Экранирование электрического поля

См. Также: Электромагнитное экранирование.

В физике , экранирование — это затухание электрических полей вызванное наличием подвижных носителей заряда . Это важная часть поведения жидкостей , несущих заряд , таких как ионизированные газы (классическая плазма ), электролиты и носители заряда в электронных проводниках ( полупроводники , металлы ).В жидкости с заданной диэлектрической проницаемостью ε , состоящей из электрически заряженных составляющих частиц, каждая пара частиц (с зарядами q ₁ и q ₂ ) взаимодействует посредством кулоновской силы как $$\mathbf {F} ={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {r} \right|^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},$$где вектор r — относительное положение между зарядами. Это взаимодействие усложняет теоретическое рассмотрение жидкости. Например, наивный квантово-механический расчет плотности энергии основного состояния дает бесконечность, что неразумно. Трудность заключается в том, что хотя сила Кулона убывает с расстоянием как 1/ r ² , среднее число частиц на каждом расстоянии r пропорционально r ² , предполагая, что жидкость достаточно изотропна . В результате флуктуация заряда в любой точке оказывает существенное влияние на большие расстояния.

В действительности эти дальнодействующие эффекты подавляются потоком частиц в ответ на электрические поля. Этот поток сводит эффективное взаимодействие между частицами к короткодействующему «экранированному» кулоновскому взаимодействию. Эта система соответствует простейшему примеру перенормированного взаимодействия.

В физике твердого тела , особенно для металлов и полупроводников , эффект экранирования описывает электростатическое поле и кулоновский потенциал иона внутри твердого тела. Подобно тому, как электрическое поле ядра уменьшается внутри атома или иона из-за эффекта экранирования , электрические поля ионов в проводящих твердых телах дополнительно уменьшаются облаком электронов проводимости .

Описание

Рассмотрим жидкость, состоящую из электронов, движущихся на однородном фоне положительного заряда (однокомпонентную плазму). Каждый электрон обладает отрицательным зарядом. Согласно кулоновскому взаимодействию отрицательные заряды отталкивают друг друга. Следовательно, этот электрон будет отталкивать другие электроны, создавая вокруг себя небольшую область, в которой меньше электронов. Эту область можно рассматривать как положительно заряженную «экранирующую дыру». Если смотреть с большого расстояния, это экранирующее отверстие создает эффект наложенного положительного заряда, который нейтрализует электрическое поле, создаваемое электроном. Только на коротких расстояниях, внутри дырочной области, можно обнаружить поле электрона. Для плазмы этот эффект может быть явно выражен с помощью $N$- расчет кузова. Если фон состоит из положительных ионов, их притяжение интересующим электроном усиливает описанный выше механизм экранирования. В атомной физике для атомов с более чем одной электронной оболочкой существует эффект экранирования . В физике плазмы экранирование электрического поля также называют дебаевским экранированием или экранированием. В макроскопических масштабах это проявляется в виде оболочки ( дебаевской оболочки ) рядом с материалом, с которым контактирует плазма.

Экранированный потенциал определяет межатомные силы и фононов закон дисперсии в металлах. Экранированный потенциал используется для расчета электронной зонной структуры большого количества материалов, часто в сочетании с псевдопотенциала моделями . Эффект экранирования приводит к приближению независимых электронов , которое объясняет предсказательную силу вводных моделей твердых тел, таких как модель Друде , модель свободных электронов и модель почти свободных электронов .

Теория и модели

Первое теоретическое исследование электростатического экранирования, авторство которого принадлежит Питеру Дебаю и Эриху Хюкелю . речь шла о стационарном точечном заряде, погруженном в жидкость.

Рассмотрим жидкость электронов на фоне тяжелых положительно заряженных ионов. Для простоты мы игнорируем движение и пространственное распределение ионов, аппроксимируя их однородным фоновым зарядом. Это упрощение допустимо, поскольку электроны легче и подвижнее ионов, если рассматривать расстояния, значительно большие, чем расстояние между ионами. В физике конденсированного состояния эта модель называется желе .

Экранированные кулоновские взаимодействия

Пусть ρ обозначает плотность числа электронов, а φ — электрический потенциал . Сначала электроны распределяются равномерно, так что суммарный заряд в каждой точке равен нулю. Следовательно, φ изначально также является константой.

Теперь мы введем фиксированный точечный заряд Q в начале координат. Соответствующая плотность заряда равна Qδ ( r ), где δ ( r ) — дельта-функция Дирака . После того как система вернулась в равновесие, пусть изменение электронной плотности и электрического потенциала составит Δ ρ ( r ) и Δ φ ( r ) соответственно. Плотность заряда и электрический потенциал связаны уравнением Пуассона , что дает $$-\nabla ^{2}[\Delta \phi (r)]={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}[Q\delta (r)-e\Delta \rho (r)],$$где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума .

Чтобы продолжить, мы должны найти второе независимое уравнение, связывающее Δρ и Δφ . Мы рассматриваем два возможных приближения, при которых две величины пропорциональны: приближение Дебая-Хюкеля, справедливое при высоких температурах (например, классическая плазма), и приближение Томаса-Ферми, справедливое при низких температурах (например, электроны в металлах).

Приближение Дебая – Хюккеля

Основная статья: теория Дебая – Хюккеля

В приближении Дебая–Хюккеля мы поддерживаем систему в термодинамическом равновесии при температуре T, достаточно высокой, чтобы частицы жидкости подчинялись статистике Максвелла – Больцмана . В каждой точке пространства плотность электронов с энергией j имеет вид $$\rho _{j}(r)=\rho _{j}^{(0)}(r)\;\exp \left[{\frac {e\phi (r)}{k_{\mathrm {B} }T}}\right]$$где k _B — постоянная Больцмана . Возмущая по φ и расширяя экспоненту до первого порядка, получаем $$e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi$$где $$k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {\rho e^{2}}{\varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}}$$

Соответствующая длина λ _D ≡ 1/ k ₀ называется длиной Дебая . Длина Дебая — это фундаментальный масштаб длины классической плазмы.

Приближение Томаса – Ферми

Основные статьи: скрининг Томаса – Ферми и теория Линдхарда

В приближении Томаса–Ферми названная в честь Ллевеллина Томаса и Энрико Ферми , система поддерживается при постоянном электронном химическом потенциале ( уровень Ферми ) и при низкой температуре. Первое условие в реальном эксперименте соответствует поддержанию электрического контакта металла/жидкости с фиксированной разностью потенциалов с землей . Химический потенциал μ — это, по определению, энергия добавления дополнительного электрона в жидкость. Эту энергию можно разложить на часть кинетической энергии T и часть потенциальной энергии − eφ . Поскольку химический потенциал остается постоянным, $$\Delta \mu =\Delta T-e\Delta \phi =0.$$

Если температура чрезвычайно низкая, поведение электронов приближается к квантовомеханической модели ферми-газа . Таким образом, мы аппроксимируем T кинетической энергией дополнительного электрона в модели ферми-газа, которая представляет собой просто Ферми EF _{энергию} . Энергия Ферми для трехмерной системы связана с плотностью электронов (включая спиновое вырождение) соотношением $$\rho =2{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\left({\frac {4}{3}}\pi k_{\mathrm {F} }^{3}\right),\quad E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}k_{F}^{2}}{2m}},$$где k _F — волновой вектор Ферми. Возвращаясь к первому порядку, мы находим, что $$\Delta \rho \simeq {\frac {3\rho }{2E_{\mathrm {F} }}}\Delta E_{\mathrm {F} }.$$

Подставив это в приведенное выше уравнение для Δ μ, получим $$e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi$$где $$k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {3e^{2}\rho }{2\varepsilon _{0}E_{\mathrm {F} }}}}={\sqrt {\frac {me^{2}k_{\mathrm {F} }}{\varepsilon _{0}\pi ^{2}\hbar ^{2}}}}$$называется волновым вектором экранирования Томаса–Ферми.

Этот результат следует из уравнений ферми-газа, который является моделью невзаимодействующих электронов, тогда как изучаемая нами жидкость содержит кулоновское взаимодействие. Следовательно, приближение Томаса – Ферми справедливо только тогда, когда плотность электронов мала, поэтому взаимодействия частиц относительно слабы.

Результат: проверенный потенциал

Наши результаты из приближения Дебая-Хюккеля или Томаса-Ферми теперь могут быть вставлены в уравнение Пуассона. Результат $$\left[\nabla ^{2}-k_{0}^{2}\right]\phi (r)=-{\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\delta (r),$$которое известно как экранированное уравнение Пуассона . Решение $$\phi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}e^{-k_{0}r},$$который называется экранированным кулоновским потенциалом. Это кулоновский потенциал, умноженный на экспоненциальный член затухания, причем сила фактора затухания определяется величиной k ₀ , волновым вектором Дебая или Томаса-Ферми. Заметим, что этот потенциал имеет ту же форму, что и потенциал Юкавы . Это экранирование дает диэлектрическую функцию $\varepsilon (r)=\varepsilon _{0}e^{k_{0}r}$.

Теория многих тел

Классическая физика и линейный отклик

Механический $N$-теловой подход позволяет одновременно получить эффект экранирования и затухания Ландау . Речь идет об одной реализации однокомпонентной плазмы, электроны которой имеют дисперсию скоростей (для тепловой плазмы должно быть много частиц в дебаевской сфере — объеме, радиус которого равен дебаевской длине). Используя линеаризованное движение электронов в их собственном электрическом поле, мы получаем уравнение вида $${\mathcal {E}}\Phi =S,$$

где ${\mathcal {E}}$ является линейным оператором, $S$ является исходным термином из-за частиц, и $\Phi$ – преобразование Фурье-Лапласа электростатического потенциала. При подстановке дискретной суммы по частицам в ${\mathcal {E}}$, человек получает $$\epsilon (\mathbf {k} ,\omega )\,\Phi (\mathbf {k} ,\omega )=S(\mathbf {k} ,\omega ),$$где $\epsilon (\mathbf {k} ,\omega )$ — диэлектрическая проницаемость плазмы, или диэлектрическая функция, классически получаемая с помощью линеаризованного уравнения Власова-Пуассона , $\mathbf {k}$ волновой вектор, $\omega$ это частота, и $S(\mathbf {k} ,\omega )$ это сумма $N$ исходные условия, обусловленные частицами.

Согласно обратному преобразованию Фурье-Лапласа, потенциал каждой частицы представляет собой сумму двух частей. Один соответствует возбуждению частицей ленгмюровских волн , а другой — ее экранированному потенциалу, классически полученному с помощью линеаризованного власовского расчета с участием пробной частицы. Экранированный потенциал представляет собой приведенный выше экранированный кулоновский потенциал для тепловой плазмы и тепловой частицы. Для более быстрой частицы потенциал изменяется. Подставив дискретную сумму по частицам в интеграл по гладкой функции распределения $S(\mathbf {k} ,\omega )$, дает выражение Власова, позволяющее рассчитать затухание Ландау.

Квантово-механический подход

В реальных металлах эффект экранирования более сложен, чем описанный выше в теории Томаса–Ферми. Предположение о том, что носители заряда (электроны) могут реагировать на любой волновой вектор, является лишь приближением. энергетически не может Однако электрон внутри или на поверхности Ферми реагировать на волновые векторы короче волнового вектора Ферми. Это ограничение связано с феноменом Гиббса , когда ряды Фурье для функций, быстро меняющихся в пространстве, не являются хорошим приближением, если в ряде не сохраняется очень большое количество членов. В физике это явление известно как колебания Фриделя и применимо как к поверхностному, так и к объемному экранированию. В каждом случае суммарное электрическое поле спадает в пространстве не экспоненциально, а скорее по обратному степенному закону, умноженному на колебательный член. Теоретические расчеты можно получить из квантовой гидродинамики и теории функционала плотности (DFT).

См. также

• Длина Бьеррума
• Длина Дебая

Внешние ссылки

• Фицпатрик, Ричард (31 марта 2011 г.). «Дебай Шилдинг» . Техасский университет в Остине . Проверено 12 июля 2018 г.