Нелокальный оператор

В математике нелокальный , оператор — это отображение которое отображает функции в топологическом пространстве в функции таким образом, что значение выходной функции в данной точке не может быть определено исключительно из значений входной функции в любой окрестности любой точки. точка. Примером нелокального оператора является преобразование Фурье .

Формальное определение

Позволять $X$ быть топологическим пространством , $Y$ набор ​ , $F(X)$ функциональное пространство, содержащее функции с областью определения $X$, и $G(Y)$ функциональное пространство, содержащее функции с областью определения $Y$. Две функции $u$ и $v$ в $F(X)$ называются эквивалентными при $x\in X$ если существует окрестности $N$ из $x$ такой, что $u(x')=v(x')$ для всех $x'\in N$. Оператор $A:F(X)\to G(Y)$ называется локальным, если для каждого $y\in Y$ существует $x\in X$ такой, что $Au(y)=Av(y)$ для всех функций $u$ и $v$ в $F(X)$ которые эквивалентны в $x$. Нелокальный оператор — это оператор, который не является локальным.

Для локального оператора можно (в принципе) вычислить значение $Au(y)$ используя только знание значений $u$ в сколь угодно малой окрестности точки $x$. Для нелокального оператора это невозможно.

Примеры

Дифференциальные операторы являются примерами локальных операторов. . Большой класс (линейных) нелокальных операторов представлен интегральными преобразованиями , такими как преобразование Фурье и преобразование Лапласа . Для интегрального преобразования вида

$(Au)(y)=\int \limits _{X}u(x)\,K(x,y)\,dx,$

где $K$ это некоторая функция ядра, необходимо знать значения $u$ почти везде поддержке на $K(\cdot ,y)$ для того, чтобы вычислить стоимость $Au$ в $y$.

Примером сингулярного интегрального оператора является дробный лапласиан

$(-\Delta )^{s}f(x)=c_{d,s}\int \limits _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {f(x)-f(y)}{|x-y|^{d+2s}}}\,dy.$

Префактор $c_{d,s}:={\frac {4^{s}\Gamma (d/2+s)}{\pi ^{d/2}|\Gamma (-s)|}}$ включает в себя гамма-функцию и служит нормировочным коэффициентом. Дробный лапласиан играет роль, например, при изучении нелокальных минимальных поверхностей .

Приложения

Некоторые примеры применения нелокальных операторов:

• Анализ временных рядов с использованием преобразований Фурье
• Анализ динамических систем с использованием преобразований Лапласа
• Удаление шума изображения с использованием нелокальных средств
• Моделирование размытия по Гауссу или размытия в движении на изображениях с использованием свертки с ядром размытия или функцией распределения точек.

См. также

• Дробное исчисление
• Линейная карта
• Нелокальный лагранжиан
• Действие на расстоянии

Внешние ссылки

• Нелокальные уравнения вики