Дробный лапласиан

В математике дробный лапласиан — это оператор, который обобщает понятие пространственных производных Лапласа до дробных степеней. Этот оператор часто используется для обобщения определенных типов уравнений в частных производных . Два примера: ^{[ 1 ]} и ^{[ 2 ]} оба берут известные УЧП, содержащие лапласиан, и заменяют его дробной версией.

Определение

В литературе определения дробного лапласиана часто различаются, но в большинстве случаев эти определения эквивалентны. Ниже приводится краткий обзор, доказанный Квасьницким, М.В. ^{[ 3 ]}

Позволять $p\in [1,\infty )$ , ${\mathcal {X}}:=L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ и $s\in (0,1)$ .

Определение Фурье

Если мы далее ограничимся $p\in [1,2]$ , мы получаем

(-\Delta )^{s}f:={\mathcal {F}}_{\xi }^{-1}(|\xi |^{2s}{\mathcal {F}}(f))

В этом определении используется преобразование Фурье для $f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ . Это определение также можно расширить за счет потенциала Бесселя на все $p\in [1,\infty )$ .

Сингулярный оператор

Лапласиан также можно рассматривать как сингулярный интегральный оператор , который определяется как следующий предел, взятый в ${\mathcal {X}}$ .

(-\Delta )^{s}f(x)={\frac {4^{s}\Gamma (d/2+s)}{\pi ^{d/2}|\Gamma (-s)|}}\lim _{r\to 0^{+}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{d}\setminus B_{r}(x)}{{\frac {f(x)-f(y)}{|x-y|^{d+2s}}}\,dy}

Генератор C_0-полугруппы

Используя дробную тепловую полугруппу , которая представляет собой семейство операторов $\{P_{t}\}_{t\in [0,\infty )}$ , мы можем определить дробный лапласиан через его генератор.

$-(-\Delta )^{s}f(x)=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {P_{t}f-f}{t}}$

Следует отметить, что генератор не является дробным лапласианом. $(-\Delta )^{s}$ но негатив в этом $-(-\Delta )^{s}$ . Оператор $P_{t}:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {X}}$ определяется