Сапоги коллекторные

В математике Штифеля многообразие $V_{k}(\mathbb {R} ^{n})$ — множество всех ортонормированных k -шкалов в $\mathbb {R} ^{n}.$ То есть это набор упорядоченных ортонормированных k -кортежей векторов в $\mathbb {R} ^{n}.$ Он назван в честь швейцарского математика Эдуарда Штифеля . Аналогично можно определить комплексное многообразие Стифеля $V_{k}(\mathbb {C} ^{n})$ ортонормированных k -шкалов в $\mathbb {C} ^{n}$ и кватернионное многообразие Штифеля $V_{k}(\mathbb {H} ^{n})$ ортонормированных k -шкалов в $\mathbb {H} ^{n}$. В более общем смысле, конструкция применима к любому реальному, комплексному или кватернионному пространству внутреннего продукта .

В некоторых контекстах некомпактное многообразие Стифеля определяется как множество всех линейно независимых k -шкалов в $\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n},$ или $\mathbb {H} ^{n};$ это гомотопически эквивалентно , поскольку компактное многообразие Штифеля является деформационным ретрактом некомпактного по Граму – Шмидту . Утверждения о некомпактной форме соответствуют утверждениям о компактной форме, заменяя ортогональную группу (или унитарную , или симплектическую группу) общей линейной группой .

Топология

Позволять $\mathbb {F}$ стоять за $\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,$ или $\mathbb {H} .$ Многообразие Штифеля $V_{k}(\mathbb {F} ^{n})$ можно рассматривать как набор n × k матриц размера , записав k -кадр как матрицу из k векторов-столбцов в $\mathbb {F} ^{n}.$ Условие ортонормированности выражается формулой A * A = $I_{k}$ где A * обозначает транспонирование A и сопряженное $I_{k}$ обозначает k × k единичную матрицу размера . Тогда у нас есть

$V_{k}(\mathbb {F} ^{n})=\left\{A\in \mathbb {F} ^{n\times k}:A^{*}A=I_{k}\right\}.$

Топология ​ на $V_{k}(\mathbb {F} ^{n})$ — топология подпространства, унаследованная от $\mathbb {F} ^{n\times k}.$ С этой топологией $V_{k}(\mathbb {F} ^{n})$ представляет собой компактное многообразие , размерность которого определяется выражением

${\begin{aligned}\dim V_{k}(\mathbb {R} ^{n})&=nk-{\frac {1}{2}}k(k+1)\\\dim V_{k}(\mathbb {C} ^{n})&=2nk-k^{2}\\\dim V_{k}(\mathbb {H} ^{n})&=4nk-k(2k-1)\end{aligned}}$

Как однородное пространство

Каждое из многообразий Штифеля $V_{k}(\mathbb {F} ^{n})$ можно рассматривать как однородное пространство для действия классической группы естественным образом.

Каждое ортогональное преобразование k -шкала в $\mathbb {R} ^{n}$ в результате получается еще один k -кадр, и любые два k -кадра связаны некоторым ортогональным преобразованием. Другими словами, ортогональная группа O( n ) действует транзитивно на $V_{k}(\mathbb {R} ^{n}).$ Подгруппа стабилизатора данного фрейма - это подгруппа, изоморфная O( n − k ), которая действует нетривиально на ортогональном дополнении пространства, натянутого на этот фрейм.

Аналогично унитарная группа U( n ) действует транзитивно на $V_{k}(\mathbb {C} ^{n})$ со стабилизирующей подгруппой U( n − k ) и симплектической группой Sp( n ) действует транзитивно на $V_{k}(\mathbb {H} ^{n})$ со стабилизирующей подгруппой Sp( n − k ).

В каждом случае $V_{k}(\mathbb {F} ^{n})$ можно рассматривать как однородное пространство:

${\begin{aligned}V_{k}(\mathbb {R} ^{n})&\cong {\mbox{O}}(n)/{\mbox{O}}(n-k)\\V_{k}(\mathbb {C} ^{n})&\cong {\mbox{U}}(n)/{\mbox{U}}(n-k)\\V_{k}(\mathbb {H} ^{n})&\cong {\mbox{Sp}}(n)/{\mbox{Sp}}(n-k)\end{aligned}}$

При k = n соответствующее действие свободно, так что многообразие Штифеля $V_{n}(\mathbb {F} ^{n})$ является главным однородным пространством соответствующей классической группы.

Когда k строго меньше n , специальная ортогональная группа SO( n ) также действует транзитивно на $V_{k}(\mathbb {R} ^{n})$ со стабилизирующей подгруппой, изоморфной SO( n − k ), так что

$V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\cong {\mbox{SO}}(n)/{\mbox{SO}}(n-k)\qquad {\mbox{for }}k<n.$

То же самое относится и к действию специальной унитарной группы на $V_{k}(\mathbb {C} ^{n})$

$V_{k}(\mathbb {C} ^{n})\cong {\mbox{SU}}(n)/{\mbox{SU}}(n-k)\qquad {\mbox{for }}k<n.$

Таким образом, при k = n − 1 многообразие Штифеля является главным однородным пространством для соответствующей специальной классической группы.

Единая мера

Многообразие Штифеля можно снабдить равномерной мерой , т. е. борелевской мерой , инвариантной относительно действия отмеченных выше групп. Например, $V_{1}(\mathbb {R} ^{2})$ который изоморфен единичному кругу на евклидовой плоскости, имеет в качестве своей равномерной меры очевидную равномерную меру ( длину дуги ) на окружности. Эту меру несложно опробовать на примере $V_{k}(\mathbb {F} ^{n})$ используя гауссовские случайные матрицы : если $A\in \mathbb {F} ^{n\times k}$ представляет собой случайную матрицу с независимыми элементами, одинаково распределенными в соответствии со стандартным нормальным распределением на $\mathbb {F}$ и A = QR — факторизация A QR - , тогда матрицы $Q\in \mathbb {F} ^{n\times k},R\in \mathbb {F} ^{k\times k}$ являются независимыми случайными величинами , а Q распределяется по равномерной мере на $V_{k}(\mathbb {F} ^{n}).$ Этот результат является следствием теоремы Бартлетта о разложении .

Особые случаи

1 кадр в $\mathbb {F} ^{n}$ представляет собой не что иное, как единичный вектор, поэтому многообразие Стифеля $V_{1}(\mathbb {F} ^{n})$ это просто единичная сфера в $\mathbb {F} ^{n}.$ Поэтому:

${\begin{aligned}V_{1}(\mathbb {R} ^{n})&=S^{n-1}\\V_{1}(\mathbb {C} ^{n})&=S^{2n-1}\\V_{1}(\mathbb {H} ^{n})&=S^{4n-1}\end{aligned}}$

Учитывая 2 кадра в $\mathbb {R} ^{n},$ пусть первый вектор определяет точку в S ^{п -1} а второй - единичный касательный вектор к сфере в этой точке. Таким образом, многообразие Штифеля $V_{2}(\mathbb {R} ^{n})$ можно отождествить с единичным касательным расслоением к S ^{п -1} .

Когда k = n или n −1, мы видели в предыдущем разделе, что $V_{k}(\mathbb {F} ^{n})$ является главным однородным пространством и, следовательно, диффеоморфно соответствующей классической группе:

${\begin{aligned}V_{n-1}(\mathbb {R} ^{n})&\cong \mathrm {SO} (n)\\V_{n-1}(\mathbb {C} ^{n})&\cong \mathrm {SU} (n)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}V_{n}(\mathbb {R} ^{n})&\cong \mathrm {O} (n)\\V_{n}(\mathbb {C} ^{n})&\cong \mathrm {U} (n)\\V_{n}(\mathbb {H} ^{n})&\cong \mathrm {Sp} (n)\end{aligned}}$

Функциональность

Учитывая ортогональное включение между векторными пространствами $X\hookrightarrow Y,$ образ набора k ортонормированных векторов ортонормирован, поэтому существует индуцированное замкнутое включение многообразий Стифеля, $V_{k}(X)\hookrightarrow V_{k}(Y),$ и это функториал . Более тонко, учитывая n -мерное векторное пространство X , конструкция двойственного базиса дает биекцию между базами для X и базами для двойственного пространства. $X^{*},$ который непрерывен и, таким образом, дает гомеоморфизм верхних многообразий Стифеля $V_{n}(X){\stackrel {\sim }{\to }}V_{n}(X^{*}).$ Это также функториал для изоморфизмов векторных пространств.

В качестве основного пакета

Есть естественная проекция

$p:V_{k}(\mathbb {F} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {F} ^{n})$

из многообразия Штифеля $V_{k}(\mathbb {F} ^{n})$ к грассманиану -плоскостей k в $\mathbb {F} ^{n}$ который отправляет k -кадр в подпространство , охватываемое этим кадром. Слой P над заданной точкой в $G_{k}(\mathbb {F} ^{n})$ — множество всех ортонормированных k содержащихся в пространстве P. -шкалов ,

Этот проектор имеет структуру главного G -расслоения , где G — ассоциированная классическая группа степени k . Для конкретики возьмем реальный случай. Существует естественное правое действие O( k ) на $V_{k}(\mathbb {R} ^{n})$ который вращает k -кадр в пространстве, которое он охватывает. Это действие свободное, но не транзитивное. Орбитами -шкалы , этого действия являются в точности ортонормированные k охватывающие данное k -мерное подпространство; то есть они являются слоями отображения p . Аналогичные аргументы справедливы в комплексном и кватернионном случаях.

Тогда у нас есть последовательность основных расслоений:

${\begin{aligned}\mathrm {O} (k)&\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {R} ^{n})\\\mathrm {U} (k)&\to V_{k}(\mathbb {C} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {C} ^{n})\\\mathrm {Sp} (k)&\to V_{k}(\mathbb {H} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {H} ^{n})\end{aligned}}$

Векторные расслоения, связанные с этими главными расслоениями естественным действием G на $\mathbb {F} ^{k}$ представляют собой тавтологические расслоения над грассманианами. Другими словами, многообразие Штифеля $V_{k}(\mathbb {F} ^{n})$ — ортогональное, унитарное или симплектическое расслоение реперов , ассоциированное с тавтологическим расслоением на грассманиане.

Когда человек переходит к $n\to \infty$ В пределе эти расслоения становятся универсальными расслоениями для классических групп.

Гомотопия

Многообразия Штифеля вписываются в семейство расслоений :

$V_{k-1}(\mathbb {R} ^{n-1})\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to S^{n-1},$

таким образом, первая нетривиальная гомотопическая группа пространства $V_{k}(\mathbb {R} ^{n})$ находится в размерности n - k . Более того,

$\pi _{n-k}V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\simeq {\begin{cases}\mathbb {Z} &n-k{\text{ even or }}k=1\\\mathbb {Z} _{2}&n-k{\text{ odd and }}k>1\end{cases}}$

Этот результат используется в теоретико-препятственном определении классов Стифеля – Уитни .

См. также

• Флаговый коллектор
• Матричное распределение Ланжевена

Ссылки

• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-79540-0 .
• Хуземоллер, Дейл (1994). Пучки волокон ((3-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94087-1 .
• Джеймс, Иоан Маккензи (1976). Топология многообразий Штифеля . Архив Кубка. ISBN  978-0-521-21334-9 .
• «Многообразие Штифеля» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]