Синусные и косинусные преобразования

В математике Фурье синус и косинус преобразования являются формами преобразования Фурье , которые не используют комплексные числа или не требуют отрицательной частоты . Это формы, первоначально использованные Жозефом Фурье , и до сих пор предпочтительные в некоторых приложениях, таких как обработка сигналов или статистика . ^[1]

Определение

Синус -преобразование Фурье f $(t),$ иногда обозначаемое либо ${\hat {f}}^{s}$ или ${\mathcal {F}}_{s}(f)$ , является ${\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt.$

Если $t$ означает время, то $ξ$ — это частота в циклах в единицу времени, но абстрактно это может быть любая пара переменных, двойственных друг другу.

Это преобразование обязательно является нечетной функцией частоты, т.е. для всех $ξ$ : ${\hat {f}}^{s}(-\xi )=-{\hat {f}}^{s}(\xi ).$

Числовые коэффициенты в преобразованиях Фурье однозначно определяются только их произведением. Здесь, чтобы в формуле обращения Фурье не было числового множителя, появляется множитель 2, поскольку синусоидальная функция имеет $L 2$ норма ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.$

Косинусное преобразование Фурье f $(t),$ иногда обозначаемое либо ${\hat {f}}^{c}$ или ${\mathcal {F}}_{c}(f)$ , является ${\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt.$

Это обязательно четная функция частоты, т.е. для всех $ξ$ : ${\hat {f}}^{c}(\xi )={\hat {f}}^{c}(-\xi ).$ Поскольку положительные частоты могут полностью выразить преобразование, можно избежать нетривиальной концепции отрицательной частоты, необходимой в обычном преобразовании Фурье.

Упрощение, чтобы избежать отрицательного t

Некоторые авторы ^[2] определите косинусное преобразование только для четных функций от $t$ , и в этом случае его синусное преобразование равно нулю. Поскольку косинус также четный, можно использовать более простую формулу: ${\hat {f}}^{c}(\xi )=2\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt.$

Аналогично, если $f$ — нечетная функция , то косинусное преобразование равно нулю, и синусоидальное преобразование можно упростить до ${\hat {f}}^{s}(\xi )=2\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt.$

Другие конвенции

Точно так же, как преобразование Фурье принимает форму различных уравнений с разными постоянными коэффициентами (см. Преобразование Фурье § Другие соглашения ), другие авторы также определяют косинусное преобразование как ^[3] ${\hat {f}}^{c}(\xi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt.$ и синус как ${\hat {f}}^{s}(\xi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt,$ или косинусное преобразование как ^[4] $F_{c}(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)\cos(\alpha x)\,dx$ и синусоидальное преобразование как $F_{s}(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)\sin(\alpha x)\,dx$ с использованием $\alpha$ в качестве переменной преобразования. И хотя $t$ обычно используется для представления временной области, $x$ часто используется альтернативно, особенно при представлении частот в пространственной области.

Инверсия Фурье

Исходную функцию $f$ можно восстановить по ее преобразованию при обычных гипотезах, что $f$ и оба ее преобразования должны быть абсолютно интегрируемы. Более подробную информацию о различных гипотезах см. в разделе «Теорема об обращении Фурье» .

Формула обращения: ^[5] $f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi +\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi )\sin(2\pi \xi t)\,d\xi ,$

преимущество которого состоит в том, что все величины действительны. Используя формулу сложения косинуса , это можно переписать как $f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cos(2\pi \xi (\tau -t))\,d\tau \,d\xi .$

Если исходная функция $f$ является четной функцией , то синусоидальное преобразование равно нулю; если $f$ — нечетная функция , то косинусное преобразование равно нулю. В любом случае формула обращения упрощается.

Связь с комплексными экспонентами

форма преобразования Фурье Сегодня чаще всего используется : ${\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\xi t}\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\left(\cos(2\pi \xi t)-i\,\sin(2\pi \xi t)\right)dt&&{\text{Euler's Formula}}\\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt\right)-i\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt\right)\\&={\hat {f}}^{c}(\xi )-i{\hat {f}}^{s}(\xi )\end{aligned}}$

Численная оценка

Использование стандартных методов численного вычисления интегралов Фурье, таких как квадратуры Гаусса или Тань-Шинь, вероятно, приведет к совершенно неверным результатам, поскольку квадратурная сумма (для большинства представляющих интерес подынтегральных выражений) очень плохо обусловлена.Требуются специальные численные методы, использующие структуру колебаний, примером которых является метод Оуры для интегралов Фурье. ^[6] Этот метод пытается вычислить подынтегральное выражение в местах, которые асимптотически приближаются к нулям колебаний (синусу или косинусу), быстро уменьшая величину суммируемых положительных и отрицательных членов.

См. также

Ссылки

Уиттакер, Эдмунд и Джеймс Уотсон, Курс современного анализа , четвертое издание, Cambridge Univ. Пресс, 1927, стр. 189, 211.

^ «Основные моменты в истории преобразования Фурье» . Pulse.embs.org . Проверено 8 октября 2018 г.
^ Мэри Л. Боас , Математические методы в физических науках , 2-е изд., John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1
^ «Преобразование Фурье, косинусное и синусоидальное преобразование» . cnyack.homestead.com . Проверено 8 октября 2018 г.
^ Коулман, Мэтью П. (2013). Введение в уравнения в частных производных с помощью MATLAB (второе изд.). Бока Ратон. п. 221. ИСБН 978-1-4398-9846-8 . OCLC 822959644 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Пуанкаре, Анри (1895). Аналитическая теория распространения тепла . Париж: Г. Карре. стр. 108 и след.
^ Такуя Оура, Масатаке Мори, Робастная формула двойной экспоненты для интегралов типа Фурье , Журнал вычислительной и прикладной математики 112.1-2 (1999): 229-241.

[1] «Основные моменты в истории преобразования Фурье» . Pulse.embs.org . Проверено 8 октября 2018 г.

[2] Мэри Л. Боас , Математические методы в физических науках , 2-е изд., John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1

[3] «Преобразование Фурье, косинусное и синусоидальное преобразование» . cnyack.homestead.com . Проверено 8 октября 2018 г.

[4] Коулман, Мэтью П. (2013). Введение в уравнения в частных производных с помощью MATLAB (второе изд.). Бока Ратон. п. 221. ИСБН 978-1-4398-9846-8 . OCLC 822959644 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[5] Пуанкаре, Анри (1895). Аналитическая теория распространения тепла . Париж: Г. Карре. стр. 108 и след.

[6] Такуя Оура, Масатаке Мори, Робастная формула двойной экспоненты для интегралов типа Фурье , Журнал вычислительной и прикладной математики 112.1-2 (1999): 229-241.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]