Диаграммы углового момента (квантовая механика)

В квантовой механике и ее приложениях к квантовым многочастичным системам , особенно в квантовой химии , диаграммы углового момента или, точнее, с математической точки зрения, графики углового момента , представляют собой схематический метод представления углового момента квантовых состояний квантовой системы, позволяющий проводить вычисления. сделано символически. Более конкретно, стрелки кодируют состояния углового момента в обозначениях брекета и включают абстрактную природу состояния, такую ​​​​как тензорные произведения и правила преобразования.

Обозначения параллельны идее графических обозначений Пенроуза и диаграмм Фейнмана . Диаграммы состоят из стрелок и вершин с квантовыми числами в качестве меток, отсюда и альтернативный термин « графы ». Смысл каждой стрелки связан с эрмитовым сопряжением , которое примерно соответствует обращению во времени состояний углового момента (см. уравнение Шредингера ). Диаграммная нотация сама по себе является довольно обширной темой с рядом специализированных функций. В этой статье представлены самые основы.

Они были разработаны в основном Адольфасом Юцисом (иногда переводится как Юцис) в двадцатом веке.

Эквивалентность обозначений Дирака

Состояния

Вектор квантового состояния одиночной частицы с квантовым числом полного углового момента j и полным магнитным квантовым числом m = j , j - 1, ..., - j + 1, - j обозначается как кет | j , м ⟩ . На диаграмме это однонаправленная стрелка.

Симметрично соответствующий бюстгальтер ⟨ j , m | . В форме диаграммы это двунаправленная стрелка, указывающая в направлении, противоположном кету.

В каждом случае;

• квантовые числа j , m часто обозначаются рядом со стрелками для обозначения определенного состояния углового момента,
• наконечники стрел почти всегда располагаются посередине линии, а не на кончике,
• Знаки равенства "=" помещаются между эквивалентными диаграммами, точно так же, как для нескольких алгебраических выражений, равных друг другу.

Самые основные схемы — для кофт и бюстгальтеров:

Кет | дж , м ⟩

Бюстгальтер ⟨ j , м |

Стрелки направлены к вершинам или от них, состояние преобразуется в соответствии с:

• стандартное представление обозначается ориентированной линией, выходящей из вершины,
• контрастное представление изображается в виде линии, входящей в вершину.

Как правило, стрелки следуют друг за другом в одном и том же направлении. В контрастном представлении оператор обращения времени , обозначенный здесь T используется . Он унитарен, что означает эрмитово сопряжение T ^† равен обратному оператору T ⁻¹ , это Т ^† = Т ⁻¹ . Его действие на оператор позиции оставляет его инвариантным:

$T{\hat {\mathbf {x} }}T^{\dagger }={\hat {\mathbf {x} }}$

но оператор линейного импульса становится отрицательным:

$T{\hat {\mathbf {p} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {p} }}$

и оператор спина становится отрицательным:

$T{\hat {\mathbf {S} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {S} }}$

Поскольку оператор орбитального углового момента равен L = x × p , он также должен стать отрицательным:

$T{\hat {\mathbf {L} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {L} }}$

и поэтому оператор полного момента J = L + S становится отрицательным:

$T{\hat {\mathbf {J} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {J} }}$

Действуя на собственное состояние углового момента | j , m ⟩ , можно показать, что:

$T\left|j,m\right\rangle \equiv \left|T(j,m)\right\rangle ={(-1)}^{j-m}\left|j,-m\right\rangle$

Обращенные во времени диаграммы для кет и бюстгальтеров:

Время вспять кет | j , м ⟩ .

Бюстгальтер с перевернутым временем ⟨ j , м | .

Важно правильно расположить вершину, так как операторы прямого и обратного времени могут перепутаться.

Внутренний продукт

Внутренний продукт двух государств | j ₁ , м ₁ ⟩ и | j ₂ , м ₂ ⟩ составляет:

$\langle j_{2},m_{2}|j_{1},m_{1}\rangle =\delta _{j_{1}j_{2}}\delta _{m_{1}m_{2}}$

и диаграммы:

Внутренний продукт | j ₁ , м ₁ ⟩ и | j ₂ , м ₂ ⟩ , то есть ⟨ j ₂ , м ₂ | j ₁ , м ₁ ⟩ .

Обратный эквивалент времени.

Для суммирования по внутреннему продукту, также известному в этом контексте как сокращение (ср. тензорное сокращение ):

$\sum _{m}\langle j,m|j,m\rangle =2j+1$

результат принято обозначать в виде замкнутого круга, помеченного только j , а не m :

Внутреннее сжатие продукта.

Внешняя продукция

Внешний продукт двух государств | j ₁ , м ₁ ⟩ и | j ₂ , m ₂ ⟩ — оператор:

$\left|j_{2},m_{2}\right\rangle \left\langle j_{1},m_{1}\right|$

и диаграммы:

Внешний продукт | j ₁ , м ₁ ⟩ и | j ₂ , м ₂ ⟩ , то есть | j ₂ , м ₂ ⟩ ⟨ j ₁ , м ₁ | .

Обратный эквивалент времени.

Для суммирования по внешнему продукту, также известного в этом контексте как сокращение (ср. Тензорное сокращение ):

${\begin{aligned}\sum _{m}|j,m\rangle \langle j,m|&=\sum _{m}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{2(j-m)}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{j-m}|j,-m\rangle \langle j,-m|{(-1)}^{j-m}\\&=\sum _{m}T|j,m\rangle \langle j,m|T^{\dagger }\end{aligned}}$

где результат для T | j , m ⟩ , и тот факт, что m принимает набор значений, приведенный выше. Нет никакой разницы между состояниями прямого и обратного времени для сжатия внешнего продукта, поэтому здесь они имеют одну и ту же диаграмму, представленную в виде одной линии без направления, снова помеченной только j , а не m :

Внешнее сжатие продукта.

Тензорные произведения

Тензорное произведение ⊗ n состояний | j ₁ , м ₁ ⟩ , | j ₂ , м ₂ ⟩ , ... | j _n , m _n ⟩ пишется

${\begin{aligned}\left|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle &\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \otimes \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \otimes \cdots \otimes \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \\&\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \cdots \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \end{aligned}}$

а в виде диаграммы каждое отдельное состояние выходит из общей вершины или входит в нее, создавая «веер» стрелок — n линий, прикрепленных к одной вершине.

Вершины в тензорных произведениях имеют знаки (иногда называемые «знаками узлов»), указывающие порядок состояний, умноженных на тензор:

• знак минус указывает на то , (-) что порядок по часовой стрелке , $\circlearrowright$, и
• знак плюс против (+) для часовой стрелки , $\circlearrowleft$.

Знаки, конечно, не требуются только для одного состояния: схематически одна стрелка в вершине. Иногда добавляются изогнутые стрелки со знаками, чтобы явно показать смысл тензорного умножения, но обычно показывается только знак без стрелок.

Тензорное произведение | j ₁ , м ₁ ⟩ , | j ₂ , м ₂ ⟩ , | j ₃ , м ₃ ⟩ , то есть | j ₁ , м ₁ ⟩ | j ₂ , м ₂ ⟩ | j ₃ , м ₃ ⟩ знак равно | j ₁ , м ₁ , j ₂ , м ₂ , j ₃ , м ₃ ⟩ . Аналогично для более чем трёх угловых моментов.

Обратный эквивалент времени.

Для внутреннего продукта двух состояний тензорного произведения:

${\begin{aligned}&\left\langle j'_{n},m'_{n},...,j'_{2},m'_{2},j'_{1},m'_{1}|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle \\=&\langle j'_{n},m'_{n}|...\langle j'_{2},m'_{2}|\langle j'_{1},m'_{1}||j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle ...|j_{n},m_{n}\rangle \\=&\prod _{k=1}^{n}\left\langle j'_{k},m'_{k}|j_{k},m_{k}\right\rangle \end{aligned}}$

имеется n множества стрелок внутреннего продукта:

Внутренний продукт | j ′ ₁ , м ′ ₁ , j ′ ₂ , м ′ ₂ , j ′ ₃ , м ′ ₃ ⟩ и | j ₁ , м ₁ , j ₂ , м ₂ , j ₃ , м ₃ ⟩ , то есть ⟨ j ′ ₃ , м ′ ₃ , j ′ ₂ , м ′ ₂ , j ′ ₁ , м ′ ₁ | j ₁ , м ₁ , j ₂ , м ₂ , j ₃ , м ₃ ⟩ . Аналогично для более чем трёх пар угловых моментов.

Обратный эквивалент времени.

Примеры и приложения

• Диаграммы хорошо подходят для коэффициентов Клебша – Гордана .
• Расчеты с реальными квантовыми системами, такими как многоэлектронные атомы и молекулярные системы.

Схема для символа 6-j , ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}$.

Схема для символа 9-j , ${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}$.

См. также

• Оператор лестницы
• Фокское пространство
• Диаграммы Фейнмана

Ссылки

• Юцис, Адольфас П.; Левинсон, IB; Ванагас, В.В. (1962). Математический аппарат теории углового момента . Перевод А. Сена; RN Sen. Израильская программа научных переводов.
• Вормер и Палдус (2006) предоставляет углубленное руководство по диаграммам углового момента.
• И. Линдгрен; Дж. Моррисон (1986). Атомная теория многих тел . Химическая физика. Том. 13 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN  978-3-540-16649-8 .

Дальнейшее чтение

• ГВФ Дрейк (2006). Справочник Springer по атомной, молекулярной и оптической физике (2-е изд.). спрингер. п. 60. ИСБН  978-0-387-26308-3 .
• У. Калдор; С. Уилсон (2003). Теоретическая химия и физика тяжелых и сверхтяжелых элементов . Успехи теоретической химии и физики. Том. 11. спрингер. п. 183. ИСБН  978-1-4020-1371-3 .
• НЕ сжигайте; П.О. Лёвдин; Э. Сгорел; Е. С. Крячко (2004). Фундаментальный мир квантовой химии: дань памяти Пер-Олову Лёвдину . Том. 3. Бег. стр. 385. ISBN  978-1-4020-2583-9 .
• П. Швердтфегер (2004). Релятивистская теория электронной структуры: Часть 2. Приложения . Теоретическая и вычислительная химия. Том. 14. Эльзевир. п. 97. ИСБН  978-0-08-054047-4 .
• М. Барыш; Ю. Исикава (2010). Релятивистские методы для химиков . Проблемы и достижения в области вычислительной химии и физики. Том. 10. Спрингер. п. 311. ИСБН  978-1-4020-9975-5 .

• ГФФ Дирксен; С. Уилсон (1983). Методы вычислительной молекулярной физики . Научная серия НАТО C. Том. 113. Спрингер. ISBN  978-90-277-1638-5 .
• Зенонас Рудзикас (2007). «8» . Теоретическая атомная спектроскопия . Кембриджские монографии по атомной, молекулярной и химической физике. Том. 7. Чикагский университет: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-02622-2 .
• Литовское общество физики (2004). Литовский физический журнал . Том. 44. Чикагский университет: Общество.
• ПЭТ Йоргенсен (1987). Операторы и теория представлений: канонические модели алгебр операторов, возникающих в квантовой механике . Чикагский университет: Эльзевир. ISBN  978-0-08-087258-2 .
• П. Цвитанович (2008). Теория групп — птичьи следы, ложь и исключительные группы . Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Нажимать. ISBN  978-0-691-11836-9 .