Универсальный комплект

В математике универсальное расслоение в теории расслоений со структурной группой данной топологической группы $G$ — это конкретное расслоение над классифицирующим пространством $BG$ , такое, что каждое расслоение с данной структурной группой $G$ над $M$ является обратным образом с помощью непрерывная карта $M \to BG$ .

Существование универсального пакета [ править ]

В категории комплекса CW [ править ]

Когда определение классифицирующего пространства происходит в гомотопической категории комплексов CW , теоремы существования универсальных расслоений возникают из теоремы Брауна о представимости .

Для компактных групп Ли [ править ]

Сначала мы докажем:

Предложение. Пусть

G

— компактная группа Ли . Существует сжимаемое пространство

EG,

на котором

G

действует свободно. Проекция

EG \to BG

является

G

-главным расслоением.

Доказательство. Существует вложение группы $G$ в унитарную группу $U (n)$ при $достаточно большом n$ . ^[1] Если мы найдем $EU (n)$ , то мы можем принять $EG$ за $EU (n)$ . Конструкция $EU (n)$ дана в классифицирующем пространстве для $U (n)$ .

Следующая теорема является следствием предыдущего предложения.

Теорема. Если

M

— паракомпактное многообразие и

P \to M

— главное

G

-расслоение, то существует отображение

f : M \to BG

, единственное с точностью до гомотопии, такое, что

P

изоморфно

f * (EG)

— возврат

G-

расслоения

EG \to BG

по

f

.

Доказательство. С одной стороны, обратный образ расслоения $π : EG \to BG$ с помощью естественной проекции $P \times G EG \to BG$ — это расслоение $P \times EG$ . С другой стороны, обратный образ главного $G$ -расслоения $P \to M$ с помощью проекции $p : P \times G EG \to M$ также является $P \times EG.$

{\begin{array}{rcccl}P&\to &P\times EG&\to &EG\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \pi \\M&\to _{\!\!\!\!\!\!\!s}&P\times _{G}EG&\to &BG\end{array}}

Поскольку $p$ — расслоение со стягиваемым слоем $EG$ , сечения $p$ существуют. ^[2] Такому сечению $s$ сопоставим композицию с проекцией $P \times G EG \to BG$ . Карта, которую мы получаем, — это то, $что$ мы искали.

Для обеспечения единственности с точностью до гомотопии заметим, что существует взаимно однозначное соответствие между отображениями $f : M \to BG$ такое, что $f * (EG) \to M$ изоморфно $P \to M$ и сечениям $p$ . Мы только что увидели, как связать f $с$ разделом. Обратно, предположим, что $f$ задано. Пусть $Φ : f * (EG) \to P$ — изоморфизм:

\Phi :\left\{(x,u)\in M\times EG\ :\ f(x)=\pi (u)\right\}\to P

Теперь просто определите раздел по

{\begin{cases}M\to P\times _{G}EG\\x\mapsto \lbrack \Phi (x,u),u\rbrack \end{cases}}

Поскольку все сечения $p$ гомотопны, гомотопический класс $f$ уникален.

Использование при изучении групповых действий [ править ]

Полное пространство универсального расслоения обычно обозначается $EG$ . Эти пространства представляют интерес сами по себе, несмотря на то, что они обычно сжимаемы . Например, при определении гомотопического фактора или пространства гомотопических орбит группового действия группы $G$ в тех случаях, когда пространство орбит является патологичным , в том смысле, что оно является нехаусдорфовым пространством ( например ). Идея, если $G$ действует в пространстве $X$ , состоит в том, чтобы вместо этого рассмотреть действие на $Y = X \times EG$ и соответствующий фактор. см. в разделе «Эквивариантные когомологии» Более подробное обсуждение .

Если $EG$ стягиваемо, то $X$ и $Y$ — гомотопически эквивалентные пространства. Но диагональное действие на $Y$ , т. е. когда $G$ действует как на $координаты X$ , так и $на координаты EG$ , может вести себя хорошо, в то время как действие на $X$ — нет.

Примеры [ править ]

Классифицирующее пространство для U (n)

См. также [ править ]

Класс Черна
тавтологическое расслоение — универсальное расслоение для полной линейной группы.

Внешние ссылки [ править ]

Страница PlanetMath с примерами универсальных пакетов

Примечания [ править ]

^ Дж. Дж. Дуйстермаат и Дж. А. Колк, - Группы лжи , Universitext, Springer. Следствие 4.6.5.
^ А.~Дольд - Разбиения единицы в теории расслоений , Анналы математики, том. 78, № 2 (1963)

[1] Дж. Дж. Дуйстермаат и Дж. А. Колк, - Группы лжи , Universitext, Springer. Следствие 4.6.5.

[2] А.~Дольд - Разбиения единицы в теории расслоений , Анналы математики, том. 78, № 2 (1963)

[1]

[2]