Уравнение Бине

Уравнение Бине , выведенное Жаком Филиппом Мари Бине , обеспечивает форму центральной силы, заданную формой орбитального движения в плоских полярных координатах . Уравнение также можно использовать для получения формы орбиты для данного закона силы, но обычно это включает в себя решение нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка . Единственное решение невозможно в случае кругового движения вокруг центра силы.

Уравнение

Форму орбиты часто удобно описывать через относительное расстояние. $r$ как функция угла $\theta$ . Вместо этого для уравнения Бине форма орбиты более кратко описывается обратной величиной $u=1/r$ как функция $\theta$ . Определим удельный угловой момент как $h=L/m$ где $L$ - угловой момент и $m$ это масса. Уравнение Бине, полученное в следующем разделе, дает силу через функцию $u(\theta )$ : $F(u^{-1})=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right).$

Вывод

Второй закон Ньютона для чисто центральной силы: $F(r)=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right).$

Сохранение углового момента требует, чтобы $r^{2}{\dot {\theta }}=h={\text{constant}}.$

Производные $r$ по времени можно переписать как производные от $u=1/r$ по углу: ${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\&{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{h}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {r}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\end{aligned}}$

Объединив все вышесказанное, мы приходим к $F=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right)=-m\left(h^{2}u^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)$

Общее решение ^[1] $\theta =\int _{r_{0}}^{r}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}(E-V)-{\frac {1}{r^{2}}}}}}}+\theta _{0}$ где $(r_{0},\theta _{0})$ – начальная координата частицы.

Примеры

проблема Кеплера

Классический

Традиционную задачу Кеплера о вычислении орбиты закона обратных квадратов можно считать из уравнения Бине как решение дифференциального уравнения $-ku^{2}=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)$ ${\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {k}{mh^{2}}}\equiv {\text{constant}}>0.$

Если угол $\theta$ измеряется от перицентра , то общее решение для орбиты, выраженное в (обратных) полярных координатах, равно $lu=1+\varepsilon \cos \theta .$

Приведенное выше полярное уравнение описывает конические сечения с $l$ полурасширенная прямая кишка (равная $h^{2}/\mu =h^{2}m/k$ ) и $\varepsilon$ орбиты эксцентриситет .

релятивистский

Релятивистское уравнение, полученное для координат Шварцшильда, имеет вид ^[2] ${\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}$ где $c$ это скорость света и $r_{s}$ — радиус Шварцшильда . А для метрики Рейсснера–Нордстрема получим ${\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}-{\frac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left({\frac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)$ где $Q$ электрический заряд и $\varepsilon _{0}$ - диэлектрическая проницаемость вакуума .

Обратная задача Кеплера

Рассмотрим обратную задачу Кеплера. Какой закон силы создает некруговую эллиптическую орбиту (или, в более общем смысле, некруглое коническое сечение ) вокруг фокуса эллипса ?

Дифференцирование дважды приведенного выше полярного уравнения для эллипса дает $l\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-\varepsilon \cos \theta .$

Таким образом, закон силы $F=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {-\varepsilon \cos \theta }{l}}+{\frac {1+\varepsilon \cos \theta }{l}}\right)=-{\frac {mh^{2}u^{2}}{l}}=-{\frac {mh^{2}}{lr^{2}}},$ что и есть ожидаемый закон обратных квадратов. Соответствие орбитальному $h^{2}/l=\mu$ к физическим значениям, таким как $GM$ или $k_{e}q_{1}q_{2}/m$ воспроизводит закон всемирного тяготения Ньютона или закон Кулона соответственно.

Эффективная сила для координат Шварцшильда равна ^[3] $F=-GMmu^{2}\left(1+3\left({\frac {hu}{c}}\right)^{2}\right)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+3\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right).$ где второй член представляет собой силу обратной четвертой степени, соответствующую квадрупольным эффектам, таким как угловой сдвиг перицентра ( его также можно получить с помощью запаздывающих потенциалов ^[4]).

В параметризованном постньютоновском формализме получим $F=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+(2+2\gamma -\beta )\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right).$ где $\gamma =\beta =1$ для общей теории относительности и $\gamma =\beta =0$ в классическом случае.

Спирали Кота

Закон силы обратного куба имеет вид $F(r)=-{\frac {k}{r^{3}}}.$

Формы орбит закона обратных кубов известны как спирали Котса . Уравнение Бине показывает, что орбиты должны быть решениями уравнения ${\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {ku}{mh^{2}}}=Cu.$

Дифференциальное уравнение имеет три вида решений по аналогии с различными коническими сечениями задачи Кеплера. Когда $C<1$ , решением является эписпираль , включая патологический случай прямой линии, когда $C=0$ . Когда $C=1$ , решением является гиперболическая спираль . Когда $C>1$ Решение — спираль Пуансо .

Внеосевое круговое движение

Хотя уравнение Бине не может дать уникальный закон силы для кругового движения вокруг центра силы, уравнение может дать закон силы, когда центр круга и центр силы не совпадают. Рассмотрим, например, круговую орбиту, проходящую прямо через центр силы. (Обратное) полярное уравнение для такой круговой орбиты диаметром $D$ является $D\,u(\theta )=\sec \theta .$

Дифференциация $u$ дважды и использование тождества Пифагора дает $D\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=\sec \theta \tan ^{2}\theta +\sec ^{3}\theta =\sec \theta (\sec ^{2}\theta -1)+\sec ^{3}\theta =2D^{3}u^{3}-D\,u.$

Таким образом, закон силы $F=-mh^{2}u^{2}\left(2D^{2}u^{3}-u+u\right)=-2mh^{2}D^{2}u^{5}=-{\frac {2mh^{2}D^{2}}{r^{5}}}.$

Заметим, что решение общей обратной задачи, т.е. построение орбит притягивающего $1/r^{5}$ закона силы, представляет собой значительно более сложную задачу, поскольку она эквивалентна решению ${\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=Cu^{3}$

которое представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка.

См. также

Ссылки

^ Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика . Ридинг, Массачусетс: Паб Addison-Wesley. компании ISBN 0-201-02918-9 . OCLC 5675073 .
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 19 июня 2010 г. Проверено 15 ноября 2010 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
^ http://chaos.swarthmore.edu/courses/PDG07/AJP/AJP000352.pdf - Орбитальное уравнение первого порядка.
^ Бехера, Харихар; Наик, ПК (2003). «Плоское релятивистское объяснение движения перигелия Меркурия». arXiv : astro-ph/0306611 .

[1] Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика . Ридинг, Массачусетс: Паб Addison-Wesley. компании ISBN 0-201-02918-9 . OCLC 5675073 .

[2] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 19 июня 2010 г. Проверено 15 ноября 2010 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[3] ttp://chaos.swarthmore.edu/courses/PDG07/AJP/AJP000352.pdf - Орбитальное уравнение первого порядка.

[4] Бехера, Харихар; Наик, ПК (2003). «Плоское релятивистское объяснение движения перигелия Меркурия». arXiv : astro-ph/0306611 .

[1]

[2]

[3]

[4]