Приближение случайной фазы

Пузырьковые диаграммы, которые при суммировании дают RPA. Сплошные линии обозначают взаимодействующие или невзаимодействующие функции Грина , пунктирные линии — двухчастичные взаимодействия.

Приближение случайной фазы ( RPA ) — метод аппроксимации в физике конденсированного состояния и ядерной физике . Впервые он был представлен Дэвидом Бомом и Дэвидом Пайнсом как важный результат в серии основополагающих статей 1952 и 1953 годов. На протяжении десятилетий физики пытались включить эффект микроскопических квантово-механических взаимодействий между электронами в теорию материи. RPA Бома и Пайнса учитывает слабое экранированное кулоновское взаимодействие и обычно используется для описания динамического линейного электронного отклика электронных систем. В дальнейшем оно было развито до релятивистской формы (RRPA) путем решения уравнения Дирака .

Предполагается, что в РПА электроны реагируют только на полный электрический потенциал V ( r ), который представляет собой сумму внешнего возмущающего потенциала V _ext ( r ) и экранирующего потенциала V _sc ( r ). Предполагается, что внешний возмущающий потенциал колеблется на одной частоте ω , так что модель допускает использование метода самосогласованного поля (SCF). динамическая диэлектрическая функция, обозначаемая ε _RPA ( k , ω ).

вклад в диэлектрическую функцию Предполагается, что от общего электрического потенциала усредняется , так что вклад вносит только потенциал волнового вектора k . Именно это подразумевается под приближением случайной фазы. Полученная диэлектрическая функция, также называемая диэлектрической функцией Линдхарда , правильно предсказывает ряд свойств электронного газа, в том числе плазмонов .

В конце 1950-х годов RPA подверглась критике за завышенный подсчет степеней свободы, а призыв к обоснованию привел к интенсивной работе среди физиков-теоретиков. В основополагающей статье Мюррей Гелл-Манн и Кейт Брюкнер показали, что RPA можно получить путем суммирования цепных диаграмм Фейнмана главного порядка в плотном электронном газе.

Последовательность этих результатов стала важным обоснованием и стимулировала очень сильный рост теоретической физики в конце 50-х и 60-х годах.

Приложения

Основное состояние взаимодействующей бозонной системы

Вакуум RPA $\left|\mathrm {RPA} \right\rangle$ для бозонной системы можно выразить через некоррелированный бозонный вакуум $\left|\mathrm {MFT} \right\rangle$ и оригинальные бозонные возбуждения $\mathbf {a} _{i}^{\dagger }$

$\left|\mathrm {RPA} \right\rangle ={\mathcal {N}}\mathbf {e} ^{Z_{ij}\mathbf {a} _{i}^{\dagger }\mathbf {a} _{j}^{\dagger }/2}\left|\mathrm {MFT} \right\rangle$

где Z — симметричная матрица с $|Z|\leq 1$ и

${\mathcal {N}}={\frac {\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {RPA} \right\rangle }{\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {MFT} \right\rangle }}$

Нормализацию можно рассчитать по формуле

$\langle \mathrm {RPA} |\mathrm {RPA} \rangle ={\mathcal {N}}^{2}\langle \mathrm {MFT} |\mathbf {e} ^{z_{i}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2}/2}\mathbf {e} ^{z_{j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2}/2}|\mathrm {MFT} \rangle =1$

где $Z_{ij}=(X^{\mathrm {t} })_{i}^{k}z_{k}X_{j}^{k}$ представляет собой по сингулярным значениям разложение $Z_{ij}$. ${\tilde {\mathbf {q} }}^{i}=(X^{\dagger })_{j}^{i}\mathbf {a} ^{j}$

${\mathcal {N}}^{-2}=\sum _{m_{i}}\sum _{n_{j}}{\frac {(z_{i}/2)^{m_{i}}(z_{j}/2)^{n_{j}}}{m!n!}}\langle \mathrm {MFT} |\prod _{i\,j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2m_{i}}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2n_{j}}|\mathrm {MFT} \rangle$

$=\prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i}/2)^{2m_{i}}{\frac {(2m_{i})!}{m_{i}!^{2}}}=$

$\prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i})^{2m_{i}}{1/2 \choose m_{i}}={\sqrt {\det(1-|Z|^{2})}}$

связь между новыми и старыми возбуждениями определяется соотношением

${\tilde {\mathbf {a} }}_{i}=\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}+\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}Z\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}^{\dagger }$.