Рентгеновское преобразование

В математике рентгеновское преобразование (также называемое лучевым преобразованием ^[1] или преобразование Джона ) — интегральное преобразование, введенное Фрицем Джоном в 1938 году. ^[2] это один из краеугольных камней современной интегральной геометрии . Оно очень тесно связано с преобразованием Радона и совпадает с ним в двух измерениях. В более высоких измерениях рентгеновское преобразование функции определяется путем интегрирования по линиям, а не по гиперплоскостям , как в преобразовании Радона. Рентгеновское преобразование получило свое название от рентгеновской томографии (используемой при компьютерной томографии ), поскольку рентгеновское преобразование функции ƒ представляет данные ослабления томографического сканирования в неоднородной среде, плотность которой представлена функцией ƒ . Таким образом, инверсия рентгеновского преобразования имеет практическое значение, поскольку позволяет восстановить неизвестную плотность ƒ на основе известных данных по ее ослаблению.

Подробно, если ƒ — с компактным носителем непрерывная функция в евклидовом пространстве R ^н, то рентгеновское преобразование ƒ — это функция Xƒ, определенная на множестве всех строк в R ^н к

Xf(L)=\int _{L}f=\int _{\mathbf {R} }f(x_{0}+t\theta )dt

где x ₀ — начальная точка прямой, а θ — единичный вектор в R ^н направление линии L. указывающее Последний интеграл не рассматривается в ориентированном смысле: это интеграл по одномерной мере Лебега на евклидовой прямой L .

Рентгеновское преобразование удовлетворяет ультрагиперболическому волновому уравнению, называемому уравнением Джона .

Гауссову или обычную гипергеометрическую функцию можно записать как рентгеновское преобразование ( Гельфанд, Гиндикин и Граев 2003 , 2.1.2).

Ссылки

^ Наттерер, Фрэнк; Вюббелинг, Франк (2001). Математические методы реконструкции изображений . Филадельфия: СИАМ. дои : 10.1137/1.9780898718324.fm .
^ Фриц, Джон (1938). «Ультрагиперболическое дифференциальное уравнение с четырьмя независимыми переменными» . Математический журнал Дьюка . 4 : 300–322. дои : 10.1215/S0012-7094-38-00423-5 . Проверено 23 января 2013 г.

Беренштейн, Карлос А. (2001) [1994], «Рентгеновское преобразование» , Энциклопедия математики , EMS Press .
Гельфанд, ИМ; Гиндикин, С.Г.; Граев, М.И. (2003) [2000], Избранные темы интегральной геометрии , Переводы математических монографий, вып. 220, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-2932-5 , МР 2000133
Хельгасон, Сигурдур (2008), Геометрический анализ симметричных пространств , Математические обзоры и монографии, том. 39 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-4530-1 , МР 2463854
Хельгасон, Сигурдур (1999), Преобразование радона (PDF) , Прогресс в математике (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Биркхаузер

[1] Наттерер, Фрэнк; Вюббелинг, Франк (2001). Математические методы реконструкции изображений . Филадельфия: СИАМ. дои : 10.1137/1.9780898718324.fm .

[2] Фриц, Джон (1938). «Ультрагиперболическое дифференциальное уравнение с четырьмя независимыми переменными» . Математический журнал Дьюка . 4 : 300–322. дои : 10.1215/S0012-7094-38-00423-5 . Проверено 23 января 2013 г.

[1]

[2]