторов. Таким образом, наличие ортонормированного базиса сводит исследование конечномерного пространства скалярных произведений к изучению $\mathbb {R} ^{n}$ под скалярным произведением. Каждое конечномерное пространство внутреннего продукта имеет ортонормированный базис, который можно получить из произвольного базиса с помощью процесса Грама – Шмидта .

В функциональном анализе концепция ортонормированного базиса может быть обобщена на произвольные (бесконечномерные) пространства внутреннего произведения . Учитывая предгильбертово пространство $H,$ ортонормированный базис для $H$ представляет собой ортонормированный набор векторов, обладающий свойством, что каждый вектор в $H$ можно записать как бесконечную линейную комбинацию векторов базиса. В этом случае ортонормированный базис иногда называют базисом Гильберта для $H.$ Обратите внимание, что ортонормированный базис в этом смысле обычно не является базисом Гамеля , поскольку требуются бесконечные линейные комбинации. В частности, линейная оболочка базиса должна быть плотной в $H,$ хотя и не обязательно все пространство.

Если мы перейдем к гильбертовым пространствам , неортонормированный набор векторов, имеющий ту же линейную длину, что и ортонормированный базис, может вообще не быть базисом. Например, любая интегрируемая с квадратом функция на интервале $[-1,1]$ может быть выражено ( почти всюду ) как бесконечная сумма полиномов Лежандра (ортонормированный базис), но не обязательно как бесконечная сумма мономов $x^{n}.$

Другое обобщение касается пространств псевдовнутренних произведений, конечномерных векторных пространств. $M$ снабжен невырожденной симметричной билинейной формой, известной как метрический тензор . В таком базисе метрика принимает вид ${\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)$ с $p$ положительные и $q$ отрицательные.

Примеры

• Для $\mathbb {R} ^{3}$, набор векторов $\left\{\mathbf {e_{1}} ={\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{2}} ={\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{3}} ={\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}}\right\},$ называется стандартным базисом и образует ортонормированный базис $\mathbb {R} ^{3}$ относительно стандартного скалярного произведения. Обратите внимание, что как стандартный базис, так и стандартное скалярное произведение основаны на просмотре $\mathbb {R} ^{3}$ как декартово произведение $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$

  Доказательство. Непосредственное вычисление показывает, что скалярное произведение этих векторов равно нулю. $\left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =0$ и что каждая из их величин равна единице, $\left\|\mathbf {e_{1}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{2}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{3}} \right\|=1.$ Это означает, что $\left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}$ является ортонормированным множеством. Все векторы $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )\in \mathbb {R} ^{3}$ может быть выражено как сумма базисных векторов, масштабированных $$(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=\mathbf {xe_{1}} +\mathbf {ye_{2}} +\mathbf {ze_{3}} ,$$ так $\left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}$ пролеты $\mathbb {R} ^{3}$ и, следовательно, должно быть основой. Можно также показать, что стандартный базис, повернутый вокруг оси, проходящей через начало координат, или отраженный в плоскости, проходящей через начало координат, также образует ортонормированный базис $\mathbb {R} ^{3}$.

• Для $\mathbb {R} ^{n}$, стандартный базис и внутренний продукт определяются аналогично. Любой другой ортонормированный базис связывается со стандартным базисом ортогональным преобразованием в группе O(n).
• Для псевдоевклидова пространства $\mathbb {R} ^{p,q},$, ортогональный базис $\{e_{\mu }\}$ с метрикой $\eta$ вместо этого удовлетворяет $\eta (e_{\mu },e_{\nu })=0$ если $\mu \neq \nu$, $\eta (e_{\mu },e_{\mu })=+1$ если $1\leq \mu \leq p$, и $\eta (e_{\mu },e_{\mu })=-1$ если $p+1\leq \mu \leq p+q$. Любые два ортонормированных базиса связаны псевдоортогональным преобразованием. В случае $(p,q)=(1,3)$, это преобразования Лоренца.
• Набор $\left\{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}$ с $f_{n}(x)=\exp(2\pi inx),$ где $\exp$ обозначает показательную функцию , образует ортонормированный базис пространства функций с конечными интегралами Лебега, $L^{2}([0,1]),$ относительно 2-нормы . Это фундаментально для изучения рядов Фурье .
• Набор $\left\{e_{b}:b\in B\right\}$ с $e_{b}(c)=1$ если $b=c$ и $e_{b}(c)=0$ в противном случае образует ортонормированный базис $\ell ^{2}(B).$
• Собственные функции задачи Штурма–Лиувилля .
• Векторы -столбцы образуют ортогональной матрицы ортонормированный набор.

Основная формула

Если $B$ является ортогональным базисом $H,$ тогда каждый элемент $x\in H$ может быть записано как $$x=\sum _{b\in B}{\frac {\langle x,b\rangle }{\lVert b\rVert ^{2}}}b.$$

Когда $B$ ортонормирован, это упрощается до $$x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b$$ квадрат нормы и $x$ может быть предоставлено $$\|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}.$$

Даже если $B$ несчетно . , только счетное число членов этой суммы будет ненулевым, и, следовательно, выражение корректно определено Эту сумму еще называют Фурье разложением $x,$ и эта формула обычно известна как тождество Парсеваля .

Если $B$ является ортонормированным базисом $H,$ затем $H$ изоморфен ​ ​ $\ell ^{2}(B)$ в следующем смысле: существует биективное линейное отображение $\Phi :H\to \ell ^{2}(B)$ такой, что $$\langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle \ \ \forall \ x,y\in H.$$

Неполные ортогональные множества

Учитывая гильбертово пространство $H$ и набор $S$ взаимно ортогональных векторов в $H,$ мы можем взять наименьшее замкнутое линейное подпространство $V$ из $H$ содержащий $S.$ Затем $S$ будет ортогональным базисом $V;$ которое, конечно, может быть меньше, чем $H$ будучи неполным ортогональным множеством, или быть $H,$ когда это полный ортогональный набор.

Существование

Используя лемму Цорна и процесс Грама – Шмидта (или, проще говоря, хорошо упорядоченную и трансфинитную рекурсию), можно показать, что каждое гильбертово пространство допускает ортонормированный базис; более того, любые два ортонормированных базиса одного и того же пространства имеют одинаковую мощность (это можно доказать способом, аналогичным доказательству обычной теоремы о размерности для векторных пространств , с отдельными случаями, зависящими от того, является ли кандидат в больший базис счетным или нет). Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно допускает счетный ортонормированный базис. (Последнее утверждение можно доказать, не используя аксиому выбора . Однако пришлось бы использовать аксиому счетного выбора .)

Выбор базиса как выбор изоморфизма

Для конкретности мы обсуждаем ортонормированные базисы для реального, $n$-мерное векторное пространство $V$ с положительно определенной симметричной билинейной формой $\phi =\langle \cdot ,\cdot \rangle$.

Один из способов рассмотрения ортонормированного базиса относительно $\phi$ представляет собой набор векторов ${\mathcal {B}}=\{e_{i}\}$, которые позволяют нам писать $v=v^{i}e_{i}\ \ \forall \ v\in V$ , и $v^{i}\in \mathbb {R}$ или $(v^{i})\in \mathbb {R} ^{n}$. По отношению к этой основе компоненты $\phi$ особенно просты: $\phi (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}$ (где $\delta _{ij}$ – дельта Кронекера ).

Теперь мы можем просмотреть базис в виде карты. $\psi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ который является изоморфизмом пространств внутреннего произведения: чтобы сделать это более явным, мы можем написать

$\psi _{\mathcal {B}}:(V,\phi )\rightarrow (\mathbb {R} ^{n},\delta _{ij}).$

Явно мы можем написать $(\psi _{\mathcal {B}}(v))^{i}=e^{i}(v)=\phi (e_{i},v)$ где $e^{i}$ является двойным базисным элементом для $e_{i}$.

Обратное - это карта компонентов

$C_{\mathcal {B}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V,(v^{i})\mapsto \sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}.$

Эти определения показывают, что существует биекция

$\{{\text{Space of orthogonal bases }}{\mathcal {B}}\}\leftrightarrow \{{\text{Space of isomorphisms }}V\leftrightarrow \mathbb {R} ^{n}\}.$

Пространство изоморфизмов допускает действия ортогональных групп либо в $V$ сторона или $\mathbb {R} ^{n}$ сторона. Для конкретности мы фиксируем изоморфизмы так, чтобы они указывали в направлении $\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V$, и рассмотрим пространство таких отображений, ${\text{Iso}}(\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V)$.

Это пространство допускает левое действие группы изометрий $V$, то есть, $R\in {\text{GL}}(V)$ такой, что $\phi (\cdot ,\cdot )=\phi (R\cdot ,R\cdot )$, с действием, заданным композицией: $R*C=R\circ C.$

Это пространство допускает также правильное действие группы изометрий $\mathbb {R} ^{n}$, то есть, $R_{ij}\in {\text{O}}(n)\subset {\text{Mat}}_{n\times n}(\mathbb {R} )$, с действием, снова заданным композицией: $C*R_{ij}=C\circ R_{ij}$.

Как главное однородное пространство

Основная статья: коллектор Штифеля

Набор ортонормированных базисов для $\mathbb {R} ^{n}$ со стандартным скалярным произведением является главным однородным пространством или G-торсором ортогональной группы. $G={\text{O}}(n),$ и называется многообразием Штифеля $V_{n}(\mathbb {R} ^{n})$ ортонормированных $n$-рамки .

Другими словами, пространство ортонормированных базисов похоже на ортогональную группу, но без выбора базовой точки: в пространстве ортонормированных базисов нет естественного выбора ортонормированного базиса, но как только он дан, появляется один -однозначное соответствие между основаниями и ортогональной группой. Конкретно, линейное отображение определяется тем, куда оно отправляет данный базис: точно так же, как обратимое отображение может перевести любой базис в любой другой базис, ортогональное отображение может перевести любой ортогональный базис в любой другой ортогональный базис.

Другие многообразия Штифеля $V_{k}(\mathbb {R} ^{n})$ для $k<n$ неполных ортонормированных базисов ( ортонормированных $k$-фреймы) по-прежнему являются однородными пространствами для ортогональной группы, но не главными однородными пространствами: любые $k$-кадр можно перенести в любой другой $k$-кадр ортогональным отображением, но это отображение не определено однозначно.

• Набор ортонормированных базисов для $\mathbb {R} ^{p,q}$ является G-торсором для $G={\text{O}}(p,q)$.
• Набор ортонормированных базисов для $\mathbb {C} ^{n}$ является G-торсором для $G={\text{U}}(n)$.
• Набор ортонормированных базисов для $\mathbb {C} ^{p,q}$ является G-торсором для $G={\text{U}}(p,q)$.
• Набор правосторонних ортонормированных базисов для $\mathbb {R} ^{n}$ является G-торсором для $G={\text{SO}}(n)$

См. также

• Ортогональный базис
• Базис (линейная алгебра) - набор векторов, используемых для определения координат.
• Ортонормальная система координат – Евклидово пространство без расстояний и углов.
• Базис Шаудера – вычислительный инструмент
• Полный набор - подмножество топологического векторного пространства, линейный диапазон которого плотен. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Роман, Стивен (2008). Продвинутая линейная алгебра . Тексты для аспирантов по математике (Третье изд.). Спрингер. ISBN  978-0-387-72828-5 . (стр. 218, гл.9)
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .

Внешние ссылки

• В этом сообщении Stack Exchange обсуждается, почему набор дельта-функций Дирака не является основой L. ² ([0,1]).