Хорошие обозначения

Обозначение Бракета , также называемое обозначением Дирака , представляет собой обозначение линейной алгебры и линейных операторов в комплексных векторных пространствах вместе с их двойственным пространством как в конечномерном, так и в бесконечномерном случае. Он специально разработан для облегчения вычислений, которые часто встречаются в квантовой механике . Его использование в квантовой механике довольно широко распространено.

Обозначение Бракета было введено Полем Дираком в его публикации 1939 года «Новая нотация для квантовой механики» . Эти обозначения были введены как более простой способ записи квантово-механических выражений. Название происходит от английского слова «скобка».

Квантовая механика

В квантовой механике повсеместно используется нотация Бра-кет для обозначения квантовых состояний . В обозначениях используются угловые скобки , $\langle$ и $\rangle$и вертикальная полоса $|$, сконструировать «бюстгальтеры» и «кеты».

Кет имеет вид $|v\rangle$. Математически это обозначает вектор , ${\boldsymbol {v}}$, в абстрактном (комплексном) векторном пространстве $V$, и физически оно представляет собой состояние некоторой квантовой системы.

Бюстгальтер имеет форму $\langle f|$. Математически это обозначает линейную форму $f:V\to \mathbb {C}$, то есть линейная карта , которая отображает каждый вектор в $V$ к числу в комплексной плоскости $\mathbb {C}$. Полагая линейный функционал $\langle f|$ действовать на вектор $|v\rangle$ написано как $\langle f|v\rangle \in \mathbb {C}$.

Предположим, что на $V$ существует внутренний продукт $(\cdot ,\cdot )$ с антилинейным первым аргументом, что делает $V$ внутреннее пространство продукта . Затем с помощью этого внутреннего продукта каждый вектор ${\boldsymbol {\phi }}\equiv |\phi \rangle$ можно идентифицировать с соответствующей линейной формой, поместив вектор в антилинейный первый слот внутреннего продукта: $({\boldsymbol {\phi }},\cdot )\equiv \langle \phi |$. Тогда соответствие между этими обозначениями будет $({\boldsymbol {\phi }},{\boldsymbol {\psi }})\equiv \langle \phi |\psi \rangle$. Линейная форма $\langle \phi |$ является ковектором для $|\phi \rangle$, а множество всех ковекторов образует подпространство двойственного векторного пространства $V^{\vee }$, в исходное векторное пространство $V$. Цель этой линейной формы $\langle \phi |$ теперь можно понимать с точки зрения прогнозирования состояния ${\boldsymbol {\phi }},$ выяснить, насколько линейно зависимы два состояния и т. д.

Для векторного пространства $\mathbb {C} ^{n}$, кеты можно идентифицировать с векторами-столбцами, а бюстгальтеры - с векторами-строками. Комбинации бра, кетов и линейных операторов интерпретируются с помощью матричного умножения . Если $\mathbb {C} ^{n}$ имеет стандартное эрмитово внутреннее произведение $({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=v^{\dagger }w$, при этой идентификации идентификация кет и бюстгальтеров и наоборот, обеспечиваемая внутренним произведением, принимает эрмитово сопряжение (обозначается $\dagger$).

Обычно векторную или линейную форму исключают из обозначения бюстгальтера и используют только метку внутри типографики для бюстгальтера или кет. Например, оператор спина ${\hat {\sigma }}_{z}$ в двумерном пространстве $\Delta$ спиноров значения имеет собственные ${\textstyle \pm {\frac {1}{2}}}$ с собственными спинорами ${\boldsymbol {\psi }}_{+},{\boldsymbol {\psi }}_{-}\in \Delta$. В обозначениях бра-кет это обычно обозначается как ${\boldsymbol {\psi }}_{+}=|+\rangle$, и ${\boldsymbol {\psi }}_{-}=|-\rangle$. Как указано выше, кетоны и бюстгальтеры с одинаковой этикеткой интерпретируются как кетсы и бюстгальтеры, соответствующие друг другу с использованием внутреннего продукта. В частности, при идентификации с векторами-строками и столбцами кеты и бюстгальтеры с одной и той же меткой идентифицируются с эрмитовыми сопряженными векторами-столбцами и строками.

Обозначение Бракета было фактически введено в 1939 году Полем Дираком ; таким образом, оно также известно как обозначение Дирака, несмотря на то, что обозначение имеет предшественника в Германом Грассманом использовании $[\phi {\mid }\psi ]$ для продуктов внутреннего производства почти 100 лет назад.

Векторные пространства

Векторы против кетов

В математике термин «вектор» используется для обозначения элемента любого векторного пространства. Однако в физике термин «вектор» имеет тенденцию относиться почти исключительно к таким величинам, как смещение или скорость , компоненты которых напрямую связаны с тремя измерениями пространства или, релятивистски, с четырьмя измерениями пространства-времени . Такие векторы обычно обозначаются стрелками над ними ( ${\vec {r}}$), жирный шрифт ( $\mathbf {p}$) или индексы ( $v^{\mu }$).

В квантовой механике квантовое состояние обычно представляется как элемент комплексного гильбертова пространства , например, бесконечномерного векторного пространства всех возможных волновых функций (квадратно интегрируемые функции, отображающие каждую точку трехмерного пространства в комплексное число) или некоторых других. абстрактное гильбертово пространство, построенное более алгебраически. Чтобы отличить этот тип вектора от описанных выше, в физике принято и полезно обозначать элемент $\phi$ абстрактного комплексного векторного пространства как кета $|\phi \rangle$, называть его «кет», а не вектором, и произносить его как «кет- $\phi$" или "кет-А" для | A ⟩ .

Символы, буквы, цифры и даже слова — все, что служит удобной меткой — можно использовать в качестве этикетки внутри кета, при этом $|\ \rangle$ поясняя, что метка указывает вектор в векторном пространстве. Другими словами, символ « | A ⟩ » имеет узнаваемое математическое значение относительно типа представляемой переменной, в то время как сам по себе символ « A » этого не делает. Например, |1⟩ + |2⟩ не обязательно равно |3⟩ . Тем не менее, для удобства, за метками внутри кетов обычно стоит некоторая логическая схема, например, обычная практика маркировки собственных энергетических кетов в квантовой механике посредством перечисления их квантовых чисел . В самом простом случае метка внутри кета — это собственное значение физического оператора, такого как ${\hat {x}}$, ${\hat {p}}$, ${\hat {L}}_{z}$, и т. д.

Обозначения

Поскольку кеты — это просто векторы в эрмитовом векторном пространстве, ими можно манипулировать, используя обычные правила линейной алгебры. Например:

${\begin{aligned}|A\rangle &=|B\rangle +|C\rangle \\|C\rangle &=(-1+2i)|D\rangle \\|D\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}|x\rangle \,\mathrm {d} x\,.\end{aligned}}$

Обратите внимание, что последняя строка выше включает в себя бесконечное множество различных кетов, по одному на каждое действительное число x .

Поскольку кет является элементом векторного пространства, бюстгальтер $\langle A|$ является элементом своего двойственного пространства , т.е. бюстгальтер является линейным функционалом, который является линейным отображением векторного пространства в комплексные числа. Таким образом, полезно думать о кетах и ​​бюстгальтерах как об элементах разных векторных пространств (однако см. ниже), причем оба являются разными полезными понятиями.

Бюстгальтер $\langle \phi |$ и кет $|\psi \rangle$ (т.е. функционал и вектор), можно объединить с оператором $|\psi \rangle \langle \phi |$ первого ранга с внешним произведением

$|\psi \rangle \langle \phi |\colon |\xi \rangle \mapsto |\psi \rangle \langle \phi |\xi \rangle ~.$

брекета в гильбертовом

Основная статья: Внутренний продукт

Обозначение Бракета особенно полезно в гильбертовых пространствах, которые имеют внутренний продукт что допускает эрмитово сопряжение и отождествление вектора с непрерывным линейным функционалом, т. е. кет с бюстгальтером, и наоборот (см. теорему о представлении Рисса ). Внутренний продукт в гильбертовом пространстве $(\ ,\ )$ (с первым аргументом, антилинейным, как предпочитают физики) полностью эквивалентно (антилинейному) отождествлению между пространством кетов и пространством бюстгальтеров в обозначениях брекетов: для векторного кет $\phi =|\phi \rangle$ определить функционал (т.е. бюстгальтер) $f_{\phi }=\langle \phi |$ к

$(\phi ,\psi )=(|\phi \rangle ,|\psi \rangle )=:f_{\phi }(\psi )=\langle \phi |\,{\bigl (}|\psi \rangle {\bigr )}=:\langle \phi {\mid }\psi \rangle$

Бюстгальтеры и кетты как векторы-

В простом случае, когда мы рассматриваем векторное пространство $\mathbb {C} ^{n}$, кет можно отождествить с вектором-столбцом , а бюстгальтер — с вектором-строкой . Если, кроме того, мы используем стандартное эрмитово внутреннее произведение на $\mathbb {C} ^{n}$, бюстгальтер, соответствующий кету, в частности бюстгальтер ⟨ м | и кет | m ⟩ с той же меткой сопряжены транспонированием . Более того, соглашения устроены таким образом, что написание бра, кетов и линейных операторов рядом друг с другом просто подразумевает умножение матриц . В частности внешний продукт $|\psi \rangle \langle \phi |$ столбца и вектора-строки ket и бюстгальтера можно идентифицировать с помощью матричного умножения (вектор-столбец, умноженный на вектор-строку, равен матрице).

Для конечномерного векторного пространства с использованием фиксированного ортонормированного базиса внутренний продукт можно записать как матричное умножение вектора-строки на вектор-столбец:

$$\langle A|B\rangle \doteq A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\cdots +A_{N}^{*}B_{N}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}$$

Исходя из этого, бюстгальтеры и комплекты можно определить как:

$${\begin{aligned}\langle A|&\doteq {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\\|B\rangle &\doteq {\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

и тогда понятно, что бюстгальтер рядом с кетой подразумевает умножение матриц.

Сопряженная транспозиция (также называемая эрмитовым сопряжением ) бюстгальтера представляет собой соответствующий кет, и наоборот:

$$\langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|$$

потому что если начать с бюстгальтера

$${\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\,,$$

затем выполняет комплексное сопряжение , а затем транспонирование матрицы , в результате получается кет

$${\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}$$

Запись элементов конечномерного (или mutatis mutandis , счетно-бесконечного) векторного пространства в виде вектор-столбца чисел требует выбора основы . Выбор базиса не всегда полезен, поскольку расчеты квантовой механики предполагают частое переключение между различными базисами (например, базисом положения, базисом импульса, собственным базисом энергии), и можно написать что-то вроде « | m ⟩ » без привязки к какому-либо конкретному базису. В ситуациях, связанных с двумя разными важными базисными векторами, базисные векторы могут быть взяты в обозначениях явно и здесь будут называться просто « | − ⟩ » и « | + ⟩ ».

Ненормализуемые состояния

Обозначение Бракета можно использовать, даже если векторное пространство не является гильбертовым .

В квантовой механике принято записывать кеты, имеющие бесконечную норму , то есть ненормируемые волновые функции . Примеры включают состояния, волновыми функциями которых являются дельта-функции Дирака или бесконечные плоские волны . Технически они не принадлежат самому гильбертову пространству . Однако определение «гильбертова пространства» можно расширить, чтобы включить в него эти состояния (см. конструкцию Гельфанда – Наймарка – Сигала или оснащенные гильбертовы пространства ). Обозначение брекета продолжает работать аналогичным образом и в этом более широком контексте.

Банаховы пространства представляют собой другое обобщение гильбертовых пространств. В банаховом пространстве B векторы могут быть обозначены кетами, а непрерывные линейные функционалы - бра. В любом векторном пространстве без топологии мы также можем обозначить векторы кетами, а линейные функционалы - бюстгальтерами. В этих более общих контекстах скобка не имеет значения скалярного произведения, поскольку теорема о представлении Рисса не применяется.

в

Математическая структура квантовой механики во многом основана на линейной алгебре :

• Волновые функции и другие квантовые состояния можно представить в виде векторов в комплексном гильбертовом пространстве. (Точная структура этого гильбертова пространства зависит от ситуации.) Например, в обозначениях брекета электрон может находиться в «состоянии» | ψ ⟩ . (Технически квантовые состояния представляют собой лучи векторов в гильбертовом пространстве, поскольку c | ψ ⟩ соответствует одному и тому же состоянию для любого ненулевого комплексного числа c .)
• Квантовые суперпозиции можно описать как векторные суммы составляющих состояний. Например, электрон в состоянии 1 / √2 |1⟩ + i / √2 |2⟩ находится в квантовой суперпозиции состояний |1⟩ и |2⟩ .
• Измерения связаны с линейными операторами (называемыми наблюдаемыми ) в гильбертовом пространстве квантовых состояний.
• Динамика также описывается линейными операторами в гильбертовом пространстве. Например, в картине Шредингера существует линейной эволюции во времени оператор U со свойством, что если электрон находится в состоянии | ψ ⟩ прямо сейчас, позже будет в состоянии U | ψ ⟩ , один и тот же U для всех возможных | ψ ⟩ .
• Нормализация волновой функции — это масштабирование волновой функции так, чтобы ее норма была равна 1.

Поскольку практически каждое вычисление в квантовой механике включает в себя векторы и линейные операторы, оно может включать и часто включает в себя нотацию бра-кет. Далее следует несколько примеров:

Бесспиновое положение – пространственная волновая функция

Дискретные компоненты A _k комплексного вектора | А ⟩ знак равно Σ _k А _k | e _k ⟩ , принадлежащий счетно бесконечному -мерному гильбертовому пространству; существует счетно-бесконечное число значений k и базисных векторов | е _к ⟩ .

Непрерывные компоненты ψ ( x ) комплексного вектора | ψ ⟩ знак равно ∫ d Икс ψ ( Икс ) | x ⟩ , принадлежащий несчетно бесконечному -мерному гильбертовому пространству; существует бесконечно много значений x и базисных векторов | х ⟩ .

Компоненты комплексных векторов отображаются в зависимости от порядкового номера; дискретный k и непрерывный x . Выделены две конкретные компоненты из бесконечного множества.

Гильбертово пространство точечной частицы со спином -0 натянуто на « базис положения » { | r ⟩ } , где метка r распространяется на множество всех точек в пространстве позиций . Эта метка является собственным значением оператора положения, действующего на такое базисное состояние: ${\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle$. Так как в базисе несчетно бесконечное число векторных компонент, то это несчетно бесконечномерное гильбертово пространство. Размеры гильбертова пространства (обычно бесконечного) и позиционного пространства (обычно 1, 2 или 3) не следует объединять.

Начиная с любого кет |Ψ⟩ в этом гильбертовом пространстве, можно определить комплексную скалярную функцию от r , известную как волновая функция ,

$$\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,.$$

В левой части Ψ( r ) — функция, отображающая любую точку пространства в комплексное число; на правой стороне,

$$\left|\Psi \right\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} )\left|\mathbf {r} \right\rangle$$

представляет собой кет, состоящий из суперпозиции кетов с относительными коэффициентами, заданными этой функцией.

Тогда принято определять линейные операторы, действующие на волновые функции, через линейные операторы, действующие на кеты, следующим образом:

$${\hat {A}}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {A}}|\Psi \rangle \,.$$

Например, импульса оператор ${\hat {\mathbf {p} }}$ имеет следующее координатное представление:

$${\hat {\mathbf {p} }}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}|\Psi \rangle =-i\hbar \nabla \Psi (\mathbf {r} )\,.$$

Иногда даже встречается такое выражение, как $\nabla |\Psi \rangle$, хотя это что-то вроде злоупотребления обозначениями . Под дифференциальным оператором следует понимать абстрактный оператор, действующий на кеты, который имеет эффект дифференцирования волновых функций после того, как выражение проецируется на позиционный базис, $\nabla \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,,$даже несмотря на то, что в базисе импульса этот оператор представляет собой простой оператор умножения (на iħ p ). То есть, скажем так,

$$\langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \langle \mathbf {r} |~,$$

или

$${\hat {\mathbf {p} }}=\int d^{3}\mathbf {r} ~|\mathbf {r} \rangle (-i\hbar \nabla )\langle \mathbf {r} |~.$$

Перекрытие состояний

В квантовой механике выражение ⟨ φ | ψ ⟩ обычно интерпретируется как вероятности состояния ψ коллапса амплитуда в состояние φ . Математически это означает коэффициент проекции ψ на φ . Его также называют проекцией состояния ψ на состояние φ .

со спином 1/2

Стационарный спин- 1/2 частица . имеет двумерное гильбертово пространство Один ортонормированный базис :

$$|{\uparrow }_{z}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{z}\rangle$$

где |↑ _z ⟩ — состояние с определённым значением оператора спина S _z, равным + 1 ⁄ 2 и |↓ _z ⟩ — это состояние с определенным значением оператора спина S _z, равным — 1 ⁄ 2 .

Поскольку это основа, любое квантовое состояние частицы можно выразить как линейную комбинацию (т. е. квантовую суперпозицию ) этих двух состояний:

$$|\psi \rangle =a_{\psi }|{\uparrow }_{z}\rangle +b_{\psi }|{\downarrow }_{z}\rangle$$

где a _ψ и b _ψ — комплексные числа.

Другой : базис того же гильбертова пространства

$$|{\uparrow }_{x}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{x}\rangle$$

определяется в терминах S _x, а не S _z .

Опять же, любое состояние частицы можно выразить как линейную комбинацию этих двух:

$$|\psi \rangle =c_{\psi }|{\uparrow }_{x}\rangle +d_{\psi }|{\downarrow }_{x}\rangle$$

В векторной форме вы можете написать

$$|\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}a_{\psi }\\b_{\psi }\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}c_{\psi }\\d_{\psi }\end{pmatrix}}$$

в зависимости от того, какую основу вы используете. Другими словами, «координаты» вектора зависят от используемого базиса.

Существует математическая связь между $a_{\psi }$, $b_{\psi }$, $c_{\psi }$ и $d_{\psi }$; см. изменение основы .

Подводные камни и неоднозначное использование

Существуют некоторые соглашения и способы использования обозначений, которые могут сбить с толку или двусмысленности для непосвященных или начинающих учеников.

Разделение внутреннего продукта и векторов

Причиной путаницы является то, что эта запись не отделяет операцию внутреннего произведения от обозначения вектора (бюстгальтера). Если бра-вектор (двойного пространства) создается как линейная комбинация других бра-векторов (например, при его выражении в каком-то базисе), обозначение создает некоторую двусмысленность и скрывает математические детали. Мы можем сравнить обозначение Бракет с использованием жирного шрифта для векторов, например ${\boldsymbol {\psi }}$, и $(\cdot ,\cdot )$ для внутреннего продукта. Рассмотрим следующий дуальный пространственный бра-вектор в базисе $\{|e_{n}\rangle \}$:

$$\langle \psi |=\sum _{n}\langle e_{n}|\psi _{n}$$

Это должно быть определено соглашением, если комплексные числа $\{\psi _{n}\}$ находятся внутри или снаружи внутреннего продукта, и каждое соглашение дает разные результаты.

$$\langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}$$

$$\langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n}\psi _{n},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}^{*}$$

Повторное использование символов

Обычно для меток и констант используется один и тот же символ . Например, ${\hat {\alpha }}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle$, где символ $\alpha$ используется одновременно как имя оператора ${\hat {\alpha }}$, его собственный вектор $|\alpha \rangle$ и связанное с ним собственное значение $\alpha$. Иногда шляпу , и можно увидеть такие обозначения, как операторы также снимают $A|a\rangle =a|a\rangle$.

Эрмитово сопряжение кетов

Часто можно увидеть использование $|\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |$, где кинжал( $\dagger$) соответствует эрмитовому сопряжению. Однако это неверно в техническом смысле, поскольку кет, $|\psi \rangle$, представляет вектор в комплексном гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$и бюстгальтер, $\langle \psi |$, — линейный функционал от векторов в ${\mathcal {H}}$. Другими словами, $|\psi \rangle$ это просто вектор, а $\langle \psi |$ представляет собой комбинацию вектора и внутреннего продукта.

Операции внутри бюстгальтеров и кофточек

Это сделано для быстрой записи векторов масштабирования. Например, если вектор $|\alpha \rangle$ масштабируется по $1/{\sqrt {2}}$, его можно обозначить $|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle$. Это может быть неоднозначно, поскольку $\alpha$ — это просто метка состояния, а не математический объект, над которым можно выполнять операции. Такое использование более распространено при обозначении векторов как тензорных произведений, когда часть меток перемещается за пределы спроектированного слота, например $|\alpha \rangle =|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{1}\otimes |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{2}$.

Линейные операторы

См. также: Линейный оператор

Линейные операторы, действующие на кетах

Линейный оператор — это карта, которая вводит кет и выводит кет. (Для того чтобы называться «линейным», необходимо обладать определенными свойствами .) Другими словами, если ${\hat {A}}$ является линейным оператором и $|\psi \rangle$ является кет-вектором, то ${\hat {A}}|\psi \rangle$ это еще один кет-вектор.

В $N$-мерное гильбертово пространство, мы можем наложить базис на пространство и представить $|\psi \rangle$ в терминах его координат как $N\times 1$ вектор-столбец . Используя ту же основу для ${\hat {A}}$, он представлен $N\times N$ сложная матрица. Кет-вектор ${\hat {A}}|\psi \rangle$ теперь можно вычислить путем умножения матриц.

Линейные операторы широко распространены в теории квантовой механики. Например, наблюдаемые физические величины представлены самосопряженными операторами , такими как энергия или импульс , тогда как преобразующие процессы представлены унитарными линейными операторами, такими как вращение или прогрессия времени.

Линейные операторы,

Операторов также можно рассматривать как действующих на бюстгальтеры с правой стороны . В частности, если A — линейный оператор и ⟨ φ | это бюстгальтер, то ⟨ φ | А — еще один бюстгальтер, определенный правилом

$${\bigl (}\langle \phi |{\boldsymbol {A}}{\bigr )}|\psi \rangle =\langle \phi |{\bigl (}{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle {\bigr )}\,,$$

(другими словами, композиция функций ). Это выражение обычно записывается как (см. внутренний продукт энергии )

$$\langle \phi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,.$$

В N -мерном гильбертовом пространстве ⟨ φ | может быть записан как 1 × N вектор-строка размером , а A (как и в предыдущем разделе) — это размера N × N. матрица Тогда бюстгальтер ⟨ φ | A можно вычислить обычным матричным умножением.

Если один и тот же вектор состояния появляется как на стороне бюстгальтера, так и на стороне кет,

$$\langle \psi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,,$$

тогда это выражение дает математическое ожидание , или среднее или среднее значение, наблюдаемой, представленной оператором A для физической системы в состоянии | ψ ⟩ .

Внешняя продукция

Удобный способ определения линейных операторов в гильбертовом пространстве H — это внешнее произведение : если ⟨ φ | это бюстгальтер и | ψ ⟩ — кет, внешний продукт

$$|\phi \rangle \,\langle \psi |$$

обозначает оператор первого ранга с правилом

$${\bigl (}|\phi \rangle \langle \psi |{\bigr )}(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle .$$

Для конечномерного векторного пространства внешний продукт можно понимать как простое умножение матриц:

$$|\phi \rangle \,\langle \psi |\doteq {\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}$$

Внешний продукт представляет собой матрицу размера N × N , как и ожидалось для линейного оператора.

Одно из применений внешнего произведения — построение операторов проекции . Учитывая кет | ψ ⟩ нормы 1, ортогональная проекция на подпространство , натянутое на | ψ ⟩ есть

$$|\psi \rangle \,\langle \psi |\,.$$

Это идемпотент в алгебре наблюдаемых, действующий в гильбертовом пространстве.

Эрмитовский оператор сопряжения

Основная статья: эрмитово сопряжение

Подобно тому, как кетчупы и бюстгальтеры можно преобразовать друг в друга (превратив | ψ ⟩ в ⟨ ψ | ), элемент из двойственного пространства, соответствующий A | ψ ⟩ это ⟨ ψ | А ^† , где А ^† обозначает эрмитово сопряженное (или сопряженное) оператора A . Другими словами,

$$|\phi \rangle =A|\psi \rangle \quad {\text{if and only if}}\quad \langle \phi |=\langle \psi |A^{\dagger }\,.$$

Если A выражается в виде матрицы размера N × N , то A ^† является его сопряженным транспонированием.

Самосопряженные операторы, где A = A ^† , играют важную роль в квантовой механике; например, наблюдаемая всегда описывается самосопряженным оператором. Если A — самосопряженный оператор, то ⟨ ψ | А | ψ ⟩ всегда действительное число (не комплексное). Это означает, что ожидаемые значения наблюдаемых реальны.

Свойства

Обозначение Бракета было разработано для облегчения формального манипулирования линейно-алгебраическими выражениями. Некоторые свойства, позволяющие эту манипуляцию, перечислены здесь. В дальнейшем c1 _число и c2 _{обозначают произвольные линейные} обозначают произвольные комплексные числа , c * обозначает комплексно-сопряженное c , . A и B операторы, и эти свойства должны выполняться при любом выборе бюстгальтеров и кет

Линейность

• Поскольку бюстгальтеры являются линейными функционалами,
  $$\langle \phi |{\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle \,.$$
• По определению сложения и скалярного умножения линейных функционалов в двойственном пространстве
  $${\bigl (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigr )}|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle \,.$$

Ассоциативность

Для любого выражения, включающего комплексные числа, бюстгальтеры, кеты, внутренние произведения, внешние произведения и/или линейные операторы (но не сложение), записанного в нотации бра-кет, группировки в скобках не имеют значения (т. е. сохраняется ассоциативное свойство ). Например:

${\begin{aligned}\langle \psi |{\bigl (}A|\phi \rangle {\bigr )}={\bigl (}\langle \psi |A{\bigr )}|\phi \rangle \,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle \\{\bigl (}A|\psi \rangle {\bigr )}\langle \phi |=A{\bigl (}|\psi \rangle \langle \phi |{\bigr )}\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |\end{aligned}}$

и так далее. Выражения справа (без каких-либо скобок) разрешено записывать однозначно из-за равенств слева. Обратите внимание, что свойство ассоциативности не сохраняется для выражений, включающих нелинейные операторы, таких как оператор антилинейного обращения времени в физике.

Эрмитово сопряжение

Обозначение Бра-кета позволяет особенно легко вычислить эрмитово сопряженное (также называемое кинжалом и обозначаемое † ) выражений. Формальные правила таковы:

• Эрмитовым сопряжением бюстгальтера является соответствующий кет, и наоборот.
• Эрмитово сопряженное комплексное число является его комплексно-сопряженным.
• Эрмитово сопряжение эрмитова сопряжения чего-либо (линейных операторов, бюстгальтеров, кетов, чисел) само есть, т. е.
  $$\left(x^{\dagger }\right)^{\dagger }=x\,.$$
• Для любой комбинации комплексных чисел, бюстгальтеров, кетов, внутренних произведений, внешних произведений и/или линейных операторов, записанных в нотации бра-кет, ее эрмитово сопряженное число можно вычислить, изменив порядок компонентов и взяв эрмитово сопряженное число каждый.

Этих правил достаточно, чтобы формально записать эрмитово сопряженное любое такое выражение; Вот некоторые примеры:

• Кеты:
  $${\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|\,.$$
• Внутренние продукты:
  $$\langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle \,.$$
  Обратите внимание, что ⟨ φ | ψ ⟩ — скаляр, поэтому эрмитово сопряжение — это просто комплексное сопряжение, т. е.
  $${\bigl (}\langle \phi |\psi \rangle {\bigr )}^{\dagger }=\langle \phi |\psi \rangle ^{*}$$
• Элементы матрицы:
  $${\begin{aligned}\langle \phi |A|\psi \rangle ^{\dagger }&=\left\langle \psi \left|A^{\dagger }\right|\phi \right\rangle \\\left\langle \phi \left|A^{\dagger }B^{\dagger }\right|\psi \right\rangle ^{\dagger }&=\langle \psi |BA|\phi \rangle \,.\end{aligned}}$$
• Внешние продукты:
  $${\Big (}{\bigl (}c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|{\bigr )}{\Big )}^{\dagger }={\bigl (}c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|{\bigr )}\,.$$

Композитные бюстгальтеры и комплекты

Два гильбертовых пространства V и W могут образовывать третье пространство V ⊗ W посредством тензорного произведения . В квантовой механике это используется для описания сложных систем. Если система состоит из двух подсистем, описанных в V и W соответственно, то гильбертово пространство всей системы является тензорным произведением двух пространств. (Исключением являются случаи, когда подсистемы на самом деле являются идентичными частицами . В этом случае ситуация немного сложнее.)

Если | ψ ⟩ — кет в V и | φ ⟩ — кет в W , тензорное произведение двух кетов — это кет V ⊗ W. в Это записывается в различных обозначениях:

$|\psi \rangle |\phi \rangle \,,\quad |\psi \rangle \otimes |\phi \rangle \,,\quad |\psi \phi \rangle \,,\quad |\psi ,\phi \rangle \,.$

См. квантовую запутанность и парадокс ЭПР, чтобы узнать о применении этого продукта.

Оператор агрегата

Рассмотрим полную ортонормированную систему ( базис ),

$$\{e_{i}\ |\ i\in \mathbb {N} \}\,,$$

для гильбертова пространства H относительно нормы скалярного произведения ⟨·, ·⟩ .

Из базового функционального анализа известно, что любой кет $|\psi \rangle$ также можно записать как

$$|\psi \rangle =\sum _{i\in \mathbb {N} }\langle e_{i}|\psi \rangle |e_{i}\rangle ,$$

со ⟨·|·⟩ скалярным произведением в гильбертовом пространстве.

Из коммутативности кетов с (комплексными) скалярами следует, что

$$\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|=\mathbb {I}$$

должен быть оператором идентификации , который отправляет каждый вектор самому себе.

Таким образом, это можно вставить в любое выражение, не затрагивая его значения; например

$${\begin{aligned}\langle v|w\rangle &=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)\left(\sum _{j\in \mathbb {N} }|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|e_{i}\rangle \langle e_{i}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|w\rangle \,,\end{aligned}}$$

где в последней строке соглашение Эйнштейна о суммировании используется , чтобы избежать беспорядка.

В квантовой механике часто случается, что о скалярном произведении мало или вообще нет информации ⟨ ψ | φ ⟩ двух произвольных кетов (состояний) присутствует, а о коэффициентах разложения ⟨ ψ | е _я ⟩ знак равно ⟨ е _я | ψ ⟩ * и ⟨ е _я | φ ⟩ этих векторов относительно определенного (ортонормированного) базиса. В этом случае особенно полезно вставить оператор единицы в скобку один или несколько раз.

Дополнительные сведения см. в разделе Разрешение удостоверения .

$${\mathbb {I} }=\int \!dx~|x\rangle \langle x|=\int \!dp~|p\rangle \langle p|,$$

где

$$|p\rangle =\int dx{\frac {e^{ixp/\hbar }|x\rangle }{\sqrt {2\pi \hbar }}}.$$

Поскольку ⟨ Икс ′ | Икс ⟩ знак равно δ ( Икс - Икс ′ ) , следуют плоские волны,

$$\langle x|p\rangle ={\frac {e^{ixp/\hbar }}{\sqrt {2\pi \hbar }}}.$$

В своей книге (1958) Ч. III.20, Дирак определяет стандартный кет , который с точностью до нормализации является трансляционно-инвариантным собственным состоянием импульса. ${\textstyle |\varpi \rangle =\lim _{p\to 0}|p\rangle }$ в импульсном представлении, т. е. ${\hat {p}}|\varpi \rangle =0$. Следовательно, соответствующая волновая функция является постоянной, $\langle x|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }}=1$, и

$$|x\rangle =\delta ({\hat {x}}-x)|\varpi \rangle {\sqrt {2\pi \hbar }},$$

а также

$$|p\rangle =\exp(ip{\hat {x}}/\hbar )|\varpi \rangle .$$

Обычно, когда все матричные элементы оператора, например

$$\langle x|A|y\rangle$$

доступны, эта резолюция служит для восстановления полного оператора,

$$\int dx\,dy\,|x\rangle \langle x|A|y\rangle \langle y|=A\,.$$

Обозначения, используемые математиками

Объектом, который физики рассматривают при использовании обозначений Брекета, является гильбертово пространство ( полное пространство внутреннего произведения).

Позволять $({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ — гильбертово пространство, а h ∈ H — вектор H. из Что физики обозначали бы | h ⟩ — сам вектор. То есть,

$$|h\rangle \in {\mathcal {H}}.$$

Пусть H * двойственное к H. — пространство , Это пространство линейных функционалов на H . Вложение ​ $\Phi :{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {H}}^{*}$ определяется $\Phi (h)=\varphi _{h}$, где для любого h ∈ H линейный функционал $\varphi _{h}:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ удовлетворяет для каждого g ∈ H функциональному уравнению $\varphi _{h}(g)=\langle h,g\rangle =\langle h\mid g\rangle$.Путаница в обозначениях возникает при отождествлении φ _h и g с ⟨ h | и | г ⟩ соответственно. Это происходит из-за буквальных символических замен. Позволять $\varphi _{h}=H=\langle h\mid$ и пусть g = G = | г ⟩ . Это дает

$$\varphi _{h}(g)=H(g)=H(G)=\langle h|(G)=\langle h|{\bigl (}|g\rangle {\bigr )}\,.$$

Круглые скобки игнорируются, а двойные черты удаляются.

Более того, математики обычно пишут двойственную сущность не на первом месте, как это делают физики, а на втором, и для обозначения они обычно используют не звездочку, а подчеркивание (которое физики оставляют для средних значений и спинорного сопряжения Дирака ). комплексно-сопряженные числа; т. е. для скалярных произведений математики обычно пишут

$$\langle \phi ,\psi \rangle =\int \phi (x)\cdot {\overline {\psi (x)}}\,\mathrm {d} x\,,$$

тогда как физики писали бы для той же величины

$$\langle \psi |\phi \rangle =\int dx\,\psi ^{*}(x)\phi (x)~.$$

См. также

• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• n- щелевое интерферометрическое уравнение
• Квантовое состояние
• Внутреннее пространство продукта

Ссылки

• Дирак, ПАМ (1939). «Новые обозначения квантовой механики». Математические труды Кембриджского философского общества . 35 (3): 416–418. Бибкод : 1939PCPS...35..416D . дои : 10.1017/S0305004100021162 . S2CID   121466183 . . См. также его стандартный текст «Принципы квантовой механики» , IV издание, Clarendon Press (1958), ISBN   978-0198520115
• Грассманн, Х. (1862). Теория расширения . История источников по математике. Перевод 2000 г. Ллойда К. Канненберга. Американское математическое общество, Лондонское математическое общество.
• Каджори, Флориан (1929). История математических обозначений, том II . Издательство «Открытый суд» . п. 134 . ISBN  978-0-486-67766-8 .
• Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). ISBN  0-306-44790-8 .
• Фейнман, Ричард П.; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью (1965). Фейнмановские лекции по физике . Том. III. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-02118-8 .
• Сакураи, Джей-Джей; Наполитано, Дж (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-108-42241-3 .

Внешние ссылки

• Ричард Фицпатрик, «Квантовая механика: курс для аспирантов» , Техасский университет в Остине. Включает:
  • 1. Кетское пространство
  • 2. Пространство для бюстгальтера
  • 3. Операторы
  • 4. Внешний продукт
  • 5. Собственные значения и собственные векторы.
• Роберт Литтлджон, конспекты лекций на тему «Математический формализм квантовой механики», включая обозначения скобок. Калифорнийский университет, Беркли.
• Жирес, Ф. (2000). «Математические сюрпризы и формализм Дирака в квантовой механике». Реп. прог. Физ . 63 (12): 1893–1931. arXiv : Quant-ph/9907069 . Бибкод : 2000РПФ...63.1893Г . дои : 10.1088/0034-4885/63/12/201 . S2CID   10854218 .