Уравнение Томаса – Ферми

Численные решения уравнения Томаса–Ферми

В математике уравнение Томаса-Ферми для нейтрального атома представляет собой нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка , названное в честь Ллевеллина Томаса и Энрико Ферми . который можно получить, применив к атомам модель Томаса – Ферми . Уравнение гласит

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {x}}}y^{3/2}$

с учетом граничных условий

$y(0)=1,\quad \quad {\begin{cases}y(\infty )=0\quad {\text{for neutral atoms}}\\y(x_{0})=0\quad {\text{for positive ions}}\\y(x_{1})-x_{1}y'(x_{1})=0\quad {\text{for compressed neutral atoms}}\end{cases}}$

Если $y$ приближается к нулю, так как $x$ становится большим, это уравнение моделирует распределение заряда нейтрального атома как функцию радиуса $x$. Решения, где $y$ становится нулевым при конечном $x$ моделировать положительные ионы. Для решений, где $y$ становится большим и положительным, поскольку $x$ становится большой, ее можно интерпретировать как модель сжатого атома, где заряд втиснут в меньшее пространство. В этом случае атом заканчивается на значении $x$ для чего $dy/dx=y/x$.

Преобразования

Представляем трансформацию $z=y/x$ преобразует уравнение в

${\frac {1}{x^{2}}}{\frac {d}{dx}}\left(x^{2}{\frac {dz}{dx}}\right)-z^{3/2}=0$

Это уравнение аналогично уравнению Лейна–Эмдена с индексом политропы. $3/2$ кроме разницы знаков. Исходное уравнение инвариантно относительно преобразования $x\rightarrow cx,\ y\rightarrow c^{-3}y$. Следовательно, уравнение можно сделать равномерным, введя $y=x^{-3}u$ в уравнение, что приводит к

$x^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-6x{\frac {du}{dx}}+12u=u^{3/2}$

так что замена $x=e^{t}$ сводит уравнение к

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-7{\frac {du}{dt}}+12u=u^{3/2}.$

Лечение $w=du/dt$ в качестве зависимой переменной и $u$ в качестве независимой переменной мы можем свести приведенное выше уравнение к

$w{\frac {dw}{du}}-7w=u^{3/2}-12u.$

Но это уравнение первого порядка не имеет известного явного решения, поэтому подход обращается либо к численным, либо к приближенным методам.

Приближение Зоммерфельда

Уравнение имеет частное решение $y_{p}(x)$, что удовлетворяет граничному условию, что $y\rightarrow 0$ как $x\rightarrow \infty$, а не граничное условие y (0)=1. Это конкретное решение

$y_{p}(x)={\frac {144}{x^{3}}}.$

Арнольд Зоммерфельд использовал это конкретное решение и в 1932 году предоставил приближенное решение, которое может удовлетворять другому граничному условию. Если преобразование $x=1/t,\ w=yt$ вводится, уравнение принимает вид

$t^{4}{\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}=w^{3/2},\quad w(0)=0,\ w(\infty )\sim t.$

Тогда частное решение в преобразованной переменной будет $w_{p}(t)=144t^{4}$. Поэтому предполагается решение вида $w=w_{p}(1+\alpha t^{\lambda })$ и если это подставить в приведенное выше уравнение и коэффициенты $\alpha$ приравниваются, получается значение для $\lambda$, который задается корнями уравнения $\lambda ^{2}+7\lambda -6=0$. Два корня $\lambda _{1}=0.772,\ \lambda _{2}=-7.772$, где нам нужно взять положительный корень, чтобы избежать сингулярности в начале координат. Это решение уже удовлетворяет первому граничному условию ( $w(0)=0$), поэтому, чтобы удовлетворить второму граничному условию, с той же точностью пишут для произвольного $n$

$W=w_{p}(1+\beta t^{\lambda })^{n}=[144t^{3}(1+\beta t^{\lambda })^{n}]t.$

Второе граничное условие будет выполнено, если $144t^{3}(1+\beta t^{\lambda })^{n}=144t^{3}\beta ^{n}t^{\lambda n}(1+\beta ^{-1}t^{-\lambda })^{n}\sim 1$ как $t\rightarrow \infty$. Это условие выполняется, если $\lambda n+3=0,\ 144\beta ^{n}=1$ и поскольку $\lambda _{1}\lambda _{2}=-6$, Зоммерфельд нашел приближение как $\lambda =\lambda _{1},\ n=-3/\lambda _{1}=\lambda _{2}/2$. Следовательно, приближенное решение

$y(x)=y_{p}(x)\{1+[y_{p}(x)]^{\lambda _{1}/3}\}^{\lambda _{2}/2}.$

Это решение точно предсказывает правильное решение для больших $x$, но по-прежнему терпит неудачу вблизи начала координат.

Решение вблизи начала координат

Энрико Ферми предоставил решение для $x\ll 1$ и позже расширен Эдвардом Б. Бейкером. Следовательно, для $x\ll 1$,

${\begin{aligned}y(x)={}&1-Bx+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {2B}{15}}x^{4}+\cdots {}\\[6pt]&\cdots +x^{3/2}\left[{\frac {4}{3}}-{\frac {2B}{5}}x+{\frac {3B^{2}}{70}}x^{2}+\left({\frac {2}{27}}+{\frac {B^{3}}{252}}\right)x^{3}+\cdots \right]\end{aligned}}$

где $B\approx 1.588071$.

Об этом сообщил Сальваторе Эспозито. что итальянский физик Этторе Майорана нашел в 1928 году полуаналитическое рядное решение уравнения Томаса – Ферми для нейтрального атома, которое, однако, оставалось неопубликованным до 2001 года. Используя этот подход, можно вычислить константу B упомянутую выше до практически сколь угодно высокого значения. точность; например, его значение до 100 цифр равно $B=1.588071022611375312718684509423950109452746621674825616765677418166551961154309262332033970138428665$.