Теория Линдхарда

Не путать с классической теорией ченнелинга , также разработанной Йенсом Линдхардом.

В конденсированного состояния физике теория Линдхарда представляет собой метод расчета эффектов экранирования электрического поля электронами в твердом теле. Он основан на квантовой механике (теории возмущений первого порядка) и приближении случайной фазы . Она названа в честь датского физика Йенса Линдхарда , который впервые разработал теорию в 1954 году.

Экранирование Томаса–Ферми и плазменные колебания можно вывести как частный случай более общей формулы Линдхарда. В частности, экранирование Томаса-Ферми является пределом формулы Линдхарда, когда волновой вектор (обратный интересующему масштабу длины) намного меньше волнового вектора Ферми, т.е. предела на больших расстояниях. Выражение Лоренца–Друде для плазменных колебаний восстановлено в динамическом случае (длинные волны, конечная частота).

В этой статье используются единицы измерения CGS-Гаусса .

Формула

Формула Линдхарда для продольной диэлектрической функции имеет вид

$\epsilon (\mathbf {q} ,\omega )=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{\hbar (\omega +i\delta )+E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}.$

Здесь, $\delta$ - положительная бесконечно малая константа, $V_{\mathbf {q} }$ является $V_{\text{eff}}(\mathbf {q} )-V_{\text{ind}}(\mathbf {q} )$ и $f_{\mathbf {k} }$ – функция распределения носителей, которая представляет собой функцию распределения Ферми – Дирака для электронов, находящихся в термодинамическом равновесии.Однако эта формула Линдхарда справедлива и для неравновесных функций распределения. Его можно получить с помощью теории возмущений первого порядка и приближения случайной фазы (RPA).

Предельные случаи

Чтобы понять формулу Линдхарда, рассмотрим некоторые предельные случаи в 2-х и 3-х измерениях. Одномерный случай рассматривается и другими способами.

Предел длинноволнового диапазона

В длинноволновом пределе ( $\mathbf {q} \to 0$), функция Линдхарда сводится к

$\epsilon (\mathbf {q} =0,\omega )\approx 1-{\frac {\omega _{\rm {pl}}^{2}}{\omega ^{2}}},$

где $\omega _{\rm {pl}}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{L^{3}m}}$ – трехмерная плазменная частота (в единицах СИ замените коэффициент $4\pi$ к $1/\epsilon _{0}$.) Для двумерных систем

$\omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}$.

Этот результат восстанавливает плазменные колебания из классической диэлектрической функции из модели Друде и из квантово-механической модели свободных электронов .

показывать

Вывод в 3D

For the denominator of the Lindhard formula, we get

$E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} +q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}$,

and for the numerator of the Lindhard formula, we get

$f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }$.

Inserting these into the Lindhard formula and taking the $\delta \to 0$ limit, we obtain

${\begin{alignedat}{2}\epsilon (\mathbf {q} =0,\omega _{0})&\simeq 1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}}\\&=1-V_{\mathbf {q} }{\frac {q^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{\mathbf {k} }{f_{\mathbf {k} }}\\&=1-V_{\mathbf {q} }{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {\omega _{\rm {pl}}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}.\end{alignedat}}$,

where we used $E_{\mathbf {k} }=\hbar \omega _{\mathbf {k} }$ and $V_{\mathbf {q} }={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}$.

показывать

Вывод в 2D

First, consider the long wavelength limit ($q\to 0$).

For the denominator of the Lindhard formula,

$E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} +q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}$,

and for the numerator,

$f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }$.

Inserting these into the Lindhard formula and taking the limit of $\delta \to 0$, we obtain

${\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega )&\simeq 1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}2\int d^{2}k({\frac {L}{2\pi }})^{2}\sum _{i,j}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar k_{j}q_{j}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{\mathbf {q} }L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}k_{j}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}\\&=1+{\frac {V_{\mathbf {q} }L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{j}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{\mathbf {q} }L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}n\delta _{ij}}\\&=1-{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}q^{2}n\\&=1-{\frac {\omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )}{\omega _{0}^{2}}},\end{alignedat}}$

where we used $E_{\mathbf {k} }=\hbar \epsilon _{\mathbf {k} }$, $V_{\mathbf {q} }={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}$ and $\omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}$.

Статический предел

Рассмотрим статический предел ( $\omega +i\delta \to 0$).

Формула Линдхарда принимает вид

$\epsilon (\mathbf {q} ,\omega =0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}$.

Подставив приведенные выше равенства для знаменателя и числителя, получим

$\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}$.

Предполагая термическое равновесие распределения носителей заряда Ферми – Дирака, мы получаем

$\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}{\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}}$

здесь мы использовали $E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$ и ${\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}$.

Поэтому,

${\begin{alignedat}{2}\epsilon (\mathbf {q} ,0)&=1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}=1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {1}{L^{3}}}\sum _{\mathbf {k} }{f_{\mathbf {k} }}\\&=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{3}}}=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa ^{2}}{q^{2}}}.\end{alignedat}}$

Здесь, $\kappa$ волновое число 3D-рассеивания (обратная длина 3D-рассеивания), определяемое как

$\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}$.

Тогда трехмерный статически экранированный кулоновский потенциал определяется выражением

$V_{\rm {s}}(\mathbf {q} ,\omega =0)\equiv {\frac {V_{\mathbf {q} }}{\epsilon (\mathbf {q} ,0)}}={\frac {\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}+\kappa ^{2}}{q^{2}}}}={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon L^{3}}}{\frac {1}{q^{2}+\kappa ^{2}}}$.

А обратное преобразование Фурье этого результата дает

$V_{\rm {s}}(r)=\sum _{\mathbf {q} }{{\frac {4\pi e^{2}}{L^{3}(q^{2}+\kappa ^{2})}}e^{i\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} }}={\frac {e^{2}}{r}}e^{-\kappa r}$

известный как потенциал Юкавы . Обратите внимание, что в этом преобразовании Фурье, которое по сути представляет собой сумму по всем $\mathbf {q}$, мы использовали выражение для малых $|\mathbf {q} |$ для каждого значения $\mathbf {q}$ что не правильно.

Статически экранированный потенциал (верхняя изогнутая поверхность) и кулоновский потенциал (нижняя изогнутая поверхность) в трех измерениях

Для вырожденного ферми-газа ( T =0) энергия Ферми определяется выражением

$E_{\rm {F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}$,

Итак, плотность

$n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\rm {F}}\right)^{\frac {3}{2}}$.

При Т =0, $E_{\rm {F}}\equiv \mu$, так ${\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{\rm {F}}}}$.

Подставляя это в приведенное выше уравнение волнового числа трехмерного скрининга, мы получаем

$\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{\rm {F}}}}}$.

Этот результат восстанавливает трехмерное волновое число из скрининга Томаса – Ферми .

Для справки, скрининг Дебая – Хюкеля описывает невырожденный предельный случай. Результат $\kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}$, известное как волновое число трехмерного экранирования Дебая – Хюккеля.

В двух измерениях волновое число экранирования равно

$\kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {m}{\hbar ^{2}\pi }}(1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m})={\frac {2me^{2}}{\hbar ^{2}\epsilon }}f_{k=0}.$

Обратите внимание, что этот результат не зависит от n .

показывать

Вывод в 2D

Consider the static limit ($\omega +i\delta \to 0$).The Lindhard formula becomes

$\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}$.

Inserting the above equalities for the denominator and numerator, we obtain

$\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}$.

Assuming a thermal equilibrium Fermi–Dirac carrier distribution, we get

$\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}{\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}}$.

Therefore,

${\begin{alignedat}{2}\epsilon (\mathbf {q} ,0)&=1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}=1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\sum _{\mathbf {k} }{f_{\mathbf {k} }}\\&=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{2}}}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa }{q}}.\end{alignedat}}$

$\kappa$ is 2D screening wave number(2D inverse screening length) defined as

$\kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}$.

Then, the 2D statically screened Coulomb potential is given by

$V_{\rm {s}}(\mathbf {q} ,\omega =0)\equiv {\frac {V_{\mathbf {q} }}{\epsilon (\mathbf {q} ,0)}}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {q}{q+\kappa }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon L^{2}}}{\frac {1}{q+\kappa }}$.

It is known that the chemical potential of the 2-dimensional Fermi gas is given by

$\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}$,

and ${\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}$.

Эксперименты над одномерными системами

На этот раз рассмотрим некоторый обобщенный случай понижения размерности.Чем меньше размерность, тем слабее экранирующий эффект.В нижнем измерении некоторые силовые линии проходят через барьерный материал, при этом экранирование не оказывает никакого эффекта.В одномерном случае можно предположить, что экранирование влияет только на силовые линии, расположенные очень близко к оси проволоки.

В реальном эксперименте мы также должны учитывать эффект объемного трехмерного экранирования, хотя мы имеем дело с одномерным случаем, например с одиночной нитью. Экранирование Томаса – Ферми было применено к электронному газу, заключенному в нить накала и коаксиальный цилиндр. Для нити K ₂ Pt(CN) ₄ Cl _0,32 ·2,6H ₂ 0 обнаружено, что потенциал в области между нитью и цилиндром изменяется как $e^{-k_{\rm {eff}}r}/r$ а его эффективная длина экранирования примерно в 10 раз больше, чем у металлической платины .

См. также

• Аномалия Кона
• Нестабильность Померанчука
• Фриделевские колебания

Ссылки

Общий

• Хауг, Хартмут; В. Кох, Стефан (2004). Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников (4-е изд.) . World Scientific Publishing Co. Pte. ООО ISBN  978-981-238-609-0 .