Скрининг Томаса – Ферми

Экранирование Томаса-Ферми - это теоретический подход к расчету эффектов экранирования электрического поля электронами в твердом теле. ^{[ 1 ]} Это частный случай более общей теории Линдхарда ; в частности, экранирование Томаса-Ферми является пределом формулы Линдхарда , когда волновой вектор (обратный интересующему масштабу длины) намного меньше волнового вектора Ферми, т.е. предела на больших расстояниях. ^{[ 1 ]} Он назван в честь Ллевеллина Томаса и Энрико Ферми .

Волновой вектор Томаса – Ферми (в единицах Гаусса СГС ) равен ^{[ 1 ]} $k_{0}^{2}=4\pi e^{2}{\frac {\partial n}{\partial \mu }},$ где μ — химический потенциал ( уровень Ферми ), n — концентрация электронов и e — элементарный заряд .

На примере не слишком сильно легированных полупроводников плотность заряда $n \propto e ц / к Б Т$ , где k _B — постоянная Больцмана, а T — температура. В этом случае, $k_{0}^{2}={\frac {4\pi e^{2}n}{k_{\rm {B}}T}},$

т.е. $1/ k 0$ определяется известной формулой для длины Дебая . В противоположном крайнем случае, в низкотемпературном пределе $Т = 0$ , электроны ведут себя как квантовые частицы ( фермионы ). Такое приближение справедливо для металлов при комнатной температуре, а волновой вектор экранирования Томаса–Ферми k _TF, заданный в атомных единицах, равен $k_{\rm {TF}}^{2}=4\left({\frac {3n}{\pi }}\right)^{1/3}.$

Если восстановить массу электрона $m_{e}$ и постоянная Планка $\hbar$ , экранирующий волновой вектор в гауссовых единицах равен $k_{0}^{2}=k_{\rm {TF}}^{2}(m_{e}/\hbar ^{2})$ .

Более подробную информацию и обсуждение, включая одномерный и двумерный случаи, см. в статье о теории Линдхарда .

Вывод

Связь между электронной плотностью и внутренним химическим потенциалом

Внутренний химический потенциал (тесно связанный с уровнем Ферми , см. ниже) системы электронов описывает, сколько энергии требуется, чтобы поместить в систему дополнительный электрон, пренебрегая электрической потенциальной энергией. По мере увеличения числа электронов в системе (при фиксированных температуре и объеме) внутренний химический потенциал увеличивается. Это следствие во многом связано с тем, что электроны удовлетворяют принципу запрета Паули : только один электрон может занимать энергетический уровень, а электронные состояния с более низкой энергией уже заполнены, поэтому новые электроны должны занимать состояния с более высокой и более высокой энергией.

Учитывая ферми-газ плотности $n$ , состояние с наивысшим занятым импульсом (при нулевой температуре) известно как импульс Ферми, $k_{\rm {F}}$ .

Тогда искомое соотношение описывается плотностью электронов $n(\mu )$ как функция ц внутреннего химического потенциала. Точная функциональная форма зависит от системы. Например, для трехмерного ферми-газа , невзаимодействующего электронного газа, при абсолютной нулевой температуре соотношение $n(\mu )\propto \mu ^{3/2}$ .

Доказательство: включая спиновое вырождение,

$n=2{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}{\frac {4}{3}}\pi k_{\rm {F}}^{3}\quad ,\quad \mu ={\frac {\hbar ^{2}k_{\rm {F}}^{2}}{2m}}.$

(в этом контексте — т. е. при абсолютном нуле — внутренний химический потенциал чаще называют энергией Ферми ).

Другой пример: для полупроводника n-типа при низкой и умеренной концентрации электронов: $n(\mu )\propto e^{\mu /k_{\rm {B}}T}$ .

Локальное приближение

Основное предположение в модели Томаса-Ферми существует внутренний химический потенциал состоит в том, что в каждой точке r , который зависит только от концентрации электронов в этой же точке r . Такое поведение не может быть в точности верным из-за принципа неопределенности Гейзенберга . Ни один электрон не может существовать в одной точке; каждый из них раскладывается на волновой пакет размером ≈ 1/ k _F , где k _F — волновое число Ферми, т.е. типичное волновое число для состояний на поверхности Ферми . Поэтому невозможно определить химический потенциал в одной точке, независимо от плотности электронов в соседних точках.

Тем не менее, модель Томаса-Ферми, вероятно, будет достаточно точным приближением, пока потенциал не сильно меняется на длинах, сравнимых или меньших 1/ k _F . Эта длина обычно соответствует нескольким атомам в металлах.

Электроны в равновесии, нелинейное уравнение

Наконец, модель Томаса-Ферми предполагает, что электроны находятся в равновесии, а это означает, что общий химический потенциал одинаков во всех точках. (В терминологии электрохимии « электрохимический потенциал электронов одинаков во всех точках». В терминологии физики полупроводников « уровень Ферми плоский».) Этот баланс требует, чтобы изменениям внутреннего химического потенциала соответствовали равные и противоположные изменения. в электрической потенциальной энергии. Это приводит к «основному уравнению нелинейной теории Томаса – Ферми»: ^{[ 1 ]} $\rho ^{\text{induced}}(\mathbf {r} )=-e[n(\mu _{0}+e\phi (\mathbf {r} ))-n(\mu _{0})]$ где n ( μ ) — обсуждавшаяся выше функция (электронная плотность как функция внутреннего химического потенциала), e — элементарный заряд , r — положение, и $\rho ^{\text{induced}}(\mathbf {r} )$ — индуцированный заряд в точке r . Электрический потенциал $\phi$ определяется таким образом, что $\phi (\mathbf {r} )=0$ в точках, где материал является нейтральным по заряду (количество электронов точно равно числу ионов), и аналогично µ ₀ определяется как внутренний химический потенциал в точках, где материал является нейтральным по заряду.

Линеаризация, диэлектрическая функция

Если химический потенциал не меняется слишком сильно, приведенное выше уравнение можно линеаризовать: $\rho ^{\text{induced}}(\mathbf {r} )\approx -e^{2}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\phi (\mathbf {r} )$ где $\partial n/\partial \mu$ оценивается при µ ₀ и рассматривается как константа.

Это соотношение можно преобразовать в диэлектрическую функцию, зависящую от волнового вектора : ^{[ 1 ]} (в CGS-Гаусса единицах ) $\varepsilon (\mathbf {q} )=1+{\frac {k_{0}^{2}}{q^{2}}}$ где $k_{0}={\sqrt {4\pi e^{2}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}.$ На больших расстояниях ( $q \to 0$ ) диэлектрическая проницаемость приближается к бесконечности, отражая тот факт, что заряды становятся все ближе и ближе к идеальному экранированию, когда вы наблюдаете за ними издалека.

Пример: начисление баллов

Если точечный заряд $Q$ поместить в точку $r = 0$ в твердом теле, какое поле он создаст с учетом электронного экранирования?

Ищем самосогласованное решение двух уравнений:

Формула экранирования Томаса – Ферми дает плотность заряда в каждой точке r как функцию потенциала $\phi (\mathbf {r} )$ в тот момент.
Уравнение Пуассона (полученное из закона Гаусса ) связывает вторую производную потенциала с плотностью заряда.

Для нелинейной формулы Томаса – Ферми одновременное решение может быть затруднено, и обычно аналитического решения не существует. Однако линеаризованная формула имеет простое решение (в единицах СГС-Гаусса ): $\phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{r}}e^{-k_{0}r}$ При $k 0 = 0$ (нет экранирования) это становится знакомым законом Кулона .

может существовать диэлектрическая проницаемость Обратите внимание, что в дополнение к обсуждаемому здесь экранированию ; например, из-за поляризации неподвижных электронов ядра. В этом случае замените Q на Q / ε , где ε — относительная диэлектрическая проницаемость, обусловленная этими другими вкладами.

Ферми-газ при произвольной температуре

Эффективная температура для скрининга Томаса – Ферми. Приблизительная форма объяснена в статье и использует степень p = 1,8.

Для трехмерного ферми-газа (невзаимодействующего электронного газа) экранирующий волновой вектор $k_{0}$ может быть выражено как функция как температуры, так и энергии Ферми $E_{\rm {F}}$ . Первым шагом является расчет внутреннего химического потенциала. $\mu$ , который включает в себя обратный интеграл Ферми – Дирака , ${\frac {\mu }{k_{\rm {B}}T}}=F_{1/2}^{-1}\left[{2 \over {3\Gamma (3/2)}}\left({E_{\rm {F}} \over T}\right)^{3/2}\right].$

Мы можем выразить $k_{0}$ по эффективной температуре $T_{\rm {eff}}$ : $k_{0}^{2}=4\pi e^{2}n/k_{\rm {B}}T_{\rm {eff}}$ , или $k_{\rm {B}}T_{\rm {eff}}=n\partial \mu /\partial n$ . Общий результат для $T_{\rm {eff}}$ является ${T_{\rm {eff}} \over T}={4 \over 3\Gamma (1/2)}{(E_{\rm {F}}/k_{\rm {B}}T)^{3/2} \over F_{-1/2}(\mu /k_{\rm {B}}T)}.$ В классическом пределе $k_{\rm {B}}T\gg E_{\rm {F}}$ , мы находим $T_{\rm {eff}}=T$ , находясь в вырожденном пределе $k_{\rm {B}}T\ll E_{\rm {F}}$ мы находим $k_{\rm {B}}T_{\rm {eff}}=(2/3)E_{\rm {F}}.$ Простая приближенная форма, которая правильно восстанавливает оба предела: $k_{\rm {B}}T_{\rm {eff}}=\left[(k_{\rm {B}}T)^{p}+(2E_{\rm {F}}/3)^{p}\right]^{1/p},$ для любой власти $p$ . Значение, которое дает достойное согласие с точным результатом для всех $k_{\rm {B}}T/E_{\rm {F}}$ является $p=1.8$ , ^{[ 2 ]} который имеет максимальную относительную ошибку <2,3%.

В приведенной выше эффективной температуре температура используется для построения эффективной классической модели. Однако эта форма эффективной температуры неправильно восстанавливает теплоемкость и большинство других свойств конечного продукта. $T$ электронная жидкость даже для невзаимодействующего электронного газа. Разумеется, он не пытается учесть эффекты электрон-электронного взаимодействия. Простая форма эффективной температуры, которая правильно восстанавливает все свойства функционала плотности даже взаимодействующего электронного газа, включая парные функции распределения при конечных $T$ , было дано с использованием классической модели гиперсетчатой цепи ( CHNC ) электронной жидкости. То есть ${\frac {T_{\rm {eff}}}{E_{\rm {F}}}}=\left({\frac {T^{2}}{E_{\rm {F}}^{2}}}+{\frac {T_{q}^{2}}{E_{\rm {F}}^{2}}}\right)^{1/2}$ где квантовая температура $T_{q}$ определяется как: ${\frac {T_{q}}{E_{\rm {F}}}}={\frac {1}{a+b{\sqrt {r_{\rm {s}}}}+cr_{\rm {s}}}}$ где $а = 1,594$ , $б = -0,3160$ , $с = 0,0240$ . Здесь $r_{\rm {s}}$ — радиус Вигнера–Зейтца, соответствующий сфере в атомных единицах, содержащей один электрон. То есть, если $n$ — это число электронов в единице объема в атомных единицах, где единицей длины является боровская единица, а именно 5,291 77 × 10. ⁻⁹ см , тогда $r_{\rm {s}}=\left({\frac {3}{4\pi n}}\right)^{1/3}.$ Для плотного электронного газа, например, с $r_{\rm {s}}\approx 1$ или меньше, электрон-электронные взаимодействия становятся пренебрежимо малыми по сравнению с энергией Ферми, тогда, используя значение $r_{\rm {s}}$ близкой к единице, мы видим, что эффективная температура CHNC при $T=0$ приближается к виду $2E_{\rm {F}}/3$ . Другие сопоставления для случая 3D, ^{[ 3 ]} аналогичные формулы для эффективной температуры были даны и для классической карты двумерного электронного газа. ^{[ 4 ]}

См. также

Уравнение Томаса – Ферми

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Н. В. Эшкрофт и Н. Д. Мермин, Физика твердого тела (Thomson Learning, Торонто, 1976)
^ Стэнтон, Лиам Г.; Мурильо, Майкл С. (08 апреля 2016 г.). «Ионный транспорт в веществе с высокой плотностью энергии» . Физический обзор E . 93 (4). Американское физическое общество (APS): 043203. Бибкод : 2016PhRvE..93d3203S . дои : 10.1103/physreve.93.043203 . ISSN 2470-0045 . ПМИД 27176414 .
^ Ю Лю и Цзяньчжун Ву, J. Chem. 141 064115 (2014).
^ Франсуа Перро и MWC Дхарма-вардана, Phys. Преподобный Летт. 87 , 206404 (2001)

[Ashcroft-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Н. В. Эшкрофт и Н. Д. Мермин, Физика твердого тела (Thomson Learning, Торонто, 1976)

[2] Стэнтон, Лиам Г.; Мурильо, Майкл С. (08 апреля 2016 г.). «Ионный транспорт в веществе с высокой плотностью энергии» . Физический обзор E . 93 (4). Американское физическое общество (APS): 043203. Бибкод : 2016PhRvE..93d3203S . дои : 10.1103/physreve.93.043203 . ISSN 2470-0045 . ПМИД 27176414 .

[3] Ю Лю и Цзяньчжун Ву, J. Chem. 141 064115 (2014).

[4] Франсуа Перро и MWC Дхарма-вардана, Phys. Преподобный Летт. 87 , 206404 (2001)

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]