Эрмитовский сопряженный

В математике , особенно в теории операторов , каждый линейный оператор $A$ в пространстве внутреннего продукта определяет эрмитовский сопряженный (или сопряженный ) оператор $A^{*}$ на этом месте согласно правилу

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является внутренним произведением векторного пространства .

Сопряженное можно также назвать эрмитовым сопряжением или просто эрмитовым сопряжением. после Чарльза Эрмита . Его часто обозначают буквой А. ^† в таких областях, как физика , особенно когда используется в сочетании с обозначениями брекета в квантовой механике . В конечных размерностях , где операторы могут быть представлены матрицами , эрмитово сопряженное задается сопряженным транспонированием (также известным как эрмитово транспонирование).

Приведенное выше определение сопряженного оператора дословно распространяется на ограниченные линейные операторы в гильбертовых пространствах. $H$. Определение было расширено и теперь включает неограниченные плотно определенные операторы, область определения которых топологически плотна , но не обязательно равна: $H.$

Неофициальное определение

Рассмотрим линейное отображение $A:H_{1}\to H_{2}$ между гильбертовыми пространствами . Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что сопряженный оператор — это (в большинстве случаев однозначно определенный) линейный оператор. $A^{*}:H_{2}\to H_{1}$ выполнение

$\left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H_{i}}$ является внутренним произведением в гильбертовом пространстве $H_{i}$, линейное по первой координате и сопряженное линейное по второй координате. Обратите внимание на особый случай, когда оба гильбертовых пространства идентичны и $A$ является оператором в этом гильбертовом пространстве.

Когда кто-то обменивает внутренний продукт на двойную пару , можно определить сопряженный оператор, также называемый . транспонированием $A:E\to F$, где $E,F$ являются банаховыми пространствами с соответствующими нормами $\|\cdot \|_{E},\|\cdot \|_{F}$. Здесь (опять же без учета каких-либо технических подробностей) его сопряженный оператор определяется как $A^{*}:F^{*}\to E^{*}$ с

$A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),$

Вы, $\left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)$ для $f\in F^{*},u\in E$.

Приведенное выше определение в контексте гильбертова пространства на самом деле является просто применением случая банахового пространства, когда кто-то отождествляет гильбертово пространство с его двойственным. Тогда вполне естественно, что мы можем получить и сопряженный оператор $A:H\to E$, где $H$ является гильбертовым пространством и $E$ является банаховым пространством. Тогда двойственность определяется как $A^{*}:E^{*}\to H$ с $A^{*}f=h_{f}$ такой, что

$\langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah).$

Определение неограниченных операторов

Позволять $\left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)$ быть банаховыми пространствами . Предполагать $A:D(A)\to F$ и $D(A)\subset E$и предположим, что $A$ является (возможно, неограниченным) линейным оператором, который плотно определен (т. е. $D(A)$ плотный в $E$). Тогда его сопряженный оператор $A^{*}$ определяется следующим образом. Домен

$D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ for all }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}.$

Теперь о произвольных, но фиксированных $g\in D(A^{*})$ мы устанавливаем $f:D(A)\to \mathbb {R}$ с $f(u)=g(Au)$. По выбору $g$ и определение $D(A^{*})$, f (равномерно) непрерывна на $D(A)$ как $|f(u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}$. Тогда по теореме Хана-Банаха или, альтернативно, посредством расширения по непрерывности, это дает расширение $f$, называется ${\hat {f}}$, определенный на всех $E$. Эта формальность необходима для последующего получения $A^{*}$ в качестве оператора $D\left(A^{*}\right)\to E^{*}$ вместо $D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.$ Заметим также, что это не означает, что $A$ можно распространить на все $E$ но расширение работало только для определенных элементов $g\in D\left(A^{*}\right)$.

Теперь мы можем определить сопряжение $A$ как

${\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g={\hat {f}}.\end{aligned}}$

Таким образом, фундаментальная определяющая идентичность

$g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)$ для $u\in D(A).$

Определение ограниченных операторов между гильбертовыми пространствами

Предположим, H — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением $\langle \cdot ,\cdot \rangle$. Рассмотрим непрерывный линейный оператор A : H → H (для линейных операторов непрерывность эквивалентна ограниченности оператора ). Тогда сопряженным к A является непрерывный линейный оператор A ^∗ : H → H, удовлетворяющий

$\langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{for all }}x,y\in H.$

Существование и единственность этого оператора следует из теоремы о представлении Рисса .

Это можно рассматривать как обобщение присоединенной матрицы квадратной матрицы, которая имеет аналогичное свойство, связанное со стандартным комплексным скалярным продуктом.

Свойства

Непосредственно очевидны следующие свойства эрмитова сопряженного ограниченного оператора :

1. Инволютивность : А ^∗∗ = А
2. Если A обратимо, то обратимо и A. ^∗ , с ${\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}$
3. Сопряженная линейность :
   • ( А + Б ) ^∗ = А ^∗ + Б ^∗
   • ( λА ) ^∗ = λ А ^∗ , где λ обозначает комплексно- сопряженное число λ
4. « Антидистрибутивность »: ( AB ) ^∗ = Б ^∗ А ^∗

мы определим операторную норму A как Если

$\|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}$

затем

$\left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}.$

Более того,

$\left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}.$

Говорят, что норма, удовлетворяющая этому условию, ведет себя как «наибольшая величина», экстраполируя случай самосопряженных операторов.

Множество ограниченных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве Н вместе с присоединенной операцией и операторной нормой образуют прототип С *-алгебры .

Сопряженный к плотно определенным неограниченным операторам между гильбертовыми пространствами

Определение

Пусть внутренний продукт $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ быть линейным по первому аргументу. A Плотно определенный оператор из комплексного гильбертова пространства H в себя — это линейный оператор, область определения D (A) которого плотным линейным подпространством H чьи значения и лежат в H. является По определению область D ( A ^∗ ) его сопряженного A ^∗ — это множество всех y ∈ H, для которых существует z ∈ H, удовлетворяющий условиям

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad {\mbox{for all }}x\in D(A).$

Благодаря плотности $D(A)$ и теорема о представлении Рисса , $z$ определяется однозначно и по определению $A^{*}y=z.$

Свойства 1.–5. придерживайтесь соответствующих положений о доменах и кодоменах . Например, последнее свойство теперь гласит, что ( AB ) ^∗ является расширением B ^∗ А ^∗ если A , B и AB — плотно определенные операторы.

кер А ^* =(я А) ^⊥

Для каждого $y\in \ker A^{*},$ линейный функционал $x\mapsto \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle$ тождественно равен нулю, и, следовательно, $y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }.$

И наоборот, предположение о том, что $y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }$ вызывает функциональную $x\mapsto \langle Ax,y\rangle$ быть тождественно нулю. Поскольку функционал очевидно ограничен, определение $A^{*}$ уверяет, что $y\in D(A^{*}).$ Тот факт, что для каждого $x\in D(A),$ $\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle =0$ показывает, что $A^{*}y\in D(A)^{\perp }={\overline {D(A)}}^{\perp }=\{0\},$ при условии $D(A)$ плотный.

Это свойство показывает, что $\operatorname {ker} A^{*}$ является топологически замкнутым подпространством, даже если $D(A^{*})$ нет.

интерпретация

Если $H_{1}$ и $H_{2}$ являются гильбертовыми пространствами, то $H_{1}\oplus H_{2}$ является гильбертовым пространством со скалярным произведением

${\bigl \langle }(a,b),(c,d){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}{\stackrel {\text{def}}{=}}\langle a,c\rangle _{H_{1}}+\langle b,d\rangle _{H_{2}},$

где $a,c\in H_{1}$ и $b,d\in H_{2}.$

Позволять $J\colon H\oplus H\to H\oplus H$ — симплектическое отображение , т.е. $J(\xi ,\eta )=(-\eta ,\xi ).$ Тогда график

$G(A^{*})=\{(x,y)\mid x\in D(A^{*}),\ y=A^{*}x\}\subseteq H\oplus H$

из $A^{*}$ является ортогональным дополнением $JG(A):$

$G(A^{*})=(JG(A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:{\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }_{H\oplus H}=0\;\;\forall \xi \in D(A)\}.$

Утверждение следует из эквивалентностей

${\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }=0\quad \Leftrightarrow \quad \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle ,$

и

${\Bigl [}\forall \xi \in D(A)\ \ \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle {\Bigr ]}\quad \Leftrightarrow \quad x\in D(A^{*})\ \&\ y=A^{*}x.$

Следствия

А ^* закрыто

Оператор $A$ замкнут , если граф $G(A)$ топологически замкнут в $H\oplus H.$ График $G(A^{*})$ сопряженного оператора $A^{*}$ является ортогональным дополнением подпространства и, следовательно, замкнуто.

А ^* плотно определен ⇔ A замыкаемо

Оператор $A$ замыкаемо , если топологическое замыкание $G^{\text{cl}}(A)\subseteq H\oplus H$ графика $G(A)$ это график функции. С $G^{\text{cl}}(A)$ является (замкнутым) линейным подпространством, слово «функция» можно заменить на «линейный оператор». По той же причине, $A$ замыкается тогда и только тогда, когда $(0,v)\notin G^{\text{cl}}(A)$ пока не $v=0.$

Сопряженный $A^{*}$ плотно определено тогда и только тогда, когда $A$ является закрывающимся. Это следует из того, что для каждого $v\in H,$

$v\in D(A^{*})^{\perp }\ \Leftrightarrow \ (0,v)\in G^{\text{cl}}(A),$

что, в свою очередь, доказывается следующей цепочкой эквивалентностей:

${\begin{aligned}v\in D(A^{*})^{\perp }&\Longleftrightarrow (v,0)\in G(A^{*})^{\perp }\Longleftrightarrow (v,0)\in (JG(A))^{\text{cl}}=JG^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,-v)=J^{-1}(v,0)\in G^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,v)\in G^{\text{cl}}(A).\end{aligned}}$

А ^** = А ^кл

Закрытие ​ $A^{\text{cl}}$ оператора $A$ – оператор, график которого $G^{\text{cl}}(A)$ если этот график представляет собой функцию. Как и выше, слово «функция» может быть заменено на «оператор». Более того, $A^{**}=A^{\text{cl}},$ это означает, что $G(A^{**})=G^{\text{cl}}(A).$

Чтобы доказать это, заметим, что $J^{*}=-J,$ т.е. $\langle Jx,y\rangle _{H\oplus H}=-\langle x,Jy\rangle _{H\oplus H},$ для каждого $x,y\in H\oplus H.$ Действительно,

${\begin{aligned}\langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}&=\langle (-x_{2},x_{1}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}=\langle -x_{2},y_{1}\rangle _{H}+\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}\\&=\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}+\langle x_{2},-y_{1}\rangle _{H}=\langle (x_{1},x_{2}),-J(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}.\end{aligned}}$

В частности, для каждого $y\in H\oplus H$ и каждое подпространство $V\subseteq H\oplus H,$ $y\in (JV)^{\perp }$ тогда и только тогда, когда $Jy\in V^{\perp }.$ Таким образом, $J[(JV)^{\perp }]=V^{\perp }$ и $[J[(JV)^{\perp }]]^{\perp }=V^{\text{cl}}.$ Замена $V=G(A),$ получать $G^{\text{cl}}(A)=G(A^{**}).$

А ^* = (А ^кл ) ^*

Для закрывающегося оператора $A,$ $A^{*}=\left(A^{\text{cl}}\right)^{*},$ это означает, что $G(A^{*})=G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right).$ Действительно,

$G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right)=\left(JG^{\text{cl}}(A)\right)^{\perp }=\left(\left(JG(A)\right)^{\text{cl}}\right)^{\perp }=(JG(A))^{\perp }=G(A^{*}).$

Контрпример, когда сопряженное не определено плотно

Позволять $H=L^{2}(\mathbb {R} ,l),$ где $l$ является линейной мерой. Выберите измеримую ограниченную нетождественно нулевую функцию. $f\notin L^{2},$ и выбрать $\varphi _{0}\in L^{2}\setminus \{0\}.$ Определять

$A\varphi =\langle f,\varphi \rangle \varphi _{0}.$

Отсюда следует, что $D(A)=\{\varphi \in L^{2}\mid \langle f,\varphi \rangle \neq \infty \}.$ Подпространство $D(A)$ содержит все $L^{2}$ функции с компактной поддержкой. С $\mathbf {1} _{[-n,n]}\cdot \varphi \ {\stackrel {L^{2}}{\to }}\ \varphi ,$ $A$ плотно определен. Для каждого $\varphi \in D(A)$ и $\psi \in D(A^{*}),$

$\langle \varphi ,A^{*}\psi \rangle =\langle A\varphi ,\psi \rangle =\langle \langle f,\varphi \rangle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle f,\varphi \rangle \cdot \langle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle \varphi ,\langle \varphi _{0},\psi \rangle f\rangle .$

Таким образом, $A^{*}\psi =\langle \varphi _{0},\psi \rangle f.$ Определение сопряженного оператора требует, чтобы $\mathop {\text{Im}} A^{*}\subseteq H=L^{2}.$ С $f\notin L^{2},$ это возможно только если $\langle \varphi _{0},\psi \rangle =0.$ По этой причине, $D(A^{*})=\{\varphi _{0}\}^{\perp }.$ Следовательно, $A^{*}$ не является плотно определённым и тождественно равен нулю на $D(A^{*}).$ Как результат, $A$ не замыкается и не имеет второго сопряженного $A^{**}.$

Эрмитовы операторы

Ограниченный оператор A : H → H называется эрмитовым или самосопряженным , если

$A=A^{*}$

что эквивалентно

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle {\mbox{ for all }}x,y\in H.$

В некотором смысле эти операторы играют роль действительных чисел (будучи равными своему «комплексно-сопряженному») и образуют вещественное векторное пространство . Они служат моделью вещественных наблюдаемых в квантовой механике . см. в статье о самосопряженных операторах Подробное описание .

Сопряженные к сопряженно-линейным операторам

Для сопряженно-линейного оператора определение сопряженного необходимо скорректировать, чтобы компенсировать комплексное сопряжение. Сопряженным оператором сопряженно-линейного оператора A в комплексном гильбертовом пространстве H является сопряженно-линейный оператор A ^∗ : H → H со свойством:

$\langle Ax,y\rangle ={\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{for all }}x,y\in H.$

Другие депутаты

Уравнение

$\langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle$

формально аналогично определяющим свойствам пар сопряженных функторов в теории категорий , и именно отсюда сопряженные функторы получили свое название.

См. также

• Математические концепции
  • Эрмитовский оператор
  • Норма (математика)
  • Транспонирование линейных карт
  • Сопряженное транспонирование
• Физические приложения
  • Оператор (физика)
  • †-алгебра

Ссылки

• Брезис, Хаим (2011), Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных (первое издание), Springer, ISBN  978-0-387-70913-0 .
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (2003), Функциональный анализ , Elsevier, ISBN  981-4141-65-8 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .