Самосопряженный оператор

В математике — самосопряженный оператор в комплексном векторном пространстве V со скалярным произведением. $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является линейным отображением A (из V в себя), которое является своим собственным сопряженным . Если V конечномерна матрица с заданным ортонормированным базисом , это эквивалентно условию, что A является A эрмитовой матрицей е. равна ей сопряженной транспонированной , т . ^∗ . По конечномерной спектральной теореме V имеет ортонормированный базис такой, что матрица A относительно этого базиса представляет собой диагональную матрицу с элементами действительных чисел . В данной статье рассматривается применение обобщений этого понятия к операторам в гильбертовых пространствах произвольной размерности.

Самосопряженные операторы используются в функциональном анализе и квантовой механике . В квантовой механике их важность заключается в Дирака-фон Неймана формулировке квантовой механики , в которой физические наблюдаемые, такие как положение , импульс , угловой момент и спин, представлены самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве. Особое значение имеет гамильтонов оператор ${\hat {H}}$ определяется

${\hat {H}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi ,$

что как наблюдаемая соответствует полной энергии частицы массы m в реальном потенциальном поле V . Дифференциальные операторы — важный класс неограниченных операторов .

Структура самосопряженных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах по существу напоминает конечномерный случай. Другими словами, операторы самосопряжены тогда и только тогда, когда они унитарно эквивалентны действительным операторам умножения . С соответствующими модификациями этот результат можно распространить на возможно неограниченные операторы в бесконечномерных пространствах. Поскольку везде определенный самосопряженный оператор обязательно ограничен, необходимо более внимательно относиться к проблеме области определения в неограниченном случае. Более подробно это объясняется ниже.

Определения

Позволять $H$ быть гильбертовым пространством и $A$ неограниченный (т.е. не обязательно ограниченный) оператор с плотной областью определения $\operatorname {Dom} A\subseteq H.$ Это условие выполняется автоматически, когда $H$ конечномерен , поскольку $\operatorname {Dom} A=H$ для каждого линейного оператора в конечномерном пространстве.

График ( произвольного) оператора $A$ это набор $G(A)=\{(x,Ax)\mid x\in \operatorname {Dom} A\}.$ Оператор $B$ говорят, что он расширяет $A$ если $G(A)\subseteq G(B).$ Это написано как $A\subseteq B.$

Пусть внутренний продукт $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ быть сопряженной линейной по второму аргументу. Сопряженный оператор $A^{*}$ действует в подпространстве $\operatorname {Dom} A^{*}\subseteq H$ состоящий из элементов $y$ такой, что

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,\quad \forall x\in \operatorname {Dom} A.$

оператор определенный Плотно $A$ называется симметричным (или эрмитовым ), если $A\subseteq A^{*}$, то есть, если $\operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*}$ и $Ax=A^{*}x$ для всех $x\in \operatorname {Dom} A$. Эквивалентно, $A$ симметричен тогда и только тогда, когда

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in \operatorname {Dom} A.$

С $\operatorname {Dom} A^{*}\supseteq \operatorname {Dom} A$ плотный в $H$, симметричные операторы всегда замыкаемы (т.е. замыкание $G(A)$ — график оператора). Если $A^{*}$ является закрытым расширением $A$, наименьшее закрытое расширение $A^{**}$ из $A$ должен содержаться в $A^{*}$. Следовательно,

$A\subseteq A^{**}\subseteq A^{*}$

для симметричных операторов и

$A=A^{**}\subseteq A^{*}$

для замкнутых симметричных операторов.

Плотно определенный оператор $A$ называется самосопряженным, если $A=A^{*}$, то есть тогда и только тогда, когда $A$ симметричен и $\operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} A^{*}$. Эквивалентно, замкнутый симметричный оператор $A$ является самосопряженным тогда и только тогда, когда $A^{*}$ является симметричным. Если $A$ является самосопряженным, то $\left\langle x,Ax\right\rangle$ реально для всех $x\in H$, то есть,

$\langle x,Ax\rangle ={\overline {\langle Ax,x\rangle }}={\overline {\langle x,Ax\rangle }}\in \mathbb {R} ,\quad \forall x\in H.$

Симметричный оператор $A$ называется существенно самосопряженным, если замыкание $A$ является самосопряженным. Эквивалентно, $A$ по существу является самосопряженным, если оно имеет единственное самосопряженное расширение. С практической точки зрения иметь по существу самосопряженный оператор почти так же хорошо, как иметь самосопряженный оператор, поскольку нам просто нужно выполнить замыкание, чтобы получить самосопряженный оператор.

В физике термин «эрмитиан» относится как к симметричным, так и к самосопряженным операторам. Тонкая разница между ними обычно упускается из виду.

Ограниченные самосопряженные операторы

Позволять $H$ быть гильбертовым пространством и $A:\operatorname {Dom} (A)\to H$ симметричный оператор. Согласно теореме Хеллингера–Тёплица , если $\operatorname {Dom} (A)=H$ затем $A$ обязательно ограничено. Ограниченный оператор $A:H\to H$ является самосопряженным, если

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in H.$

Каждый ограниченный оператор $T:H\to H$ можно записать в сложной форме $T=A+iB$ где $A:H\to H$ и $B:H\to H$ являются ограниченными самосопряженными операторами.

Альтернативно, каждый положительно ограниченный линейный оператор $A:H\to H$ самосопряжено, если гильбертово пространство $H$ является сложным .

Характеристики

Ограниченный самосопряженный оператор $A:H\to H$ определено на $\operatorname {Dom} \left(A\right)=H$ имеет следующие свойства:

• $A:H\to \operatorname {Im} A\subseteq H$ обратим, образ если $A$ плотный в $H.$
• $\left\|A\right\|=\sup \left\{|\langle x,Ax\rangle |:x\in H,\,\|x\|\leq 1\right\}$
• Собственные значения ​ $A$ вещественны, а соответствующие собственные векторы ортогональны.
• Если $\lambda$ является собственным значением $A$ затем $|\lambda |\leq \|A\|$, где $|\lambda |=\|A\|$ если $\|x\|=1$ и $A$ — компактный самосопряженный оператор .

Спектр самосопряженных операторов

См. также: Спектр (функциональный анализ).

Позволять $A:\operatorname {Dom} (A)\to H$ быть неограниченным оператором. Резольвентное множество (или регулярное множество ) $A$ определяется как

$\rho (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} \,:\,\exists (A-\lambda I)^{-1}\;{\text{bounded and densely defined}}\right\}.$

Если $A$ ограничено, определение сводится к $A-\lambda I$ будучи биективным в отношении $H$. Спектр ​ ​ $A$ определяется как дополнение

$\sigma (A)=\mathbb {C} \setminus \rho (A).$

В конечных размерах $\sigma (A)\subseteq \mathbb {C}$ состоит исключительно из (комплексных) собственных значений . Спектр самосопряженного оператора всегда действителен (т. е. $\sigma (A)\subseteq \mathbb {R}$), хотя существуют и несамосопряженные операторы с вещественным спектром. Однако для ограниченных ( нормальных ) операторов спектр веществен тогда и только тогда, когда оператор самосопряжен. Отсюда следует, например, что несамосопряженный оператор с действительным спектром обязательно неограничен.

Предварительно определите $S=\{x\in \operatorname {Dom} A\mid \Vert x\Vert =1\},$ $\textstyle m=\inf _{x\in S}\langle Ax,x\rangle$ и $\textstyle M=\sup _{x\in S}\langle Ax,x\rangle$ с $m,M\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$. Тогда для каждого $\lambda \in \mathbb {C}$ и каждый $x\in \operatorname {Dom} A,$

$\Vert (A-\lambda )x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert ,$

где $\textstyle d(\lambda )=\inf _{r\in [m,M]}|r-\lambda |.$

Действительно, пусть $x\in \operatorname {Dom} A\setminus \{0\}.$ По неравенству Коши–Шварца ,

$\Vert (A-\lambda )x\Vert \geq {\frac {|\langle (A-\lambda )x,x\rangle |}{\Vert x\Vert }}=\left|\left\langle A{\frac {x}{\Vert x\Vert }},{\frac {x}{\Vert x\Vert }}\right\rangle -\lambda \right|\cdot \Vert x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert .$

Если $\lambda \notin [m,M],$ затем $d(\lambda )>0,$ и $A-\lambda I$ называется ограниченным снизу .

Теорема . Самосопряженный оператор имеет действительный спектр.

Доказательство

Позволять $A$ быть самосопряженным и обозначать $R_{\lambda }=A-\lambda I$ с $\lambda \in \mathbb {C} .$ Достаточно доказать, что $\sigma (A)\subseteq [m,M].$

1. Позволять $\lambda \in \mathbb {C} \setminus [m,M].$ Цель – доказать существование и ограниченность $R_{\lambda }^{-1},$ и покажи это $\operatorname {Dom} R_{\lambda }^{-1}=H.$ Начнем с того, что покажем, что $\ker R_{\lambda }=\{0\}$ и $\operatorname {Im} R_{\lambda }=H.$
   1. Как показано выше, $R_{\lambda }$ ограничено снизу, т.е. $\Vert R_{\lambda }x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert ,$ с $d(\lambda )>0.$ Тривиальность $\ker R_{\lambda }$ следует.
   2. Осталось показать, что $\operatorname {Im} R_{\lambda }=H.$ Действительно,
      1. $\operatorname {Im} R_{\lambda }$ закрыт. Чтобы доказать это, выберите последовательность $y_{n}=R_{\lambda }x_{n}\in \operatorname {Im} R_{\lambda }$ сходясь к некоторым $y\in H.$ С $$\|x_{n}-x_{m}\|\leq {\frac {1}{d(\lambda )}}\|y_{n}-y_{m}\|,$$ $x_{n}$ является фундаментальным . Следовательно, оно сходится к некоторому $x\in H.$ Более того, $y_{n}+\lambda x_{n}=Ax_{n}$ и $y_{n}+\lambda x_{n}\to y+\lambda x.$ Приведенные до сих пор аргументы справедливы для любого симметричного оператора. Теперь из самосопряженности следует, что $A$ закрыто, поэтому $x\in \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} R_{\lambda },$ $Ax=y+\lambda x\in \operatorname {Im} A,$ и, следовательно, $y=R_{\lambda }x\in \operatorname {Im} R_{\lambda }.$
      2. $\operatorname {Im} R_{\lambda }$ плотный в $H.$ Самосопряженность $A$ (т.е. $A^{*}=A$) подразумевает $R_{\lambda }^{*}=R_{\bar {\lambda }}$ и таким образом $\left(\operatorname {Im} R_{\lambda }\right)^{\perp }=\ker R_{\bar {\lambda }}$. Последующее включение ${\bar {\lambda }}\in \mathbb {C} \setminus [m,M]$ подразумевает $d({\bar {\lambda }})>0$ и, следовательно, $\ker R_{\bar {\lambda }}=\{0\}.$
2. Оператор $R_{\lambda }\colon \operatorname {Dom} A\to H$ теперь доказано, что оно биективно, поэтому $R_{\lambda }^{-1}$ существует и всюду определена. График $R_{\lambda }^{-1}$ это набор $\{(R_{\lambda }x,x)\mid x\in \operatorname {Dom} A\}.$ С $R_{\lambda }$ закрыто (потому что $A$ есть), так и есть $R_{\lambda }^{-1}.$ По теореме о замкнутом графике $R_{\lambda }^{-1}$ ограничено, поэтому $\lambda \notin \sigma (A).$

Теорема . Симметричный оператор с вещественным спектром самосопряжен.

Доказательство

1. $A$ симметричен; поэтому $A\subseteq A^{*}$ и $A-\lambda I\subseteq A^{*}-\lambda I$ для каждого $\lambda \in \mathbb {C}$. Позволять $\sigma (A)\subseteq [m,M].$ Если $\lambda \notin [m,M]$ затем ${\bar {\lambda }}\notin [m,M]$ и операторы $\{A-\lambda I,A-{\bar {\lambda }}I\}:\operatorname {Dom} A\to H$ оба являются биективными.
2. $A-\lambda I=A^{*}-\lambda I.$ Действительно, $H=\operatorname {Im} (A-\lambda I)\subseteq \operatorname {Im} (A^{*}-\lambda I)$. То есть, если $\operatorname {Dom} (A-\lambda I)\subsetneq \operatorname {Dom} (A^{*}-\lambda I)$ затем $A^{*}-\lambda I$ не было бы инъективным (т.е. $\ker(A^{*}-\lambda I)\neq \{0\}$). Но $\operatorname {Im} (A-{\bar {\lambda }}I)^{\perp }=\ker(A^{*}-\lambda I)$ и, следовательно, $\operatorname {Im} (A-{\bar {\lambda }}I)\neq H.$ Это противоречит биективности.
3. Равенство $A-\lambda I=A^{*}-\lambda I$ показывает, что $A=A^{*},$ т.е. $A$ является самосопряженным. Действительно, достаточно доказать, что $A^{*}\subseteq A.$ Для каждого $x\in \operatorname {Dom} A^{*}$ и $y=A^{*}x,$ $$A^{*}x=y\Leftrightarrow (A^{*}-\lambda I)x=y-\lambda x\Leftrightarrow (A-\lambda I)x=y-\lambda x\Leftrightarrow Ax=y.$$

Спектральная теорема

Основная статья: Спектральная теорема

В физической литературе спектральную теорему часто формулируют, говоря, что самосопряженный оператор имеет ортонормированный базис собственных векторов. Однако физикам хорошо известно явление «непрерывного спектра»; таким образом, когда говорят об «ортонормированном базисе», они имеют в виду либо ортонормированный базис в классическом смысле , либо некоторый его непрерывный аналог. В случае оператора импульса ${\textstyle P=-i{\frac {d}{dx}}}$Например, физики сказали бы, что собственные векторы — это функции $f_{p}(x):=e^{ipx}$, которые явно не находятся в гильбертовом пространстве $L^{2}(\mathbb {R} )$. (Физики сказали бы, что собственные векторы «ненормализуемы».) Затем физики сказали бы, что эти «обобщенные собственные векторы» образуют «ортонормированный базис в непрерывном смысле» для $L^{2}(\mathbb {R} )$, после замены обычного дельта Кронекера $\delta _{i,j}$ дельта- функцией Дирака $\delta \left(p-p'\right)$.

Хотя эти утверждения могут показаться математикам смущающими, их можно сделать строгими, используя преобразование Фурье, которое позволяет получить общее представление. $L^{2}$ функция, которая должна быть выражена как «суперпозиция» (т. е. интеграл) функций $e^{ipx}$, хотя этих функций нет в $L^{2}$. Преобразование Фурье «диагонализирует» оператор импульса; то есть преобразует его в оператор умножения на $p$, где $p$ — переменная преобразования Фурье.

Спектральную теорему в общем можно выразить аналогично возможности «диагонализации» оператора, показав его унитарную эквивалентность оператору умножения. Другие версии спектральной теоремы аналогичным образом призваны уловить идею о том, что самосопряженный оператор может иметь «собственные векторы», которые на самом деле не находятся в рассматриваемом гильбертовом пространстве.

Операторная форма умножения спектральной теоремы

Во-первых, пусть $(X,\Sigma ,\mu )$ — пространство с σ-конечной мерой и $h:X\to \mathbb {R}$ функция измеримая на $X$. Тогда оператор $T_{h}:\operatorname {Dom} T_{h}\to L^{2}(X,\mu )$, определяемый

$T_{h}\psi (x)=h(x)\psi (x),\quad \forall \psi \in \operatorname {Dom} T_{h},$

где

$\operatorname {Dom} T_{h}:=\left\{\psi \in L^{2}(X,\mu )\;|\;h\psi \in L^{2}(X,\mu )\right\},$

называется оператором умножения . Любой оператор умножения является самосопряженным.

Во-вторых, два оператора $A$ и $B$ с плотными доменами $\operatorname {Dom} A\subseteq H_{1}$ и $\operatorname {Dom} B\subseteq H_{2}$ в гильбертовом пространстве $H_{1}$ и $H_{2}$соответственно, унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда существует унитарное преобразование $U:H_{1}\to H_{2}$ такой, что:

• $U\operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} B,$
• $UAU^{-1}\xi =B\xi ,\quad \forall \xi \in \operatorname {Dom} B.$

Если унитарно эквивалентно $A$ и $B$ ограничены, то $\|A\|_{H_{1}}=\|B\|_{H_{2}}$; если $A$ самосопряжен, то и $B$.

Теорема . Любой самосопряженный оператор. $A$ в сепарабельном гильбертовом пространстве унитарно эквивалентен оператору умножения, т. е.

$UAU^{-1}\psi (x)=h(x)\psi (x),\quad \forall \psi \in U\operatorname {Dom} (A)$

Спектральная теорема справедлива как для ограниченных, так и для неограниченных самосопряженных операторов. Доказательство последнего следует путем сведения к спектральной теореме для унитарных операторов . Мы могли бы отметить, что если $T$ это умножение на $h$, то спектр $T$ это лишь необходимый диапазон $h$.

Существуют также более полные версии спектральной теоремы, которые включают прямые интегралы и несут в себе понятие «обобщенных собственных векторов».

Функциональное исчисление

Одним из применений спектральной теоремы является определение функционального исчисления . То есть, если $f$ является функцией на действительной прямой и $T$ является самосопряженным оператором, мы хотим определить оператор $f(T)$. Спектральная теорема показывает, что если $T$ представляется как оператор умножения на $h$, затем $f(T)$ — оператор умножения на композицию $f\circ h$.

Одним из примеров из квантовой механики является случай, когда $T$ — гамильтонов оператор ${\hat {H}}$. Если ${\hat {H}}$ имеет истинный ортонормированный базис собственных векторов $e_{j}$ с собственными значениями $\lambda _{j}$, затем $f({\hat {H}}):=e^{-it{\hat {H}}/\hbar }$ можно определить как единственный ограниченный оператор с собственными значениями $f(\lambda _{j}):=e^{-it\lambda _{j}/\hbar }$ такой, что:

$f({\hat {H}})e_{j}=f(\lambda _{j})e_{j}.$

Цель функционального исчисления — распространить эту идею на случай, когда $T$ имеет непрерывный спектр (т.е. где $T$ не имеет нормируемых собственных векторов).

Принято вводить следующие обозначения

$\operatorname {E} (\lambda )=\mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}(T)$

где $\mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}$ – индикаторная функция интервала $(-\infty ,\lambda ]$. Семейство операторов проектирования E(λ) называется разрешением тождества для T . следующее Стилтьеса интегральное представление для T Более того, можно доказать :

$T=\int _{-\infty }^{+\infty }\lambda d\operatorname {E} (\lambda ).$

Формулировка в физической литературе

В квантовой механике обозначения Дирака используются как комбинированное выражение как для спектральной теоремы, так и для функционального исчисления Бореля . То есть, если H самосопряженная и f — борелевская функция ,

$f(H)=\int dE\left|\Psi _{E}\rangle f(E)\langle \Psi _{E}\right|$

с

$H\left|\Psi _{E}\right\rangle =E\left|\Psi _{E}\right\rangle$

где интеграл пробегает весь спектр H . Из обозначений следует, что H диагонализуется собственными векторами Ψ _E . Такое обозначение является чисто формальным . Разрешение идентичности (иногда называемое мерами с проекционным значением ) формально напоминает проекции ранга 1. $\left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|$. В нотации Дирака (проективные) измерения описываются через собственные значения и собственные состояния , которые являются чисто формальными объектами. Как и следовало ожидать, это не сохраняется при переходе к разрешению идентичности. В последней формулировке измерения описываются с помощью меры спектральной $|\Psi \rangle$, если система подготовлена ​​в $|\Psi \rangle$ до измерения. Альтернативно, если кто-то хочет сохранить понятие собственных состояний и сделать его строгим, а не просто формальным, можно заменить пространство состояний подходящим оснащенным гильбертовым пространством .

Если f = 1 , теорема называется разрешением единицы:

$I=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|$

В случае $H_{\text{eff}}=H-i\Gamma$ является суммой эрмитова H и косоэрмитова (см. косоэрмитовой матрицы ) оператора $-i\Gamma$, определяется биортогональный базис

$H_{\text{eff}}^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle =E^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle$

и запишем спектральную теорему как:

$f\left(H_{\text{eff}}\right)=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle f(E)\left\langle \Psi _{E}^{*}\right|$

( см. в методе разделения Фешбаха – Фано Контекст, где такие операторы появляются в теории рассеяния, ).

Формулировка для симметричных операторов

Спектральная теорема применима только к самосопряженным операторам, а не к симметричным операторам вообще. Тем не менее, сейчас мы можем привести простой пример симметричного (точнее, существенно самосопряженного) оператора, имеющего ортонормированный базис собственных векторов. Рассмотрим комплексное гильбертово пространство L ² [0,1] и дифференциальный оператор

$A=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}$

с $\mathrm {Dom} (A)$ состоящий из всех комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций f на [0, 1], удовлетворяющих граничным условиям

$f(0)=f(1)=0.$

Тогда интегрирование по частям скалярного произведения показывает, что A симметричен. Собственные функции A - это синусоиды.

$f_{n}(x)=\sin(n\pi x)\qquad n=1,2,\ldots$

с действительными собственными значениями n ² п ² ; хорошо известная ортогональность синусоидальных функций является следствием A. симметричности

оператор A Можно видеть, что имеет компактный обратный, что означает, что соответствующее дифференциальное уравнение Af = g решается некоторым интегральным (и, следовательно, компактным) оператором G . Тогда компактный симметрический оператор G имеет счетное семейство собственных векторов, полных в L ² . То же самое можно сказать и А. об

Спектр чистой точки

Не путать с дискретным спектром (математика) .

Самосопряженный оператор A в H имеет чисто точечный спектр тогда и только тогда, когда H имеет ортонормированный базис { e _i } _{i ∈ I,} состоящий из собственных векторов для A .

Пример . Гамильтониан гармонического осциллятора имеет квадратичный потенциал V , т.е.

$-\Delta +|x|^{2}.$

Этот гамильтониан имеет чисто точечный спектр; это типично для гамильтонианов связанного состояния в квантовой механике. Как было указано в предыдущем примере, достаточным условием того, что неограниченный симметрический оператор имеет собственные векторы, образующие базис гильбертова пространства, является наличие у него компактного обратного.

Симметричные и самосопряженные операторы

См. также: Расширения симметричных операторов.

Хотя различие между симметричным оператором и (по сути) самосопряженным оператором невелико, оно важно, поскольку самосопряженность является гипотезой спектральной теоремы. Здесь мы обсудим некоторые конкретные примеры различия.

Граничные условия

В случае, когда гильбертово пространство представляет собой пространство функций в ограниченной области, эти различия связаны с известной проблемой квантовой физики: нельзя определить оператор — такой как оператор импульса или гамильтонов оператор — в ограниченной области, не указав граничные условия . С математической точки зрения выбор граничных условий означает выбор подходящей области определения для оператора. Рассмотрим, например, гильбертово пространство $L^{2}([0,1])$ (пространство суммируемых с квадратом функций на отрезке [0,1]). Определим на этом пространстве оператор импульса А по обычной формуле, приняв постоянную Планка равной 1:

$Af=-i{\frac {df}{dx}}.$

Теперь мы должны указать область для A , что равносильно выбору граничных условий. Если мы выберем

$\operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\right\},$

тогда A не симметрична (поскольку граничные члены при интегрировании по частям не обращаются в нуль).

Если мы выберем

$\operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\,f\mid f(0)=f(1)=0\right\},$

тогда, используя интегрирование по частям, легко проверить, что A симметрично. Этот оператор по существу не является самосопряженным, однако в основном потому, что мы указали слишком много граничных условий в области определения A , что делает область определения сопряженного слишком большой (см. также пример ниже).

В частности, при вышеуказанном выборе области для A область замыкания $A^{\mathrm {cl} }$ из А есть

$\operatorname {Dom} \left(A^{\mathrm {cl} }\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\mid f(0)=f(1)=0\right\},$

тогда как область определения присоединенного $A^{*}$ из А есть

$\operatorname {Dom} \left(A^{*}\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\right\}.$

Другими словами, область замыкания имеет те же граничные условия, что и область самой A , только с менее строгим предположением о гладкости. «слишком много» граничных условий Между тем, поскольку на A , их «слишком мало» (фактически в данном случае вообще нет) для $A^{*}$. Если мы вычислим $\langle g,Af\rangle$ для $f\in \operatorname {Dom} (A)$ используя интегрирование по частям, то так как $f$ обращается в нуль на обоих концах интервала, граничные условия на $g$ необходимы для сокращения граничных членов при интегрировании по частям. Таким образом, любая достаточно гладкая функция $g$ находится в области $A^{*}$, с $A^{*}g=-i\,dg/dx$.

Поскольку область замыкания и область сопряжения не совпадают, A по существу не является самосопряженным. Ведь общий результат гласит, что область определения сопряженного $A^{\mathrm {cl} }$ совпадает с областью определения сопряженного к A . Таким образом, в этом случае область определения сопряженного $A^{\mathrm {cl} }$ больше, чем область $A^{\mathrm {cl} }$ себя, показывая, что $A^{\mathrm {cl} }$ не является самосопряженным, что по определению означает, что A не является существенно самосопряженным.

Проблема с предыдущим примером заключается в том, что мы наложили слишком много граничных условий на область определения A . Лучшим выбором области было бы использование периодических граничных условий:

$\operatorname {Dom} (A)=\{{\text{smooth functions}}\,f\mid f(0)=f(1)\}.$

В этой области A по существу самосопряжен.

В этом случае мы можем понять последствия проблем предметной области для спектральной теоремы. Если мы используем первый выбор области определения (без граничных условий), все функции $f_{\beta }(x)=e^{\beta x}$ для $\beta \in \mathbb {C}$ являются собственными векторами с собственными значениями $-i\beta$, и поэтому спектр представляет собой всю комплексную плоскость. Если мы используем второй выбор области (с граничными условиями Дирихле), A вообще не имеет собственных векторов. Если мы используем третий выбор области (с периодическими граничными условиями), мы можем найти ортонормированный базис собственных векторов для A , функции $f_{n}(x):=e^{2\pi inx}$. Таким образом, в этом случае найти область, в которой A является самосопряженной, является компромиссом: область должна быть достаточно маленькой, чтобы A была симметричной, но достаточно большой, чтобы $D(A^{*})=D(A)$.

Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами

Более тонкий пример различия между симметричными и (по существу) самосопряженными операторами можно найти в операторах Шредингера в квантовой механике. Если потенциальная энергия сингулярна, особенно если потенциал неограничен снизу, соответствующий оператор Шредингера может не быть по существу самосопряженным. Например, в одном измерении оператор

${\hat {H}}:={\frac {P^{2}}{2m}}-X^{4}$

не является существенно самосопряженным в пространстве гладких быстро убывающих функций. В этом случае нарушение существенной самосопряженности отражает патологию базовой классической системы: классическая частица с $-x^{4}$ потенциальный побег в бесконечность за конечное время. Этот оператор не имеет единственного самосопряженного, но допускает самосопряженные расширения, полученные заданием «граничных условий на бесконечности». (С ${\hat {H}}$ — действительный оператор, он коммутирует с комплексным сопряжением. Таким образом, индексы дефицита автоматически равны, что является условием наличия самосопряженного расширения.)

В этом случае, если мы изначально определим ${\hat {H}}$ на пространстве гладких, быстро убывающих функций сопряженным будет «тот же» оператор (т. е. заданный той же формулой), но на максимально возможной области определения, а именно

$\operatorname {Dom} \left({\hat {H}}^{*}\right)=\left\{{\text{twice differentiable functions }}f\in L^{2}(\mathbb {R} )\left|\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-x^{4}f(x)\right)\in L^{2}(\mathbb {R} )\right.\right\}.$

Тогда можно показать, что ${\hat {H}}^{*}$ не является симметричным оператором, из чего, конечно, следует, что ${\hat {H}}$ не является существенно самосопряженным. Действительно, ${\hat {H}}^{*}$ имеет собственные векторы с чисто мнимыми собственными значениями, что невозможно для симметричного оператора. Это странное явление возможно из-за отмены между двумя терминами в ${\hat {H}}^{*}$: Есть функции $f$ в области ${\hat {H}}^{*}$ для чего ни $d^{2}f/dx^{2}$ ни $x^{4}f(x)$ находится отдельно в $L^{2}(\mathbb {R} )$, но сочетание их, происходящее в ${\hat {H}}^{*}$ находится в $L^{2}(\mathbb {R} )$. Это позволяет ${\hat {H}}^{*}$ быть несимметричным, хотя оба $d^{2}/dx^{2}$ и $X^{4}$ являются симметричными операторами. Такого рода аннулирования не произойдет, если мы заменим отталкивающий потенциал $-x^{4}$ с ограничивающим потенциалом $x^{4}$.

Несамосопряженные операторы в квантовой механике

Смотрите также: Неэрмитова квантовая механика

В квантовой механике наблюдаемые соответствуют самосопряженным операторам. По теореме Стоуна об однопараметрических унитарных группах самосопряженные операторы являются в точности бесконечно малыми генераторами унитарных групп операторов эволюции во времени . Однако многие физические задачи формулируются как уравнение эволюции во времени, включающее дифференциальные операторы, для которых гамильтониан только симметричен. В таких случаях либо гамильтониан по существу самосопряжен, и в этом случае физическая задача имеет единственные решения, либо делается попытка найти самосопряженные расширения гамильтониана, соответствующие различным типам граничных условий или условий на бесконечности.

Пример. Одномерный оператор Шрёдингера с потенциалом $V(x)=-(1+|x|)^{\alpha }$, определенная первоначально на гладких функциях с компактным носителем, по существу самосопряжена при 0 < α ≤ 2, но не при α > 2 .

Нарушение существенной самосопряженности для $\alpha >2$ имеет аналог в классической динамике частицы с потенциалом $V(x)$: Классическая частица убегает в бесконечность за конечное время.

Пример. Самосопряженного оператора импульса не существует. $p$ для частицы, движущейся по полупрямой. Тем не менее, гамильтониан $p^{2}$ «свободная» частица на полупрямой имеет несколько самосопряженных расширений, соответствующих разным типам граничных условий. Физически эти граничные условия связаны с отражениями частицы в начале координат.

Примеры

Симметричный оператор, не являющийся по существу самосопряженным.

Сначала рассмотрим гильбертово пространство $L^{2}[0,1]$ и дифференциальный оператор

$D:\phi \mapsto {\frac {1}{i}}\phi '$

определенные в пространстве непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций на [0,1], удовлетворяющие граничным условиям

$\phi (0)=\phi (1)=0.$

Тогда D — симметричный оператор, как можно показать интегрированием по частям . Пространства N ₊ , N ₋ (определенные ниже) задаются соответственно распределительными решениями уравнения

${\begin{aligned}-iu'&=iu\\-iu'&=-iu\end{aligned}}$

которые находятся в L ² [0, 1]. Можно показать, что каждое из этих пространств решений является одномерным и порождается функциями x → e ^-х и х → е ^х соответственно. Это показывает, что D не является существенно самосопряженным, но имеет самосопряженные расширения. Эти самосопряженные расширения параметризуются пространством унитарных отображений N ₊ → N ₋ , которым в данном случае оказывается единичная окружность T .

В этом случае нарушение существенной самосопряжённости связано с «неправильным» выбором граничных условий при определении области определения. $D$. С $D$ является оператором первого порядка, необходимо только одно граничное условие, чтобы гарантировать, что $D$ является симметричным. Если мы заменим приведенные выше граничные условия одним граничным условием

$\phi (0)=\phi (1)$,

тогда D по-прежнему был бы симметричным и теперь фактически был бы по существу самосопряженным. Это изменение граничных условий дает одно частное, по существу, самосопряженное расширение D . Другие по существу самосопряженные расширения возникают в результате наложения граничных условий вида $\phi (1)=e^{i\theta }\phi (0)$.

Этот простой пример иллюстрирует общий факт о самосопряженных расширениях симметричных дифференциальных операторов P на открытом множестве M . Они определяются унитарными отображениями между пространствами собственных значений

$N_{\pm }=\left\{u\in L^{2}(M):P_{\operatorname {dist} }u=\pm iu\right\}$

где P _dist это расширение распределения P. —

Операторы с постоянными коэффициентами

Далее мы приведем пример дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами . Позволять

$P\left({\vec {x}}\right)=\sum _{\alpha }c_{\alpha }x^{\alpha }$

многочлен от R ^н с действительными коэффициентами, где α варьируется по (конечному) набору мультииндексов . Таким образом

$\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$

и

$x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}.$

Мы также используем обозначение

$D^{\alpha }={\frac {1}{i^{|\alpha |}}}\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\partial _{x_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}.$

Тогда оператор P (D), определенный в пространстве бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на R ^н к

$P(\operatorname {D} )\phi =\sum _{\alpha }c_{\alpha }\operatorname {D} ^{\alpha }\phi$

существенно самосопряжен на L ² ( Р ^н ).

Теорема — . Пусть P полиномиальная функция на R ^н с действительными коэффициентами, F — преобразование Фурье, рассматриваемое как унитарное отображение L ² ( Р ^н ) → Л ² ( Р ^н ). Тогда F * P (D) F существенно самосопряжена и ее единственным самосопряженным расширением является оператор умножения на функцию P .

В более общем смысле рассмотрим линейные дифференциальные операторы, действующие на бесконечно дифференцируемые комплексные функции с компактным носителем. Если M — открытое подмножество R ^н

$P\phi (x)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }(x)\left[D^{\alpha }\phi \right](x)$

где α _— (не обязательно постоянные) бесконечно дифференцируемые функции. P — линейный оператор

$C_{0}^{\infty }(M)\to C_{0}^{\infty }(M).$

соответствует P еще один дифференциальный оператор, формальный сопряженный к P

$P^{\mathrm {*form} }\phi =\sum _{\alpha }D^{\alpha }\left({\overline {a_{\alpha }}}\phi \right)$

Теорема . Сопряженный P * к P является ограничением дистрибутивного расширения формального сопряженного до соответствующего подпространства $L^{2}$. Конкретно: $$\operatorname {dom} P^{*}=\left\{u\in L^{2}(M):P^{\mathrm {*form} }u\in L^{2}(M)\right\}.$$

Спектральная теория множественности

Представление умножения самосопряженного оператора, хотя и чрезвычайно полезно, не является каноническим представлением. Это говорит о том, что из этого представления нелегко извлечь критерий определения того, когда самосопряженные операторы A и B унитарно эквивалентны. Самое мелкозернистое представление, которое мы сейчас обсуждаем, включает в себя спектральную множественность. Этот круг результатов называется Хана – Хеллингера теорией спектральной кратности .

Равномерная кратность

Сначала мы определим равномерную кратность :

Определение . Самосопряженный оператор A имеет равномерную кратность n , где n таково, что 1 ⩽ n ⩽ ω тогда и только тогда, когда A унитарно эквивалентен оператору M _f умножения на функцию f (λ) = λ на

$L_{\mu }^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{n}\right)=\left\{\psi :\mathbf {R} \to \mathbf {H} _{n}:\psi {\mbox{ measurable and }}\int _{\mathbf {R} }\|\psi (t)\|^{2}d\mu (t)<\infty \right\}$

где Hn _{— гильбертово} пространство размерности n . Область определения M _f состоит из вектор-функций ψ на R таких, что

$\int _{\mathbf {R} }|\lambda |^{2}\ \|\psi (\lambda )\|^{2}\,d\mu (\lambda )<\infty .$

Неотрицательные счетно-аддитивные меры µ, ν взаимно сингулярны тогда и только тогда, когда они поддерживаются на непересекающихся борелевских множествах.

Теорема . Пусть A — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H. сепарабельном Тогда существует ω-последовательность счетно-аддитивных конечных мер на R (некоторые из которых могут быть тождественно 0) $$\left\{\mu _{\ell }\right\}_{1\leq \ell \leq \omega }$$такая, что меры попарно сингулярны и A унитарно эквивалентен оператору умножения на функцию f (λ) = λ на $$\bigoplus _{1\leq \ell \leq \omega }L_{\mu _{\ell }}^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{\ell }\right).$$

Это представление уникально в следующем смысле: для любых двух таких представлений одного и того же A соответствующие меры эквивалентны в том смысле, что они имеют одни и те же множества меры 0.

Прямые интегралы

Теорему спектральной кратности можно переформулировать, используя язык прямых интегралов гильбертовых пространств:

Теорема — Любой самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве унитарно эквивалентен умножению на функцию λ ↦ λ на $$\int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda ).$$

В отличие от версии спектральной теоремы, основанной на операторе умножения, версия с прямым интегралом уникальна в том смысле, что класс эквивалентности меры функции µ (или, что то же самое, ее множества меры 0) определен однозначно, а измеримая функция $\lambda \mapsto \mathrm {dim} (H_{\lambda })$ определяется почти всюду по µ. Функция $\lambda \mapsto \operatorname {dim} \left(H_{\lambda }\right)$ – спектральная функция кратности оператора.

Теперь мы можем сформулировать результат классификации самосопряженных операторов: два самосопряженных оператора унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда (1) их спектры совпадают как множества, (2) меры, входящие в их прямоцелые представления, имеют одни и те же множества. нулевой меры и (3) их спектральные функции кратности совпадают почти всюду относительно меры в прямом интеграле.

Пример: структура лапласиана

Лапласиан на R ^н это оператор

$\Delta =\sum _{i=1}^{n}\partial _{x_{i}}^{2}.$

Как отмечалось выше, лапласиан диагонализируется преобразованием Фурье. На самом деле более естественно считать отрицательным значение лапласиана −Δ, поскольку как оператор он неотрицательен; (см. эллиптический оператор ).

Теорема . Если n = 1, то −Δ имеет равномерную кратность. ${\text{mult}}=2$, в противном случае −Δ имеет равномерную кратность ${\text{mult}}=\omega$. Более того, меру µ _mult можно считать мерой Лебега на [0, ∞).

См. также

• Компактный оператор в гильбертовом пространстве
• Неограниченный оператор
• Эрмитовский сопряженный
• Обычный оператор
• Позитивный оператор
• Формула Хельфера – Шёстранда

Ссылки

• Ахиезер, Наум Ильич (1981). Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве . Бостон: Питман. ISBN  0-273-08496-8 .
• Березин, Ф.А.; Шубин, Массачусетс (1991), Уравнение Шрёдингера , Клувер
• Бонно, Гай; Фаро, Жак; Валент, Гальяно (2001). «Самосопряженные расширения операторов и преподавание квантовой механики». Американский журнал физики . 69 (3): 322–331. arXiv : Quant-ph/0103153 . Бибкод : 2001AmJPh..69..322B . дои : 10.1119/1.1328351 . ISSN   0002-9505 .
• Бебиано, Н.; да Провиденсия, Ж. (01.01.2019). «Несамосопряженные операторы с реальным спектром и расширения квантовой механики». Журнал математической физики . 60 (1): 012104. arXiv : 1808.08863 . Бибкод : 2019JMP....60a2104B . дои : 10.1063/1.5048577 . ISSN   0022-2488 .
• Кэри, RW; Пинкус, JD (май 1974 г.). «Инвариант некоторых операторных алгебр» . Труды Национальной академии наук . 71 (5): 1952–1956. Бибкод : 1974PNAS...71.1952C . дои : 10.1073/pnas.71.5.1952 . ПМЦ   388361 . ПМИД   16592156 .
• Кэри, RW; Пинкус, доктор юридических наук (1973). «Строение переплетающихся изометрий» . Математический журнал Университета Индианы . 7 (22): 679–703. дои : 10.1512/iumj.1973.22.22056 .
• Гриффель, Д.Х. (2002). Прикладной функциональный анализ . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN  0-486-42258-5 . OCLC   49250076 .
• Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H , ISBN  978-1461471158
• Като, Т. (1966), Теория возмущений для линейных операторов , Нью-Йорк: Springer
• де ла Мадрид Модино, Р. (2001). Квантовая механика на языке оснащенного гильбертова пространства (кандидатская диссертация). Университет Вальядолида.
• Моретти, В. (2017), Спектральная теория и квантовая механика: математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраические формулировки , Springer-Verlag, Bibcode : 2017stqm.book.....M , ISBN  978-3-319-70706-8
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рид, М.; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: Том 1: Функциональный анализ . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-585050-6 .
• Рид, М .; Саймон, Б. (1972), Методы математической физики: Том 2: Анализ Фурье, самосопряженность , Academic Press
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. ISBN  978-0-07-054236-5 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Рюэль, Д. (1969). «Замечание о связанных состояниях в теории потенциального рассеяния» (PDF) . Иль Нуово Чименто А. 61 (4). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 655–662. Бибкод : 1969NCimA..61..655R . дои : 10.1007/bf02819607 . ISSN   0369-3546 . S2CID   56050354 .
• Тешль, Г. (2009), Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шрёдингера , Провиденс: Американское математическое общество.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Йосида, К. (1965), Функциональный анализ , Academic Press