Баранья смена

Тонкая структура энергетических уровней в водороде – релятивистские поправки к модели Бора

В физике лэмбовский сдвиг , названный в честь Уиллиса Лэмба , относится к аномальной разнице в энергии между двумя электронными орбиталями в атоме водорода. Разница не была предсказана теорией, и ее нельзя вывести из уравнения Дирака , которое предсказывает идентичные энергии. Следовательно, лэмбовский сдвиг относится к отклонению от теории, проявляющемуся в различных энергиях, содержащихся в ² S _1/2 и ² P _1/2 орбитали атома водорода .

Лэмбовский сдвиг вызван взаимодействиями между виртуальными фотонами, созданными в результате флуктуаций энергии вакуума , и электроном, когда он движется вокруг ядра водорода на каждой из этих двух орбиталей. С тех пор лэмбовский сдвиг через флуктуации энергии вакуума сыграл значительную роль в теоретическом предсказании излучения Хокинга от черных дыр .

Этот эффект был впервые измерен в 1947 году в эксперименте Лэмба – Ретерфорда по микроволновому спектру водорода. и это измерение послужило стимулом для теории перенормировки, позволяющей справиться с расхождениями. Это был предвестник современной квантовой электродинамики, разработанной Джулианом Швингером , Ричардом Фейнманом , Эрнстом Штюкельбергом , Син-Итиро Томонагой и Фрименом Дайсоном . Лэмб получил Нобелевскую премию по физике в 1955 году за открытия, связанные с лэмбовским сдвигом.

Важность

В 1978 году, в день 65-летия Лэмба, Фримен Дайсон обратился к нему со следующим обращением: «Те годы, когда лэмбовский сдвиг был центральной темой физики, были золотыми годами для всех физиков моего поколения. Вы были первыми, кто увидел, что этот крошечный сдвиг, столь неуловимый и трудноизмеримый, прояснит наши представления о частицах и полях».

Вывод

Этот эвристический вывод сдвига электродинамического уровня следует Теодора А. Велтона . подходу

Колебания электрических и магнитных полей, связанные с вакуумом КЭД, возмущают электрический потенциал атомного ядра . Это возмущение вызывает колебание положения электрона , что и объясняет сдвиг энергии. Разность потенциальной энергии определяется выражением

$\Delta V=V({\vec {r}}+\delta {\vec {r}})-V({\vec {r}})=\delta {\vec {r}}\cdot \nabla V({\vec {r}})+{\frac {1}{2}}(\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}V({\vec {r}})+\cdots$

Поскольку колебания изотропны ,

$\langle \delta {\vec {r}}\rangle _{\rm {vac}}=0,$

$\langle (\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}\rangle _{\rm {vac}}={\frac {1}{3}}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\nabla ^{2}.$

Таким образом, можно получить

$\langle \Delta V\rangle ={\frac {1}{6}}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}.$

Классическое уравнение движения для смещения электрона ( δr ) _{k → ,} индуцированного одной модой поля волнового вектора k → и частоты ν, имеет вид

$m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\delta r)_{\vec {k}}=-eE_{\vec {k}},$

и это справедливо только тогда, когда частота ν больше, чем ν ₀ на орбите Бора, $\nu >\pi c/a_{0}$. Электрон не способен реагировать на флуктуирующее поле, если флуктуации меньше собственной орбитальной частоты в атоме.

Для поля, колеблющегося в точке ν ,

$\delta r(t)\cong \delta r(0)(e^{-i\nu t}+e^{i\nu t}),$

поэтому

$(\delta r)_{\vec {k}}\cong {\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}E_{\vec {k}}={\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}{\mathcal {E}}_{\vec {k}}\left(a_{\vec {k}}e^{-i\nu t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+h.c.\right)\qquad {\text{with}}\qquad {\mathcal {E}}_{\vec {k}}=\left({\frac {\hbar ck/2}{\epsilon _{0}\Omega }}\right)^{1/2},$

где $\Omega$ – некоторый большой нормировочный объем (объем гипотетической «коробки», содержащей атом водорода), и $h.c.$ обозначает эрмитово сопряжение предыдущего члена. По суммированию по всем ${\vec {k}},$

${\begin{aligned}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}&=\sum _{\vec {k}}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left\langle 0\left|(E_{\vec {k}})^{2}\right|0\right\rangle \\&=\sum _{\vec {k}}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\hbar ck}{2\epsilon _{0}\Omega }}\right)\\&=2{\frac {\Omega }{(2\pi )^{3}}}4\pi \int dkk^{2}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\hbar ck}{2\epsilon _{0}\Omega }}\right)&&{\text{since continuity of }}{\vec {k}}{\text{ implies }}\sum _{\vec {k}}\to 2{\frac {\Omega }{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}k\\&={\frac {1}{2\epsilon _{0}\pi ^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\int {\frac {dk}{k}}\end{aligned}}$

Этот результат расходится при отсутствии ограничений на интеграл (как на больших, так и на малых частотах). Как упоминалось выше, ожидается, что этот метод будет действителен только тогда, когда $\nu >\pi c/a_{0}$или эквивалентно $k>\pi /a_{0}$. Это также справедливо только для длин волн, длиннее комптоновской длины волны или, что то же самое, $k<mc/\hbar$. Следовательно, можно выбрать верхний и нижний предел интеграла, и эти пределы приводят к сходимости результата.

$\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\cong {\frac {1}{2\epsilon _{0}\pi ^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\ln {\frac {4\epsilon _{0}\hbar c}{e^{2}}}$.

Для атомной орбитали и потенциала кулоновского

$\left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d{\vec {r}}\psi ^{*}({\vec {r}})\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)\psi ({\vec {r}})={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi (0)|^{2},$

поскольку известно, что

$\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)=-4\pi \delta ({\vec {r}}).$

Для p- орбиталей нерелятивистская волновая функция исчезает в начале координат (в ядре), поэтому энергетический сдвиг отсутствует. Но для s- орбиталей в начале координат имеется некоторое конечное значение:

$\psi _{2S}(0)={\frac {1}{(8\pi a_{0}^{3})^{1/2}}},$

где Бора радиус

$a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}.$

Поэтому,

$\left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi _{2S}(0)|^{2}={\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}a_{0}^{3}}}$.

Наконец, разность потенциальной энергии будет равна:

$\langle \Delta V\rangle ={\frac {4}{3}}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}{\frac {1}{8\pi a_{0}^{3}}}\ln {\frac {4\epsilon _{0}\hbar c}{e^{2}}}=\alpha ^{5}mc^{2}{\frac {1}{6\pi }}\ln {\frac {1}{\pi \alpha }},$

где $\alpha$ – константа тонкой структуры . Этот сдвиг составляет около 500 МГц, что на порядок превышает наблюдаемый сдвиг в 1057 МГц. Это соответствует энергии всего 7,00 х 10^-25 Дж, или 4,37 х 10^-6 эВ.

Эвристический вывод Велтона о лэмбовском сдвиге похож на вычисление члена Дарвина с использованием Zitterbewegung , но отличается от него, вклада в тонкую структуру , который имеет более низкий порядок в $\alpha$ чем лэмбовский сдвиг.

-

В 1947 году Уиллис Лэмб и Роберт Ретерфорд провели эксперимент, используя микроволновые методы для стимуляции радиочастотных переходов между ² S _1/2 и ² P _1/2 уровня водорода. При использовании более низких частот, чем для оптических переходов, доплеровским уширением можно было пренебречь (доплеровское уширение пропорционально частоте). Разница в энергии, которую обнаружили Лэмб и Ретерфорд, составляла примерно 1000 МГц (0,03 см ⁻¹ ) принадлежащий ² S _1/2 уровня выше ² Р _1/2 уровня.

Эта конкретная разница представляет собой одноконтурный эффект квантовой электродинамики и может быть интерпретирована как влияние виртуальных фотонов , которые были испущены и повторно поглощены атомом. В квантовой электродинамике электромагнитное поле квантовано, и, как и у гармонического осциллятора в квантовой механике , его самое низкое состояние не равно нулю. Таким образом, существуют небольшие нулевые колебания, которые заставляют электрон совершать быстрые колебательные движения. Электрон «размазывается», и каждое значение радиуса меняется с r на r + δr (небольшое, но конечное возмущение).

Таким образом, кулоновский потенциал немного возмущается, и вырождение двух энергетических уровней снимается. Новый потенциал можно аппроксимировать (используя атомные единицы ) следующим образом:

$\langle E_{\mathrm {pot} }\rangle =-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left\langle {\frac {1}{r+\delta r}}\right\rangle .$

Сам лэмбовский сдвиг определяется выражением

$\Delta E_{\mathrm {Lamb} }=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {k(n,0)}{4n^{3}}}\ \mathrm {for} \ \ell =0\,$

с k ( n , 0) около 13, слегка меняющимся в зависимости от n , и

$\Delta E_{\mathrm {Lamb} }=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {1}{4n^{3}}}\left[k(n,\ell )\pm {\frac {1}{\pi (j+{\frac {1}{2}})(\ell +{\frac {1}{2}})}}\right]\ \mathrm {for} \ \ell \neq 0\ \mathrm {and} \ j=\ell \pm {\frac {1}{2}},$

с log( k ( n , ℓ)) небольшим числом (приблизительно -0,05), что делает k ( n , ℓ) близким к единице.

Вывод Δ E _Lamb см., например:

В спектре водорода

Основная статья: Серия Лаймана

В 1947 году Ганс Бете первым объяснил лэмбовский сдвиг в спектре водорода и тем самым заложил основу современного развития квантовой электродинамики . Бете смог получить лэмбовский сдвиг, реализовав идею перенормировки массы, которая позволила ему рассчитать наблюдаемый энергетический сдвиг как разницу между сдвигом связанного электрона и сдвигом свободного электрона. Лэмбовский сдвиг в настоящее время обеспечивает измерение постоянной тонкой структуры α с точностью более одной миллионной, что позволяет проводить прецизионные испытания квантовой электродинамики .

См. также

• Потенциал Юлинга , первое приближение к лэмбовскому сдвигу
• Конференция острова Шелтер
• Эффект Зеемана, используемый для измерения сдвига Лэмба

Дальнейшее чтение

• Смирнов, Борис М. (2003). Физика атомов и ионов . Спрингер. стр. 39–41. ISBN  0-387-95550-Х .
• Скалли, Миссури ; Зубайри, М.С. (1997). «§1.3 Лэмбс сдвиг» . Квантовая оптика . Издательство Кембриджского университета. стр. 13–16. ISBN  0-521-43595-1 .

Внешние ссылки

• Ганс Бете рассказывает о расчетах лэмбовского сдвига в Web of Stories
• Биография Нобелевской премии Уиллиса Лэмба
• Нобелевская лекция Уиллиса Лэмба: Тонкая структура атома водорода