Аксиомы Дирака – фон Неймана

В математической физике аксиомы Дирака -фон Неймана дают математическую формулировку квантовой механики в терминах операторов в гильбертовом пространстве . Их представили Поль Дирак в 1930 году и Джон фон Нейман в 1932 году.

Формулировка гильбертова пространства

Пространство $\mathbb {H}$ — фиксированное комплексное гильбертово размерности счетной пространство .

• Наблюдаемые . квантовой системы определяются как (возможно, неограниченные ) самосопряженные операторы $A$ на $\mathbb {H}$.
• Государство ​ $\psi$ квантовой системы представляет собой вектор единичный $\mathbb {H}$, с точностью до скалярных кратных; или, что то же самое, луч гильбертова пространства $\mathbb {H}$.
• Ожидаемое значение наблюдаемой A для системы в состоянии $\psi$ задается внутренним произведением $\langle \psi ,A\psi \rangle$.

Формулировка операторной алгебры

Аксиомы Дирака–фон Неймана можно сформулировать в терминах C*-алгебры следующим образом.

• Ограниченные наблюдаемые квантово-механической системы определяются как самосопряженные элементы C*-алгебры.
• Состояния квантовомеханической системы определяются как состояния C*-алгебры (другими словами, нормированные положительные линейные функционалы $\omega$).
• Значение $\omega (A)$ государства $\omega$ на элементе $A$ - математическое ожидание наблюдаемой $A$ если квантовая система находится в состоянии $\omega$.

Пример

Если С*-алгебра является алгеброй всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве $\mathbb {H}$, то ограниченные наблюдаемые — это просто ограниченные самосопряженные операторы на $\mathbb {H}$. Если $v$ является единичным вектором $\mathbb {H}$ затем $\omega (A)=\langle v,Av\rangle$ — это состояние C*-алгебры, то есть единичные векторы (с точностью до скалярного умножения) задают состояния системы. Это похоже на формулировку квантовой механики Дирака, хотя Дирак также допускал неограниченные операторы и не делал четкого различия между самосопряженными и эрмитовыми операторами.

См. также

• Аксиоматическая квантовая теория поля

Ссылки

• Дирак, Поль (1930), Принципы квантовой механики
• Строкки, Ф. (2008), «Введение в математическую структуру квантовой механики. Краткий курс для математиков», Введение в математическую структуру квантовой механики. Серия: Расширенная серия по математической физике , Расширенная серия по математической физике, 28 (2-е изд.), World Scientific Publishing Co., Бибкод : 2008ASMP...28.....S , doi : 10.1142/7038 , ISBN  9789812835222 , МР   2484367
• Тахтаджан, Леон А. (2008), Квантовая механика для математиков , Аспирантура по математике , том. 95, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, номер документа : 10.1090/gsm/095 , ISBN.  978-0-8218-4630-8 , МР   2433906
• фон Нейман, Джон (1932), Математические основы квантовой механики , Берлин: Springer, MR   0066944