Экранированное уравнение Пуассона

В физике экранированное уравнение Пуассона — это уравнение Пуассона , которое возникает (например) в уравнении Клейна-Гордона , экранировании электрического поля в плазме и нелокальной зернистой текучести. в гранулированном потоке .

Формулировка уравнения

Уравнение $$\left[\Delta -\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf {r} ),$$

где $\Delta$ — оператор Лапласа , λ — константа, выражающая «экранирование», f — произвольная функция положения (известная как «исходная функция»), а u — определяемая функция.

В однородном случае ( f =0) экранированное уравнение Пуассона совпадает с нестационарным уравнением Клейна–Гордона . В неоднородном случае экранированное уравнение Пуассона очень похоже на неоднородное уравнение Гельмгольца с той лишь разницей, что это знак в скобках.

Электростатика

При экранировании электрического поля экранированное уравнение Пуассона для электрического потенциала $\phi (\mathbf {r} )$ обычно записывается как (единицы СИ)

$$\left[\Delta -k_{0}^{2}\right]\phi (\mathbf {r} )=-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}},$$

где $k_{0}^{-1}$ длина скрининга, $\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )$ – плотность заряда, создаваемая внешним полем в отсутствие экранирования и $\epsilon _{0}$ - диэлектрическая проницаемость вакуума . Это уравнение можно вывести в нескольких моделях экранирования, таких как экранирование Томаса-Ферми в физике твердого тела и экранирование Дебая в плазме .

Решения

Три измерения

Без ограничения общности будем считать λ неотрицательным. Когда λ равно нулю , уравнение сводится к уравнению Пуассона . Поэтому, когда λ очень мало, решение приближается к решению неэкранированного уравнения Пуассона, которое в размерности $n=3$, представляет собой суперпозицию 1/ r функций, взвешенных по исходной функции f :

$$u(\mathbf {r} )_{({\text{Poisson}})}=\iiint \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.$$

С другой стороны, когда λ чрезвычайно велико, u приближается к значению f / λ ² , который обращается в ноль при стремлении λ к бесконечности. Как мы увидим, решение для промежуточных значений λ ведет себя как суперпозиция экранированных (или затухающих) 1/ r функций, причем λ ведет себя как сила экранирования.

Экранированное уравнение Пуассона можно решить для общего f методом функций Грина . Функция Грина G определяется формулой

$$\left[\Delta -\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r} ),$$где δ ³ представляет собой дельта-функция с единичной массой, сосредоточенной в начале координат R ³ .

Предполагая, что u и ее производные исчезают при больших r , мы можем выполнить непрерывное преобразование Фурье в пространственных координатах:

$$G(\mathbf {k} )=\iiint \mathrm {d} ^{3}r\;G(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$$

где интеграл берется по всему пространству. Тогда несложно показать, что

$$\left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k} )=1.$$

Таким образом, функция Грина по r определяется обратным преобразованием Фурье:

$$G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\iiint \mathrm {d} ^{3}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.$$

Этот интеграл можно вычислить, используя сферические координаты в k -пространстве. Интегрирование по угловым координатам является простым, и интеграл сводится к единице по радиальному волновому числу. $k_{r}$:

$$G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,\sin k_{r}r}{k_{r}^{2}+\lambda ^{2}}}.$$

Это можно оценить с помощью контурного интегрирования . Результат:

$$G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-\lambda r}}{4\pi r}}.$$

Тогда полное решение задачи будет иметь вид

$$u(\mathbf {r} )=\int \mathrm {d} ^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {e^{-\lambda |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}f(\mathbf {r} ').$$

Как указано выше, это суперпозиция экранированных функций 1/ r , взвешенных по функции источника f и с λ, действующей как сила экранирования. Экранированная функция 1/ r часто встречается в физике как экранированный кулоновский потенциал, называемый также « потенциалом Юкавы ».

Два измерения

В двух измерениях:В случае замагниченной плазмы экранированное уравнение Пуассона является квазидвумерным: $$\left(\Delta _{\perp }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)u(\mathbf {r} _{\perp })=-f(\mathbf {r} _{\perp })$$с $\Delta _{\perp }=\nabla \cdot \nabla _{\perp }$ и $\nabla _{\perp }=\nabla -{\frac {\mathbf {B} }{B}}\cdot \nabla$, с $\mathbf {B}$ магнитное поле и $\rho$ – (ионный) ларморовский радиус .Двумерное преобразование Фурье соответствующей функции Грина : $$G(\mathbf {k_{\perp }} )=\iint d^{2}r~G(\mathbf {r} _{\perp })e^{-i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}.$$Двумерное экранированное уравнение Пуассона дает: $$\left(k_{\perp }^{2}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)G(\mathbf {k} _{\perp })=1.$$ Таким образом, функция Грина задается обратным преобразованием Фурье : $$G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\;\iint \mathrm {d} ^{2}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}}{k_{\perp }^{2}+1/\rho ^{2}}}.$$Этот интеграл можно вычислить, используя полярные координаты в k-пространстве : $$\mathbf {k} _{\perp }=(k_{r}\cos(\theta ),k_{r}\sin(\theta ))$$Интегрирование по угловой координате дает функцию Бесселя , а интеграл сводится к единице по радиальному волновому числу $k_{r}$: $$G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{2\pi }}\;\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,J_{0}(k_{r}r_{\perp })}{k_{r}^{2}+1/\rho ^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}K_{0}(r_{\perp }\,/\,\rho ).$$

Связь с распределением Лапласа

Функции Грина как в 2D, так и в 3D идентичны функции плотности вероятности многомерного распределения Лапласа для двух и трех измерений соответственно.

См. также

• Юкава взаимодействие