Карта (математика)

В математике карта — или отображение это функция в общем смысле. ^[1] Эти термины, возможно, возникли в процессе создания географической карты : нанесения поверхности Земли на лист бумаги. ^[2]

Термин карта может использоваться для различения некоторых специальных типов функций, таких как гомоморфизмы . Например, линейная карта — это гомоморфизм векторных пространств , тогда как термин «линейная функция» может иметь это значение или может означать линейный многочлен . ^[3]^[4] В теории категорий карта может относиться к морфизму . ^[2] Термин «трансформация» можно использовать взаимозаменяемо, ^[2] но преобразование часто относится к функции из множества в себя. Есть также несколько менее распространенных применений в логике и теории графов .

Карты как функции

Во многих разделах математики термин карта используется для обозначения функции . ^[5]^[6]^[7] иногда с определенным свойством, имеющим особую важность для этой отрасли. Например, «карта» — это « непрерывная функция » в топологии , « линейное преобразование » в линейной алгебре и т. д.

Некоторые авторы, такие как Серж Ланг , ^[8] используйте слово «функция» только для обозначения карт, в которых кодомен представляет собой набор чисел (т.е. подмножество R или C ), и зарезервируйте термин «отображение» для более общих функций.

Карты определенных видов получили конкретные названия. К ним относятся гомоморфизмы в алгебре , изометрии в геометрии , операторы в анализе и представления в теории групп . ^[2]

В теории динамических систем карта обозначает функцию эволюции , используемую для создания дискретных динамических систем .

Частичное отображение — это частичная функция . Сопутствующая терминология, такая как домен , кодомен , инъективный и непрерывный , может одинаково применяться к картам и функциям с тем же смыслом. Все эти варианты использования могут применяться к «картам» как к общим функциям или как к функциям со специальными свойствами.

Как морфизмы

В теории категорий «карта» часто используется как синоним « морфизма » или «стрелки», которая является функцией, учитывающей структуру, и поэтому может подразумевать большую структуру, чем «функция». ^[9] Например, морфизм $f:\,X\to Y$ в конкретной категории (т.е. морфизм, который можно рассматривать как функцию) несет в себе информацию о своей области (источник $X$ морфизма) и его кодомен (целевой $Y$ ). В широко используемом определении функции $f:X\to Y$ , $f$ является подмножеством $X\times Y$ состоящий из всех пар $(x,f(x))$ для $x\in X$ . В этом смысле функция не захватывает множество $Y$ который используется в качестве кодомена; только диапазон $f(X)$ определяется функцией.

См. также

Применить функцию — функция, которая сопоставляет функцию и ее аргументы со значением функции.
Обозначение стрелки – например, $x\mapsto x+1$ , также известный как карта
Биекция, инъекция и сюръекция - Свойства математических функций
Гомеоморфизм - отображение, сохраняющее все топологические свойства данного пространства.
Список хаотичных карт
Стрелка клена (↦) - обычно произносится как «сопоставляет»
Группа классов отображения - группа изотопических классов топологической группы автоморфизмов.
Группа перестановок - группа, операция которой представляет собой композицию перестановок.
Регулярное отображение (алгебраическая геометрия) - Морфизм алгебраических многообразий.

Ссылки

^ Слова карта , отображение , соответствие и оператор часто используются как синонимы. Халмош 1970 , с. 30. Некоторые авторы используют термин «функция» в более узком значении, а именно, как карту, применимую только к числам.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д «Картография | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 6 декабря 2019 г.
^ Апостол, ТМ (1981). Математический анализ . Аддисон-Уэсли. п. 35. ISBN 0-201-00288-4 .
^ Стачо, Юрай (31 октября 2007 г.). «Функция, один к одному, на» (PDF) . cs.toronto.edu . Проверено 6 декабря 2019 г.
^ «Функции или отображение | Обучение отображению | Функция как особый вид отношения» . Математика Только математика . Проверено 6 декабря 2019 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Карта» . mathworld.wolfram.com . Проверено 6 декабря 2019 г.
^ «Картографирование, математическое | Энциклопедия.com» . www.энциклопедия.com . Проверено 6 декабря 2019 г.
^ Ланг, Серж (1971). Линейная алгебра (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. п. 83. ИСБН 0-201-04211-8 .
^ Симмонс, Х. (2011). Введение в теорию категорий . Издательство Кембриджского университета. п. 2. ISBN 978-1-139-50332-7 .

Цитируемые работы

Халмос, Пол Р. (1970). Наивная теория множеств . Спрингер Верлаг. ISBN 978-0-387-90092-6 .

Внешние ссылки

[1] Слова карта , отображение , соответствие и оператор часто используются как синонимы. Халмош 1970 , с. 30. Некоторые авторы используют термин «функция» в более узком значении, а именно, как карту, применимую только к числам.

[:1-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д «Картография | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 6 декабря 2019 г.

[3] Апостол, ТМ (1981). Математический анализ . Аддисон-Уэсли. п. 35. ISBN 0-201-00288-4 .

[4] Стачо, Юрай (31 октября 2007 г.). «Функция, один к одному, на» (PDF) . cs.toronto.edu . Проверено 6 декабря 2019 г.

[5] «Функции или отображение | Обучение отображению | Функция как особый вид отношения» . Математика Только математика . Проверено 6 декабря 2019 г.

[:0-6] Вайсштейн, Эрик В. «Карта» . mathworld.wolfram.com . Проверено 6 декабря 2019 г.

[7] «Картографирование, математическое | Энциклопедия.com» . www.энциклопедия.com . Проверено 6 декабря 2019 г.

[8] Ланг, Серж (1971). Линейная алгебра (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. п. 83. ИСБН 0-201-04211-8 .

[9] Симмонс, Х. (2011). Введение в теорию категорий . Издательство Кембриджского университета. п. 2. ISBN 978-1-139-50332-7 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]