Энергетическое пространство

В математике , точнее в функциональном анализе , энергетическое пространство интуитивно представляет собой подпространство данного реального гильбертова пространства, оснащенное новым «энергетическим» внутренним продуктом . Мотивация названия исходит из физики , поскольку во многих физических задачах энергия системы может быть выражена через внутренний энергетический продукт. Пример этого будет приведен далее в статье.

Энергетическое пространство

Формально рассмотрим реальное гильбертово пространство. $X$ с внутренним продуктом $(\cdot |\cdot )$ и норма $\|\cdot \|$. Позволять $Y$ быть линейным подпространством $X$ и $B:Y\to X$ — сильно монотонный симметричный линейный оператор , т. е. линейный оператор, удовлетворяющий

• $(Bu|v)=(u|Bv)\,$ для всех $u,v$ в $Y$
• $(Bu|u)\geq c\|u\|^{2}$ для некоторой константы $c>0$ и все $u$ в $Y.$

Энергетический внутренний продукт определяется как

$(u|v)_{E}=(Bu|v)\,$ для всех $u,v$ в $Y$

и энергетическая норма

$\|u\|_{E}=(u|u)_{E}^{\frac {1}{2}}\,$ для всех $u$ в $Y.$

Набор $Y$ вместе с энергетическим внутренним продуктом представляет собой предгильбертово пространство . Энергетическое пространство $X_{E}$ определяется завершение как $Y$ в энергетической норме. $X_{E}$ можно считать подмножеством исходного гильбертова пространства $X,$ поскольку любая последовательность Коши в энергетической норме является также Коши в норме $X$ (это следует из свойства сильной монотонности $B$).

Энергетический внутренний продукт простирается от $Y$ к $X_{E}$ к

$(u|v)_{E}=\lim _{n\to \infty }(u_{n}|v_{n})_{E}$

где $(u_{n})$ и $(v_{n})$ — это последовательности в Y , которые сходятся к точкам в $X_{E}$ в энергетической норме.

Энергетическое расширение

Оператор $B$ допускает энергетическое расширение $B_{E}$

$B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}$

определено на $X_{E}$ со значениями в дуальном пространстве $X_{E}^{*}$ что определяется формулой

$\langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}$ для всех $u,v$ в $X_{E}.$

Здесь, $\langle \cdot |\cdot \rangle _{E}$ обозначает скобку двойственности между $X_{E}^{*}$ и $X_{E},$ так $\langle B_{E}u|v\rangle _{E}$ на самом деле означает $(B_{E}u)(v).$

Если $u$ и $v$ являются элементами исходного подпространства $Y,$ затем

$\langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}=(Bu|v)=\langle u|B|v\rangle$

по определению энергетического внутреннего продукта. Если человек просматривает $Bu,$ который является элементом в $X,$ как элемент дуального $X^{*}$ по теореме о представлении Рисса , то $Bu$ тоже будет в дуале $X_{E}^{*}$ (по свойству сильной монотонности $B$). Благодаря этим отождествлениям из приведенной выше формулы следует, что $B_{E}u=Bu.$ Другими словами, исходный оператор $B:Y\to X$ можно рассматривать как оператор $B:Y\to X_{E}^{*},$ а потом $B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}$ это просто расширение функции $B$ от $Y$ к $X_{E}.$

Пример из физики

Струна с фиксированными концами под действием силы, направленной вниз.

Рассмотрим строку , концы которой зафиксированы в двух точках. $a<b$ на реальной линии (здесь рассматривается как горизонтальная линия). Пусть плотность вертикальной внешней силы в каждой точке $x$ $(a\leq x\leq b)$ на веревочке быть $f(x)\mathbf {e}$, где $\mathbf {e}$ представляет собой единичный вектор, направленный вертикально и $f:[a,b]\to \mathbb {R} .$ Позволять $u(x)$ быть прогибом струны в точке $x$ под воздействием силы. Предполагая, что прогиб мал, упругая энергия струны равна

${\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx$

а полная потенциальная энергия струны равна

$F(u)={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx-\int _{a}^{b}\!u(x)f(x)\,dx.$

Отклонение $u(x)$ минимизация потенциальной энергии будет удовлетворять дифференциальному уравнению

$-u''=f\,$

с граничными условиями

$u(a)=u(b)=0.\,$

Чтобы изучить это уравнение, рассмотрим пространство $X=L^{2}(a,b),$ то есть пространство Lp всех интегрируемых с квадратом функций $u:[a,b]\to \mathbb {R}$ относительно меры Лебега . Это пространство является гильбертовым относительно скалярного произведения

$(u|v)=\int _{a}^{b}\!u(x)v(x)\,dx,$

с нормой, заданной

$\|u\|={\sqrt {(u|u)}}.$

Позволять $Y$ — множество всех дважды непрерывно дифференцируемых функций $u:[a,b]\to \mathbb {R}$ с граничными условиями $u(a)=u(b)=0.$ Затем $Y$ является линейным подпространством $X.$

Рассмотрим оператор $B:Y\to X$ заданной формулой

$Bu=-u'',\,$

поэтому отклонение удовлетворяет уравнению $Bu=f.$ Используя интегрирование по частям и граничные условия, можно увидеть, что

$(Bu|v)=-\int _{a}^{b}\!u''(x)v(x)\,dx=\int _{a}^{b}u'(x)v'(x)=(u|Bv)$

для любого $u$ и $v$ в $Y.$ Поэтому, $B$ является симметричным линейным оператором.

$B$ также является сильно монотонным, поскольку по неравенству Фридрихса

$\|u\|^{2}=\int _{a}^{b}u^{2}(x)\,dx\leq C\int _{a}^{b}u'(x)^{2}\,dx=C\,(Bu|u)$

для некоторых $C>0.$

Энергетическое пространство по отношению к оператору $B$ тогда пространство Соболева $H_{0}^{1}(a,b).$ Мы видим, что упругая энергия струны, которая послужила мотивом этого исследования, равна

${\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx={\frac {1}{2}}(u|u)_{E},$

так что это половина энергетического внутреннего продукта $u$ с самим собой.

Чтобы рассчитать прогиб $u$ минимизация полной потенциальной энергии $F(u)$ строки эту задачу записывают в виде

$(u|v)_{E}=(f|v)\,$ для всех $v$ в $X_{E}$.

Далее обычно аппроксимируют $u$ некоторыми $u_{h}$, функция в конечномерном подпространстве истинного пространства решений. Например, можно позволить $u_{h}$ — непрерывная кусочно-линейная функция в энергетическом пространстве, что дает метод конечных элементов . Приближение $u_{h}$ можно вычислить, решив систему линейных уравнений .

Энергетическая норма оказывается естественной нормой для измерения ошибки между $u$ и $u_{h}$, см. лемму Сеа .

См. также

• Внутреннее пространство продукта
• Положительно определенное ядро

Ссылки

• Зейдлер, Эберхард (1995). Прикладной функциональный анализ: приложения к математической физике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94442-7 .

• Джонсон, Клаас (1987). Численное решение уравнений в частных производных методом конечных элементов . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-34514-6 .