4D N = 1 супергравитация

В суперсимметрии 4D ​ ${\mathcal {N}}=1$ Супергравитация — это теория супергравитации в четырёх измерениях с одним суперзарядом . Он содержит ровно один мультиплет супергравитации , состоящий из гравитона и гравитино , но также может иметь произвольное количество киральных и векторных супермультиплетов , причем суперсимметрия накладывает строгие ограничения на то, как они могут взаимодействовать. Теория в основном определяется тремя функциями: потенциалом Кэлера, суперпотенциалом и калибровочной кинетической матрицей. Многие из его свойств тесно связаны с геометрией скалярных полей в киральных мультиплетах. После того, как была впервые открыта простейшая форма этой супергравитации, теория, включающая только мультиплет супергравитации, в последующие годы были предприняты попытки объединить различные мультиплеты материи , причем общее действие было получено в 1982 году Эженом Креммером , Серджио Феррарой , Лучано Жирарделло и Антони Ван Пройен.

Эта теория играет важную роль во многих сценариях за пределами стандартной модели . Примечательно, что многие четырехмерные модели, полученные из теории струн, относятся к этому типу, причем суперсимметрия обеспечивает решающий контроль над процедурой компактификации . Отсутствие низкоэнергетической суперсимметрии в нашей Вселенной требует, чтобы суперсимметрия была нарушена в каком-то масштабе. Супергравитация предоставляет новые механизмы нарушения суперсимметрии , отсутствующие в глобальной суперсимметрии, такие как гравитационное посредничество. Еще одна полезная функция — наличие безмасштабных моделей, которые имеют многочисленные приложения в космологии .

История

Супергравитация была впервые обнаружена в 1976 году в форме чистого 4D. ${\mathcal {N}}=1$ супергравитация . Это была теория только гравитона и его суперпартнера гравитино. Первое расширение, позволяющее также объединить поля материи с теорией, было получено путем добавления полей Максвелла и Янга – Миллса . Добавить киральные мультиплеты оказалось сложнее, но первым шагом было успешное добавление одного безмассового кирального мультиплета в 1977 году. В следующем году это было расширено за счет добавления большего количества киральных мультиплетов в форме нелинейной сигма-модели . Все эти теории были построены с использованием итеративного метода Нётер, который не позволяет вывести более общие действия, связанные с материей, из-за его очень утомительного характера.

Развитие методов тензорного исчисления позволило более эффективно строить супергравитационные действия. Используя этот формализм, общий четырехмерный, связанный с материей ${\mathcal {N}}=1$ Действие супергравитации было построено в 1982 году Эженом Креммером, Серджио Феррарой, Лучано Жирарделло и Антони Ван Пройеном. Она также была получена Джонатаном Бэггером вскоре после использования методов суперпространства , причем эта работа подчеркнула важные геометрические особенности теории. Примерно в это же время были выявлены две другие особенности моделей. Это структура Кэлера – Ходжа, присутствующая в теории. а также наличие и важность безмасштабных моделей.

Обзор

Содержание частиц общего четырехмерного ${\mathcal {N}}=1$ супергравитация состоит из одного мультиплета супергравитации и произвольного числа киральных мультиплетов и калибровочных мультиплетов. Мультиплет супергравитации $(g_{\mu \nu },\psi _{\mu })$ содержит гравитон со спином 2, описывающий флуктуации метрики пространства-времени $g_{\mu \nu }$, вместе со вращением -3/2 Майорана гравитино $\psi _{\alpha \mu }$, где спинорный индекс $\alpha$ часто остается неявным. Киральные мультиплеты $(\phi ^{n},\chi ^{n})$, индексируется строчными латинскими индексами $n$, каждый состоит из скаляра $\phi ^{n}$ и его суперпартнер Майорана $\chi ^{n}$. Аналогично, калибровочные мультиплеты $(A_{\mu }^{I},\lambda ^{I})$ Янга – Миллса состоят из калибровочного поля $A_{\mu }^{I}$ и его суперпартнер Майорана Гаудино $\lambda ^{I}$, причем эти мультиплеты индексируются заглавными латинскими буквами $I$.

Одной из наиболее важных структур теории является скалярное многообразие , которое представляет собой многообразие полевого пространства, координаты которого являются скалярами. Глобальная суперсимметрия подразумевает, что это многообразие должно быть особым типом комплексного многообразия, известного как многообразие Кэлера . Локальная суперсимметрия супергравитации дополнительно ограничивает ее форму многообразием Кэлера – Ходжа.

Теория в основном описывается тремя произвольными функциями скалярных полей, первой из которых является потенциал Кэлера. $K(\phi ,{\bar {\phi }})$ фиксирующее метрику на скалярном многообразии. Второй — это суперпотенциал, который представляет собой произвольную голоморфную функцию $W(\phi )$ это фиксирует ряд аспектов действия, таких как F-термический потенциал скалярного поля, а также фермионные массовые члены и связи Юкавы . Наконец, существует калибровочная кинетическая матрица, компоненты которой являются голоморфными функциями $f_{IJ}(\phi )$ определение, среди прочего, калибровочного кинетического члена, тета-члена и потенциала D-терма .

Кроме того, супергравитация может быть измерена или нет. В некалиброванной супергравитации любые имеющиеся калибровочные преобразования могут действовать только на абелевы калибровочные поля. Между тем, калиброванную супергравитацию можно получить из некалиброванной, измерив некоторые из ее глобальных симметрий , что может привести к тому, что скаляры или фермионы также преобразуются при калибровочных преобразованиях и приведут к появлению неабелевых калибровочных полей. Помимо преобразований локальной суперсимметрии, локальных преобразований Лоренца и калибровочных преобразований, действие также должно быть инвариантным относительно преобразований Кэлера. $K(\phi ,{\bar {\phi }})\rightarrow K(\phi ,{\bar {\phi }})+f(\phi )+{\bar {f}}({\bar {\phi }})$, где $f(\phi )$ — произвольная голоморфная функция скалярных полей.

Строительство

Исторически первым подходом к построению теорий супергравитации был итеративный формализм Нётер, который использует глобально суперсимметричную теорию в качестве отправной точки. Затем его лагранжиан связан с чистой супергравитацией через член ${\mathcal {L}}\supset -\psi ^{\mu }j_{\mu }$ которая связывает гравитино со сверхтоком исходной теории, причем все также ковариантизировано Лоренцем, чтобы сделать ее справедливой в искривленном пространстве-времени . Эта теория-кандидат затем варьируется относительно преобразований локальной суперсимметрии, приводя к некоторой ненулевой части. Затем лагранжиан модифицируется путем добавления к нему новых членов, которые отменяют это изменение, за счет введения новых неисчезающих изменений. Для их отмены вводятся дополнительные члены, и процедура повторяется до тех пор, пока лагранжиан не станет полностью инвариантным.

Поскольку формализм Нётер оказался очень утомительным и неэффективным, были разработаны более эффективные методы строительства. Первым формализмом, который успешно построил общую четырехмерную теорию супергравитации, связанную с материей, был формализм тензорного исчисления . Другим ранним подходом был подход суперпространства, который обобщает понятие суперпространства до искривленного суперпространства, касательное пространство которого в каждой точке ведет себя как традиционное плоское суперпространство из глобальной суперсимметрии. Тогда общее инвариантное действие может быть построено в терминах суперполей, которые затем могут быть расширены в терминах составляющих полей, чтобы дать компонентную форму действия супергравитации.

Другой подход - это подход суперконформного тензорного исчисления, который использует конформную симметрию в качестве инструмента для построения действий супергравитации, которые сами по себе не обладают никакой конформной симметрией. Это делается путем сначала построения калибровочной теории с использованием суперконформной алгебры . Эта теория содержит дополнительные поля и симметрии, но их можно устранить с помощью ограничений или фиксации калибровки, чтобы получить супергравитацию Пуанкаре без конформной симметрии.

Идеи суперконформности и суперпространства также были объединены в ряд различных формулировок конформного суперпространства супергравитации. Прямым обобщением оригинального подхода к суперпространству на оболочке является формализм Гримма – Весса – Зумино, сформулированный в 1979 году. Существует также ${\text{U}}(1)$ суперпространственный формализм, предложенный Полом Хоу в 1981 году. Наконец, ${\mathcal {N}}=1$ Подход конформного суперпространства, сформулированный в 2010 году, обладает тем удобным свойством, что любая другая формулировка конформной супергравитации либо эквивалентна ему, либо иным образом может быть получена из частичной фиксации калибровки.

Симметрии

Скалярное многообразие и преобразования Кэлера

В супергравитации часто используется спинорная нотация Майораны, а не спинорная запись Вейля, поскольку четырехкомпонентную нотацию легче использовать в искривленном пространстве-времени. Спиноры Вейля можно получить как проекции спинора Майораны. $\chi$, причем левые и правые спиноры Вейля обозначаются $\chi _{L,R}=P_{L,R}\chi$.

Комплексные скаляры в киральных мультиплетах действуют как координаты на комплексном многообразии в смысле нелинейной сигма-модели, известной как скалярное многообразие . В суперсимметричных теориях на эти многообразия накладываются дополнительные геометрические ограничения, возникающие в результате преобразований суперсимметрии. В ${\mathcal {N}}=1$ в супергравитации это многообразие может быть компактным или некомпактным, а для ${\mathcal {N}}>1$ супергравитации обязательно некомпактна.

Глобальная суперсимметрия уже ограничивает многообразие кэлеровым многообразием. Это тип комплексного многообразия, которое, грубо говоря, представляет собой многообразия, локально выглядящие как $\mathbb {C} ^{n}$ и чьи отображения переходов являются голоморфными функциями. Комплексные многообразия также являются эрмитовыми многообразиями , если они допускают четко определенную метрику, единственными ненулевыми компонентами которой являются $g_{m{\bar {n}}}$ компоненты, где черта над индексом обозначает сопряженную координату $\phi ^{\bar {n}}\equiv {\bar {\phi }}^{n}$. В более общем смысле черта над скалярами обозначает комплексное сопряжение, а для спиноров — присоединенный спинор . Кэлерова многообразие — это эрмитово многообразие, которое допускает две формы, называемые кэлеровой формой.

$\Omega =ig_{m{\bar {n}}}d\phi ^{m}\wedge d\phi ^{\bar {n}},$

это закрыто $d\Omega =0$. Свойством этих многообразий является то, что их метрика может быть записана через производные скалярной функции. $g_{m{\bar {n}}}=\partial _{m}\partial _{\bar {n}}K$, где $K(\phi ,{\bar {\phi }})$ известен как потенциал Кэлера. Здесь $\partial _{n}$ обозначает производную по $\phi ^{n}$. Этот потенциал, соответствующий конкретной метрике, не уникален и может быть изменен добавлением вещественной части голоморфной функции. $h(\phi )$ в так называемых преобразованиях Кэлера

$K(\phi ,{\bar {\phi }})\rightarrow K(\phi ,{\bar {\phi }})+h(\phi )+{\bar {h}}({\bar {\phi }}).$

Поскольку это не меняет скалярное многообразие, суперсимметричные действия должны быть инвариантны относительно таких преобразований.

В то время как в глобальной суперсимметрии поля и суперпотенциал тривиально преобразуются при преобразованиях Кэлера, в супергравитации они заряжаются при преобразованиях Кэлера как

$W\rightarrow e^{-{\frac {h}{M_{P}^{2}}}}W,$

$\chi ^{m}\rightarrow e^{i{\frac {{\text{Im}}(h)}{2M_{P}^{2}}}\gamma _{5}}\chi ^{m},$

$\psi _{\mu },\epsilon ,\lambda ^{I}\rightarrow e^{-i{\frac {{\text{Im}}(h)}{2M_{P}^{2}}}\gamma _{5}}\psi _{\mu },\epsilon ,\lambda ^{I},$

где $\epsilon$ – параметр преобразования спинорной суперсимметрии Майораны. Эти правила преобразования накладывают дополнительные ограничения на геометрию скалярного многообразия. Поскольку суперпотенциал преобразуется с помощью префактора, это означает, что скалярное многообразие должно глобально допускать непротиворечивое линейное расслоение . Тем временем фермионы преобразуются в комплексную фазу , что означает, что скалярное многообразие также должно допускать ассоциированный ${\text{U}}(1)$ основной пакет . Нединамический связность, соответствующая этому основному расслоению, определяется выражением

$Q_{\mu }={\frac {i}{2}}{\bigg [}(\partial _{\bar {n}}K)\partial _{\mu }\phi ^{\bar {n}}-(\partial _{m}K)\partial _{\mu }\phi ^{m}-A_{\mu }^{I}(r_{I}-{\bar {r}}_{I}){\bigg ]},$

с этим удовлетворительным $dQ=\Omega$, где $\Omega$ есть кэлерова форма. Здесь $r_{I}$ — голоморфные функции, ассоциированные с калибровочным сектором, описанные ниже. Это условие означает, что скалярное многообразие в четырехмерном ${\mathcal {N}}=1$ супергравитация должна быть такого типа, который может допускать соединение, напряженность поля которого равна кэлерову форме. Такие многообразия известны как многообразия Кэлера–Ходжа . В терминах характеристических классов это условие переводится в требование, чтобы $c_{1}(L)=[{\mathcal {K}}]$ где $c_{1}(L)$ является первым классом Черна линейного расслоения, а $[{\mathcal {K}}]$ — когомологий класс кэлеровой формы.

Следствие наличия ассоциированного ${\text{U}}(1)$ Основное расслоение на многообразии Кэлера–Ходжа состоит в том, что его напряженность поля $\Omega =dQ$ должно быть квантовано на любой топологически нетривиальной двусфере скалярного многообразия, аналогично условию квантования Дирака для магнитных монополей . Это возникает из-за условия коцикла , которое представляет собой согласованность соединения между различными участками координат. Это может иметь различные последствия для конечной физики, например, для $S^{2}$ скалярное многообразие, это приводит к квантованию постоянной Ньютона .

Глобальные симметрии неизмеренной супергравитации

Глобальные симметрии в неизмеренной супергравитации делятся примерно на три класса; они являются подгруппами скалярного многообразия группы изометрии , они являются вращениями среди калибровочных полей или являются группой R-симметрии . Точная глобальная группа симметрии зависит от деталей теории, таких как конкретный суперпотенциал и калибровочная кинетическая функция, которые накладывают дополнительные ограничения на группу симметрии.

Глобальная группа симметрии супергравитации с $n_{v}$ абелевы векторные мультиплеты и $n_{c}$ киральные мультиплеты должны быть подгруппой $G_{\text{iso}}\times G_{v}\times U(1)_{R}$. Здесь $G_{\text{iso}}$ — группа изометрий скалярного многообразия, $G_{v}$ – набор симметрий, действующих только на векторные поля , и ${\text{U}}(1)_{R}$ является группой R-симметрии, причем она сохраняется как глобальная симметрия только в теориях с исчезающим суперпотенциалом. Когда калибровочная кинетическая матрица является функцией $n_{cv}\leq n_{c}$ скаляры, то группа изометрий распадается на $G_{\text{iso}}\rightarrow G_{{\text{iso}},c}\times G_{{\text{iso}},cv}$, где первая группа действует только на скаляры, оставляя векторы неизменными, а вторая одновременно преобразует и скаляры, и векторы. Эти одновременные преобразования не являются обычными симметриями действия, скорее, это преобразования двойственности, которые оставляют уравнения движения и тождество Бьянки неизменными, подобно двойственности Монтонена-Оливе .

Глобальные симметрии, действующие на скаляры, могут быть только подгруппами группы изометрий скалярного многообразия, поскольку преобразования должны сохранять скалярную метрику. Бесконечно-малые преобразования изометрии описываются векторами Киллинга. $\xi _{I}^{n}(\phi )$, которые являются векторами, удовлетворяющими уравнению Киллинга ${\mathcal {L}}_{\xi _{I}}g=0$, где ${\mathcal {L}}_{\xi _{I}}$ – производная Ли вдоль направления вектора Киллинга. Они действуют на скаляры как $\phi ^{n}\rightarrow \phi ^{n}+\alpha ^{I}\xi _{I}^{n}(\phi )$ и являются генераторами изометрий алгебры , удовлетворяющими структурному уравнению

$[\xi _{I},\xi _{J}]=f_{IJ}{}^{K}\xi _{K}.$

Поскольку скалярное многообразие является комплексным, векторы Киллинга, соответствующие симметриям этого многообразия, также должны сохранять комплексную структуру ${\mathcal {L}}_{\xi _{I}}J=0$, откуда следует, что они должны быть голоморфными $\xi _{I}^{\bar {m}}={\bar {\xi }}_{I}^{m}$. Следовательно, калибровочная группа должна быть подгруппой группы, образованной голоморфными векторами Киллинга , а не просто подгруппой группы изометрий. Для кэлерова многообразия из этого условия дополнительно следует, что существует набор голоморфных функций, известных как препотенциалы Киллинга. ${\mathcal {P}}_{I}$ которые удовлетворяют $i_{\xi _{I}}J=d{\mathcal {P}}_{I}$, где $i_{\xi _{I}}$ это интерьер продукт . Препотенциалы Киллинга можно явно записать через потенциал Кэлера.

${\mathcal {P}}_{J}={\frac {i}{2}}[\xi _{I}^{m}\partial _{m}K-\xi _{I}^{\bar {n}}\partial _{\bar {n}}K-(r_{I}-{\bar {r}}_{I})],$

где голоморфные функции $r_{I}(\phi )$ являются преобразованиями Кэлера, которые отменяют преобразование изометрии, определенное формулой

$\xi _{I}^{m}\partial _{m}K+\xi _{I}^{\bar {n}}\partial _{\bar {n}}K=r_{I}(\phi )+{\bar {r}}_{I}({\bar {\phi }}).$

Препотенциал также должен удовлетворять условию согласованности, известному как условие эквивариантности.

$\xi _{I}^{m}g_{m{\bar {n}}}\xi _{J}^{\bar {n}}-\xi _{J}^{m}g_{m{\bar {n}}}\xi _{I}^{\bar {n}}=if_{IJ}{}^{K}{\mathcal {P}}_{K},$

где $f_{IJ}{}^{K}$ являются структурными константами калибровочной алгебры.

Дополнительное ограничение на глобальные симметрии скаляров состоит в том, что суперпотенциал должен быть инвариантным с точностью до того же преобразования Кэлера. $r_{I}(\phi )$ что оставляет кэлеров потенциал инвариантным, что накладывает условие, что единственными допустимыми суперпотенциалами являются те, которые удовлетворяют

$\xi _{I}^{n}\partial _{n}W={\frac {r_{I}}{M_{P}^{2}}}W.$

Глобальные симметрии, включающие скаляры, присутствующие в калибровочной кинетической матрице, по-прежнему действуют на скалярные поля как преобразования изометрии, но теперь эти преобразования изменяют калибровочную кинетическую матрицу. Чтобы оставить теорию инвариантной относительно преобразования скалярной изометрии, требуется компенсирующее преобразование векторов. Эти векторные преобразования можно выразить как преобразования тензоров напряженности электрического поля $F_{I}^{\mu \nu }$ и их двойной магнитный аналог $G_{I}^{\mu \nu }$ определяется из уравнения движения

$\star G_{I}^{\mu \nu }=2{\frac {\delta S}{\delta F_{\mu \nu }^{I}}}.$

Запись напряженности поля и двойной напряженности поля в одном векторе позволяет записать наиболее общие преобразования в виде $\delta _{I}({\begin{smallmatrix}F\\G\end{smallmatrix}})=T_{I}({\begin{smallmatrix}F\\G\end{smallmatrix}})$ где генераторы этих преобразований имеют вид

$T_{I}={\begin{pmatrix}a_{I}{}^{J}{}_{K}&b_{I}{}^{JK}\\c_{IJK}&d_{IJ}{}^{K}\end{pmatrix}}.$

Требование неизменности уравнений движения и тождеств Бьянки ограничивает преобразования до подгруппы симплектической группы. ${\text{Sp}}(2n_{v},\mathbb {R} )$. Точные генераторы зависят от конкретной калибровочной кинетической матрицы, при этом они

$\xi _{I}^{n}\partial _{n}f_{JK}(\phi )=c_{IJK}+d_{IJ}{}^{M}f_{MK}-f_{JM}a_{I}{}^{M}{}_{K}+b_{I}{}^{MN}f_{JM}f_{KN}$

фиксируя коэффициенты, определяющие $T_{I}$. Преобразования, включающие $b_{I}\neq 0$, представляют собой непертурбативные симметрии, которые не оставляют действие инвариантным, поскольку они отображают напряженность электрического поля в напряженность магнитного поля. Скорее, это преобразования дуальности, которые являются лишь симметриями на уровне уравнений движения, связанных с электромагнитной дуальностью. При этом преобразования с $c_{I}\neq 0$ известны как обобщенные сдвиги Печчеи – Квинна и оставляют действие инвариантным только до полных производных. Глобальные симметрии, включающие только векторы $G_{v}$ представляют собой преобразования, которые отображают тензор напряженности поля в себя и обычно принадлежат ${\text{O}}(n_{v})\subset {\text{Sp}}(2n_{v},\mathbb {R} )$.

Калибровочная симметрия

В некалиброванной супергравитации калибровочная симметрия состоит только из абелевых преобразований калибровочных полей. $\delta A_{\mu }^{I}=\partial _{\mu }\alpha ^{I}(x)$, без измерения других полей.

Между тем, калиброванная супергравитация измеряет некоторые глобальные симметрии некалиброванной теории. Поскольку глобальные симметрии сильно ограничены деталями существующей теории, такими как скалярное многообразие, скалярный потенциал и калибровочная кинетическая матрица, доступные калибровочные группы также ограничены.

Калибровочная супергравитация инвариантна относительно калибровочных преобразований с калибровочным параметром $\alpha ^{I}(x)$ предоставлено

$\delta _{\alpha }\phi ^{n}=\alpha ^{I}(x)\xi _{I}^{n},$

$\delta _{\alpha }\chi ^{n}=\alpha ^{I}(x)\partial _{m}\xi _{I}^{n}\chi ^{m}+{\frac {1}{4M_{P}^{2}}}\alpha ^{I}(x)(r_{I}-{\bar {r}}_{I})\chi ^{n},$

$\delta _{\alpha }A_{\mu }^{I}=\partial _{\mu }\alpha ^{I}(x)+\alpha ^{J}(x)f_{KJ}{}^{I}A_{\mu }^{K},$

$\delta _{\alpha }\lambda ^{I}=\alpha ^{J}(x)f_{KJ}{}^{I}\lambda ^{K}-{\frac {1}{4M_{P}^{2}}}\alpha ^{J}(x)\gamma _{5}(r_{J}-{\bar {r}}_{J})\lambda ^{I},$

$\delta _{\alpha }\psi _{L\mu }=-{\frac {1}{4M_{P}^{2}}}\alpha ^{I}(x)(r_{I}-{\bar {r}}_{I})\psi _{L\mu }.$

Здесь $\xi _{I}^{n}$ являются генераторами калибровочной алгебры пока $r_{I}(\phi )$ определяются как компенсирующие кэлеровы преобразования, необходимые для восстановления кэлерова потенциала к его первоначальному виду после выполнения преобразований изометрии скалярного поля, при этом их мнимые компоненты фиксируются условием эквивариантности. Всякий раз, когда ${\text{U}}(1)$ подгруппа калибруется, как это происходит при калибровании R-симметрии, это не исправляет ${\text{Im}}(r_{I})$, причем эти термины затем называются терминами Файе – Илиопулоса .

Ковариантные производные

Супергравитация имеет ряд различных симметрий, каждая из которых требует своих собственных ковариантных производных . Стандартная ковариантная производная Лоренца в искривленном пространстве-времени обозначается через $D_{\mu }$, причем для скалярных полей это тривиально, а для фермионных полей можно записать с помощью спиновой связи $\omega _{\mu }^{ab}$ как

$D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\tfrac {1}{4}}\omega _{\mu }{}^{ab}\gamma _{ab}.$

Скаляры нетривиально преобразуются только при скалярных преобразованиях координат и калибровочных преобразованиях, поэтому их ковариантная производная определяется выражением

${\hat {\partial }}_{\mu }\phi ^{n}=\partial _{\mu }\phi ^{n}-A_{\mu }^{I}\xi _{I}^{n},$

где $\xi _{I}^{n}(\phi )$ — голоморфные векторы Киллинга, соответствующие калибровочной подгруппе изометрий скалярного многообразия. Шляпа над производной означает, что она ковариантна относительно калибровочных преобразований. Между тем, суперпотенциал нетривиально преобразуется только при преобразованиях Кэлера и поэтому имеет ковариантную производную, определяемую выражением

${\mathcal {D}}_{n}W=\partial _{n}W+{\frac {1}{M_{P}^{2}}}(\partial _{n}K)W,$

где $\partial _{n}$ является производной относительно $\phi ^{n}$.

Различные ковариантные производные, связанные с фермионами, зависят от того, в каких симметриях заряжены фермионы. Гравитино преобразуется как при преобразовании Лоренца, так и при преобразовании Кэлера, а гаудино дополнительно также преобразуется при калибровочных преобразованиях. Киралино преобразуется при всех этих изменениях, а также преобразуется в вектор при переопределении скалярного поля. Следовательно, их ковариантные производные имеют вид

${\mathcal {D}}_{\mu }\psi _{\nu }=D_{\mu }\psi _{\nu }+{\frac {i}{2M_{P}^{2}}}Q_{\mu }\gamma _{5}\psi _{\nu },$

${\hat {\mathcal {D}}}_{\mu }\lambda ^{I}=D_{\mu }\lambda ^{I}+A_{\mu }^{J}f_{JK}^{I}\lambda ^{K}+{\frac {i}{2M_{P}^{2}}}Q_{\mu }\gamma _{5}\lambda ^{I},$

${\hat {\mathcal {D}}}_{\mu }\chi _{L}^{m}=D_{\mu }\chi _{L}^{m}+({\hat {\partial }}_{\mu }\phi ^{n})\Gamma _{nl}^{m}\chi _{L}^{l}-A_{\mu }^{I}(\partial _{n}\xi _{I}^{m})\chi _{L}^{n}-{\frac {i}{2M_{P}^{2}}}Q_{\mu }\chi _{L}^{m}.$

Здесь $\Gamma _{nl}^{m}=g^{m{\bar {p}}}\partial _{n}g_{l{\bar {p}}}$ является символом Кристоффеля скалярного многообразия, а $f_{JK}{}^{I}$ являются структурными константами алгебры Ли, ассоциированной с калибровочной группой. Наконец, $Q_{\mu }$ это ${\text{U}}(1)$ связь на скалярном многообразии, ее явный вид задан в терминах кэлерова потенциала, описанного ранее.

R-симметрия

R-симметрия ${\mathcal {N}}=1$ супералгебры – это глобальная симметрия, действующая только на фермионы, преобразующая их фазовым

$\chi ^{m}\rightarrow e^{i\theta \gamma _{5}}\chi ^{m},\ \ \ \ \ \ \psi _{\mu },\lambda ^{I}\rightarrow e^{-i\theta \gamma _{5}}\psi _{\mu },\lambda ^{I}.$

Это идентично тому, как постоянное кэлерово преобразование действует на фермионы, отличаясь от таких преобразований только тем, что оно не приводит к дополнительному преобразованию суперпотенциала. Поскольку преобразования Кэлера обязательно являются симметриями супергравитации, R-симметрия является симметрией супергравитации только тогда, когда они совпадают, что происходит только при исчезающем суперпотенциале.

Всякий раз, когда R-симметрия является глобальной симметрией некалиброванной теории, ее можно оценить для построения калиброванной супергравитации, которая не обязательно требует калибровки каких-либо киральных скаляров. Простейшим примером такой супергравитации является калибровочная супергравитация Фридмана, которая имеет только один вектор, используемый для калибровки R-симметрии, и чье бозонное действие эквивалентно теории Эйнштейна-Максвелла-де Ситтера.

4D N = 1 супергравитационный лагранжиан

Лагранжиан для 4D ${\mathcal {N}}=1$ супергравитацию с произвольным числом киральных и векторных супермультиплетов можно разделить как

${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\text{kinetic}}+{\mathcal {L}}_{\text{theta}}+{\mathcal {L}}_{\text{mass}}+{\mathcal {L}}_{\text{interaction}}+{\mathcal {L}}_{\text{supercurrent}}+{\mathcal {L}}_{\text{potential}}+{\mathcal {L}}_{\text{4-fermion}}.$

Помимо того, что этот лагранжиан инвариантен относительно преобразований локальной суперсимметрии, он также является лоренц-инвариантом, калибровочным инвариантом и инвариантом преобразования Кэлера, причем ковариантные производные являются ковариантными относительно них. Тремя основными функциями, определяющими структуру лагранжиана, являются суперпотенциал, потенциал Кэлера и калибровочная кинетическая матрица.

Кинетические и тета-члены

Первый член лагранжиана состоит из всех кинетических членов полей

$e^{-1}{\mathcal {L}}_{\text{kinetic}}={\frac {M_{P}^{2}}{2}}R-{\frac {M_{P}^{2}}{2}}{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }{\mathcal {D}}_{\nu }\psi _{\rho }$

$-g_{m{\bar {n}}}[({\hat {\partial }}_{\mu }\phi ^{m})({\hat {\partial }}^{\mu }\phi ^{\bar {n}})+{\bar {\chi }}_{L}^{m}{\hat {{\mathcal {D}}\!\!\!/}}\chi _{R}^{n}+{\bar {\chi }}_{R}^{\bar {n}}{\hat {{\mathcal {D}}\!\!\!/}}\chi _{L}^{m}]$

$+{\text{Re}}(f_{IJ}){\bigg [}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{I}F^{\mu \nu J}-{\frac {1}{2}}{\bar {\lambda }}^{I}{\hat {{\mathcal {D}}\!\!\!/}}\lambda ^{J}{\bigg ]}.$

Первая линия — это кинетическое действие мультиплета супергравитации, состоящее из действия Эйнштейна–Гильберта и ковариантизированного действия Рариты–Швингера ; эта линия является ковариантным обобщением действия чистой супергравитации. Формализм, используемый для описания гравитации , — это формализм Вильбейна , где $e_{a}^{\mu }$ это много ног, а $\omega _{ab}^{\mu }$ является спин-связностью. Кроме того, $e=\det e_{\mu }^{a}={\sqrt {-g}}$ и $M_{P}$ — четырехмерная планковская масса .

Вторая строка состоит из кинетических членов для киральных мультиплетов, общая форма которых определяется метрикой скалярного многообразия, которая сама полностью фиксируется потенциалом Кэлера. $g_{m{\bar {n}}}=\partial _{m}\partial _{\bar {n}}K$. В третьей строке записаны кинетические члены для калибровочных мультиплетов, поведение которых фиксируется действительной частью калибровочной кинетической матрицы. Голоморфная калибровочная кинетическая матрица $f_{IJ}(\phi )$ должен иметь положительно определенную действительную часть, чтобы иметь кинетические члены с правильным знаком. Косая черта на ковариантных производных соответствует обозначению косой черты Фейнмана. $\partial \!\!\!/=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$, пока $F_{\mu \nu }^{I}$ – напряженности калибровочных полей $A_{\mu }^{I}$.

В калибровочном секторе также вводится тэта-подобный термин

$e^{-1}{\mathcal {L}}_{\text{theta}}={\frac {1}{8}}{\text{Im}}(f_{IJ}){\bigg [}F_{\mu \nu }^{I}F_{\rho \sigma }^{J}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }-2i{\hat {\mathcal {D}}}_{\mu }(e{\bar {\lambda }}^{I}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\lambda ^{J}){\bigg ]},$

причем это полная производная , если мнимая часть калибровочной кинетической матрицы является константой, и в этом случае она не вносит вклад в классические уравнения движения.

Условия массы и взаимодействия

Действие супергравитации имеет набор массоподобных билинейных членов для фермионов, определяемых формулами

$e^{-1}{\mathcal {L}}_{\text{mass}}={\frac {1}{2M_{P}^{2}}}e^{K/2M_{P}^{2}}W{\bar {\psi }}_{\mu R}\gamma ^{\mu \nu }\psi _{\nu R}$

$+{\frac {1}{4}}e^{K/2M_{P}^{2}}({\mathcal {D}}_{m}W)g^{m{\bar {n}}}\partial _{\bar {n}}{\bar {f}}_{IJ}{\bar {\lambda }}_{R}^{I}\lambda _{R}^{J}-{\frac {1}{2}}e^{K/2M_{P}^{2}}({\mathcal {D}}_{m}{\mathcal {D}}_{n}W){\bar {\chi }}_{L}^{\bar {m}}\chi _{L}^{n}$

$+{\frac {i{\sqrt {2}}}{4}}D^{I}\partial _{m}f_{IJ}{\bar {\chi }}_{L}^{m}\lambda ^{J}-{\sqrt {2}}\xi _{I}^{\bar {n}}g_{m{\bar {n}}}{\bar {\lambda }}^{I}\chi _{L}^{m}+h.c..$

D-термины $D^{I}$ определяются как

$D^{I}=({\text{Re}}\ f)^{-1IJ}{\mathcal {P}}_{J},$

где ${\mathcal {P}}_{J}$ – голоморфные препотенциалы Киллинга и $W(\phi )$ – голоморфный суперпотенциал . Первая строка в лагранжиане представляет собой массоподобный член для гравитино, а остальные две линии представляют собой массовые члены для хиралини и глюини, а также члены билинейного смешивания для них. Эти члены определяют массы фермионов, поскольку вычисление лагранжиана в вакуумном состоянии с постоянными скалярными полями сводит лагранжиан к набору фермионных билинейных чисел с числовыми префакторами. Это можно записать в виде матрицы , где собственными значениями этой матрицы масс являются массы фермионов в массовом базисе. массы Собственные состояния , как правило, представляют собой линейные комбинации фермионов киралини и гауджини.

Следующий член в лагранжиане является супергравитационным обобщением аналогичного члена, найденного в соответствующем глобально суперсимметричном действии, которое описывает смешивание между калибровочным бозоном , киралино и гаудино. В лагранжиане супергравитации оно определяется выражением

$e^{-1}{\mathcal {L}}_{\text{interaction}}=-{\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}\partial _{m}f_{IJ}F_{\mu \nu }^{I}{\bar {\chi }}_{L}^{m}\gamma ^{\mu \nu }\lambda _{L}^{J}+h.c..$

Условия супертока

Члены сверхтока описывают связь гравитино с обобщениями кирального и калибровочного супертоков из глобальной суперсимметрии как

$e^{-1}{\mathcal {L}}_{\text{supercurrent}}=-(J_{\text{chiral}}^{\mu }\psi _{\mu L}+h.c.)-J_{\text{gauge}}^{\mu }\psi _{\mu },$

где

$J_{\text{chiral}}^{\mu }=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}g_{m{\bar {n}}}{\bar {\chi }}_{L}^{m}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }{\hat {\partial }}_{\nu }\phi ^{\bar {n}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bar {\chi }}_{R}^{\bar {n}}\gamma ^{\mu }e^{K/2M_{P}^{2}}{\mathcal {D}}_{\bar {n}}{\bar {W}},$

$J_{\text{gauge}}^{\mu }=-{\tfrac {1}{4}}{\bar {\lambda }}^{J}{\text{Re}}(f_{IJ})F_{\nu \rho }^{I}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu \rho }-{\tfrac {i}{2}}{\bar {\lambda }}^{J}{\mathcal {P}}_{J}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}.$

Это сверхтоки кирального сектора и калибровочного сектора, модифицированные соответствующим образом, чтобы быть ковариантными относительно симметрий действия супергравитации. Они обеспечивают дополнительные билинейные условия между гравитино и другими фермионами, которые необходимо учитывать при переходе к массовому базису.

Наличие членов, связывающих гравитино со сверхтоками глобальной теории, является общей чертой теорий супергравитино, поскольку гравитино действует как калибровочное поле для локальной суперсимметрии. Это аналогично случаю калибровочных теорий в более общем плане, где калибровочные поля связаны с током, связанным с измеряемой симметрией. Например, квантовая электродинамика состоит из действия Максвелла и действия Дирака , а также связи между фотоном и током. $-ej^{\mu }A_{\mu }$, причем это обычно учитывается при определении фермионной ковариантной производной.

Скалярный потенциал

Потенциальный член лагранжиана описывает скалярный потенциал $e^{-1}{\mathcal {L}}_{\text{potential}}=-V(\phi ,{\bar {\phi }})$ как

$V(\phi ,{\bar {\phi }})=e^{K/M_{P}^{2}}{\bigg [}g^{m{\bar {n}}}({\mathcal {D}}_{m}W)({\mathcal {D}}_{\bar {n}}{\bar {W}})-{\frac {3|W|^{2}}{M_{P}^{2}}}{\bigg ]}+{\frac {1}{2}}{\text{Re}}(f_{IJ})D^{I}D^{J},$

где первый член известен как F-терм и представляет собой обобщение потенциала, возникающего из-за киральных мультиплетов в глобальной суперсимметрии, вместе с новым отрицательным гравитационным вкладом, пропорциональным $|W|^{2}$. Второй член называется D-термом и в аналогичной форме встречается также в глобальной суперсимметрии, возникая из калибровочного сектора.

Потенциал Кэлера и суперпотенциал не являются независимыми в супергравитации, поскольку преобразования Кэлера допускают сдвиг членов между ними. Вместо этого эти две функции могут быть упакованы в инвариантную функцию, известную как инвариантная функция Кэлера.

$G=M_{P}^{-2}K+\ln(M_{P}^{-6}|W|^{2}).$

Лагранжиан можно записать через эту функцию как

$V=M_{P}^{4}e^{G}[\partial _{m}G(\partial ^{m}\partial ^{\bar {n}}G)\partial _{\bar {n}}G-3].$

Четырехфермионные члены

Наконец, существуют члены четырехфермионного взаимодействия . Они даны

$e^{-1}{\mathcal {L}}_{\text{4-fermion}}={\frac {M_{P}^{2}}{2}}{\mathcal {L}}_{\text{SG}}$

$+{\bigg [}-{\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}\partial _{m}f_{IJ}{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu }\chi ^{m}{\bar {\lambda }}^{I}\lambda _{L}^{J}+{\frac {1}{8}}({\mathcal {D}}_{m}\partial _{n}f_{IJ}){\bar {\chi }}^{m}\chi ^{n}{\bar {\lambda }}^{I}\lambda _{L}^{J}+h.c.{\bigg ]}$

$+{\frac {1}{16}}ie^{-1}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma _{\nu }\psi _{\rho }{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\text{Re}}(f_{IJ}){\bar {\lambda }}^{I}\gamma _{5}\gamma _{\sigma }\lambda ^{J}+g_{m{\bar {n}}}{\bar {\chi }}^{\bar {n}}\gamma _{\sigma }\chi ^{m}{\bigg )}-{\frac {1}{2}}g_{m{\bar {n}}}{\bar {\psi }}_{\mu }\chi ^{\bar {n}}{\bar {\psi }}^{\mu }\chi ^{m}$

$+{\frac {1}{4}}{\bigg (}R_{m{\bar {n}}p{\bar {q}}}-{\frac {1}{2M_{P}^{2}}}g_{m{\bar {n}}}g_{p{\bar {q}}}{\bigg )}{\bar {\chi }}^{m}\chi ^{p}{\bar {\chi }}^{\bar {n}}\chi ^{\bar {q}}$

$+{\frac {3}{64M_{P}^{2}}}[{\text{Re}}(f_{IJ}){\bar {\lambda }}^{I}\gamma _{\mu }\gamma _{5}\lambda ^{J}]^{2}-{\frac {1}{16}}\partial _{m}f_{IJ}{\bar {\lambda }}^{I}\lambda _{L}^{J}g^{m{\bar {n}}}{\bar {\partial }}_{\bar {n}}f_{KM}{\bar {\lambda }}^{K}\lambda _{R}^{M}$

$+{\frac {1}{16}}({\text{Re}}(f))^{-1\ IJ}(\partial _{m}f_{IK}{\bar {\chi }}^{m}-\partial _{\bar {m}}{\bar {f}}_{IK}{\bar {\chi }}^{\bar {m}})\lambda ^{K}(\partial _{n}f_{JM}{\bar {\chi }}^{n}-\partial _{\bar {n}}{\bar {f}}_{JM}{\bar {\chi }}^{\bar {n}})\lambda ^{M}$

$-{\frac {1}{4M_{P}^{2}}}g_{m{\bar {n}}}{\text{Re}}(f_{IJ}){\bar {\chi }}^{m}\lambda ^{I}{\bar {\chi }}^{\bar {n}}\lambda ^{J}.$

Здесь $R_{m{\bar {n}}p{\bar {q}}}$ скалярного многообразия – тензор Римана , а ${\mathcal {L}}_{\text{SG}}$ - член взаимодействия супергравитино с четырьмя гравитино

$e^{-1}{\mathcal {L}}_{\text{SG}}=-{\frac {1}{16}}[({\bar {\psi }}^{\rho }\gamma ^{\mu }\psi ^{\nu })({\bar {\psi }}_{\rho }\gamma _{\mu }\psi _{\nu }+2{\bar {\psi }}_{\rho }\gamma _{\nu }\psi _{\mu })-4({\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\sigma }\psi _{\sigma })({\bar {\psi }}^{\mu }\gamma ^{\sigma }\psi _{\sigma })]$

возникающее при действии чистого ${\mathcal {N}}=1$ супергравитация после тензора кручения подстановки в действие первого порядка.

Характеристики

Правила преобразования суперсимметрии

Правила преобразования суперсимметрии, вплоть до трехфермионных членов, которые не важны для большинства приложений: даны

$\delta e_{\mu }^{a}={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\gamma ^{a}\psi _{\mu },$

$\delta \phi ^{m}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\bar {\epsilon }}_{L}\chi _{L}^{m},$

$\delta A_{\mu }^{I}=-{\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\gamma _{\mu }\lambda ^{I},$

$\delta \psi _{\mu L}={\mathcal {D}}_{\mu }\epsilon _{L}+\gamma _{\mu }S\epsilon _{R},$

$\delta \chi _{L}^{m}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\hat {\partial \!\!\!/}}\phi ^{m}\epsilon _{R}+{\mathcal {N}}^{m}\epsilon _{L},$

$\delta \lambda _{L}^{I}={\tfrac {1}{4}}\gamma ^{\mu \nu }F_{\mu \nu }^{I}\epsilon _{L}+N^{I}\epsilon _{L},$

где

$S={\tfrac {1}{2M_{P}^{2}}}e^{K/2M_{P}^{2}}W,$

${\mathcal {N}}^{m}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}g^{m{\bar {n}}}e^{K/2M_{P}^{2}}{\mathcal {D}}_{\bar {n}}{\bar {W}},$

$N^{I}={\tfrac {i}{2}}D^{I},$

известны как фермионные сдвиги . Общей особенностью теорий супергравитации является то, что фермионные сдвиги фиксируют форму потенциала. В этом случае их можно использовать для выражения потенциала как

$V(\phi )=-12M_{P}^{2}S{\bar {S}}+2g_{m{\bar {n}}}{\mathcal {N}}^{m}{\mathcal {N}}^{\bar {n}}+2{\text{Re}}(f_{IJ})N^{I}{\bar {N}}^{J},$

показывая, что фермионные сдвиги от полей материи дают положительно определенный вклад, а гравитино - отрицательно определенный вклад.

Спонтанное нарушение симметрии

Вакуумное состояние, используемое во многих приложениях супергравитации, представляет собой состояние максимально симметричного пространства-времени без фермионного конденсата . Случай, когда присутствуют фермионные конденсаты, можно рассматривать аналогичным образом, рассматривая вместо этого эффективную теорию поля ниже масштаба конденсации, где конденсат теперь описывается наличием другого скалярного поля. Существует три типа максимально симметричных пространств-временей: пространства-времени де Ситтера , Минковского и анти-де Ситтера , отличающиеся знаком космологической постоянной , которая в супергравитации на классическом уровне эквивалентна знаку скалярного потенциала. .

Суперсимметрия сохраняется, если в вакуумном состоянии исчезают все суперсимметричные вариации фермионных полей. Поскольку рассматриваемое максимально симметричное пространство-время имеет постоянное скалярное поле и исчезающее калибровочное поле, вариации хиралини и глюини подразумевают, что $\langle {\mathcal {N}}^{m}\rangle =\langle N^{I}\rangle =0$. Это эквивалентно условию, что $\langle {\mathcal {D}}_{m}W\rangle =\langle {\mathcal {D}}^{I}\rangle =0$. Из вида скалярного потенциала следует, что суперсимметричный вакуум возможен только в том случае, если $V\leq 0$. Кроме того, суперсимметричное пространство-время Минковского возникает тогда и только тогда, когда суперпотенциал также обращается в нуль. $\langle W\rangle =0$. Однако наличие решения Минковского или анти-де Ситтера не обязательно означает, что вакуум суперсимметричен. Важной особенностью суперсимметрических решений в антидеситтеровском пространстве-времени является то, что они удовлетворяют границе Брайтенлонера-Фридмана и, следовательно, устойчивы по отношению к флуктуациям скалярных полей, что присутствует и в других теориях супергравитации.

Супергравитация обеспечивает полезный механизм спонтанного нарушения симметрии суперсимметрии, известный как гравитационное посредничество. Эта установка имеет скрытый и наблюдаемый секторы, между которыми нет перенормируемых связей , а это означает, что они полностью отделены друг от друга в глобальной суперсимметрии. $M_{P}\rightarrow \infty$ предел. В этом сценарии нарушение суперсимметрии происходит в скрытом секторе, при этом оно передается в наблюдаемый сектор только через неперенормируемые члены, что приводит к мягкому нарушению суперсимметрии в видимом секторе, что означает, что квадратичные расходимости не вводятся. Одной из самых ранних и простых моделей гравитационного посредничества является модель Полони. Другим известным механизмом спонтанного нарушения симметрии является посредничество аномалий и калибровочное посредничество, в которых мягкие члены уровня дерева, генерируемые гравитационным посредничеством, сами являются субдоминантными.

Механизм Супер-Хиггса

Сверхтоковые лагранжианские члены состоят из части билинейных фермионных членов, смешивающих гравитино с другими фермионами. Эти термины можно выразить как

${\mathcal {L}}_{\text{supercurrent}}\supset -{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu }v_{L}+h.c.$

где $v_{L}$ является супергравитационным обобщением глобального суперсимметрического голдстино . поля

$v_{L}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\chi _{L}^{m}e^{K/2M_{P}^{2}}{\mathcal {D}}_{m}W-{\tfrac {1}{2}}i\lambda _{L}^{I}{\mathcal {P}}_{I}.$

Это поле преобразуется при преобразованиях суперсимметрии как $\delta v_{L}={\tfrac {1}{2}}V_{+}\epsilon _{L}+\cdots$, где $V_{+}$ – положительная часть скалярного потенциала. Когда суперсимметрия спонтанно нарушается $V_{+}>0$, то всегда можно выбрать калибр, в котором $v=0$, и в этом случае члены, смешивающие гравитино с другими фермионами, выпадают. Единственный оставшийся фермионный билинейный член, включающий гравитино, - это квадратичный гравитино-терм в ${\mathcal {L}}_{\text{mass}}$. Когда последнее пространство-время — это пространство-время Минковского, этому билинейному члену соответствует масса для гравитино со значением

$m_{3/2}={\tfrac {1}{M_{P}^{2}}}e^{K/2M_{P}^{2}}W.$

Следствием этой процедуры при вычислении массы оставшихся фермионов является то, что преобразование, фиксирующее калибровку для голдстино, приводит к дополнительным сдвиговым вкладам в матрицу масс для киральных и калибровочных фермионов, которые необходимо включить.

Правила массовой суммы

Суперслед - сумма квадратов собственных значений матрицы масс дает ценную информацию о массовых спектрах частиц в супергравитации. Общая формула наиболее компактно записана в формализме суперпространства: но в частном случае исчезающей космологической постоянной тривиальная калибровочная кинетическая матрица $f_{IJ}=\delta _{IJ}$, и $n_{c}$ киральные мультиплеты, он определяется выражением

${\text{str}}({\mathcal {M}}^{2})=\sum _{J}(-1)^{2J}(2J+1)m_{J}^{2}$

$=(n_{c}-1){\bigg (}2|m_{3/2}|^{2}-{\frac {1}{M_{P}^{2}}}{\mathcal {P}}^{I}{\mathcal {P}}_{I}{\bigg )}+2e^{K/2M_{P}^{2}}R^{m{\bar {n}}}{\mathcal {D}}_{m}W{\mathcal {D}}_{\bar {n}}{\bar {W}}+2iD^{I}\nabla _{m}\xi _{I}^{m},$

что является супергравитационным обобщением соответствующего результата в глобальной суперсимметрии. Одним из важных следствий является то, что обычно скаляры имеют массу порядка массы гравитино, в то время как фермионные массы могут оставаться небольшими.

Безмасштабные модели

Безмасштабные модели — это модели с исчезающим F-членом, получаемые путем выбора потенциала Кэлера и суперпотенциала так, что

$g^{m{\bar {n}}}({\mathcal {D}}_{m}W)({\mathcal {D}}_{\bar {n}}{\bar {W}})={\frac {3|W|^{2}}{M_{P}^{2}}}.$

Игнорирование D-термов для калибровочных мультиплетов приводит к исчезновению классического потенциала, который, как говорят, имеет плоские направления для всех значений скалярного поля. Кроме того, суперсимметрия формально нарушается, о чем свидетельствует неисчезающая, но неопределенная масса гравитино. При выходе за пределы классического уровня вступают квантовые поправки, которые разрушают это вырождение, фиксируя массу гравитино. Плоские направления на уровне дерева полезны в феноменологических приложениях супергравитации в космологии, где даже после подъема плоских направлений наклон обычно относительно мал, что полезно для построения инфляционных потенциалов. Безмасштабные модели также часто встречаются в компактификациях теории струн.

Квантовые эффекты

Квантование супергравитации вносит дополнительные тонкости. В частности, чтобы супергравитация была непротиворечивой как квантовая теория, вступают новые ограничения, такие как условия подавления аномалий и черной дыры . квантование заряда Квантовые эффекты также могут играть важную роль во многих сценариях, где они могут способствовать доминирующим эффектам, например, когда квантовые эффекты поднимают плоские направления. Неперенормируемость четырехмерной супергравитации также означает, что ее следует рассматривать как эффективную теорию поля некоторой УФ-теории .

Ожидается, что квантовая гравитация не будет иметь точных глобальных симметрий, что запрещает постоянные члены Файе – Илиопулоса, поскольку они могут возникнуть только в том случае, если существуют точные непрерывные глобальные симметрии. ${\text{U}}(1)$ симметрии. Это видно в компактификациях теории струн, которые в лучшем случае могут создавать зависящие от поля члены Файе – Илиопулоса, связанные с массами Штюкельберга для калиброванных ${\text{U}}(1)$ симметрии.

Связанные теории

Глобально суперсимметричное 4D ${\mathcal {N}}=1$ Теорию можно получить из ее обобщения супергравитации путем разделения гравитации путем изменения масштаба гравитино. $\psi _{\mu }\rightarrow \psi _{\mu }/M_{P}$ и уводя планковскую массу к бесконечности $M_{P}\rightarrow \infty$. Между тем, чистая теория супергравитации достигается за счет отсутствия киральных или калибровочных мультиплетов. Кроме того, более общая версия 4D ${\mathcal {N}}=1$ существует супергравитация, которая также включает члены Черна – Саймона .

В отличие от глобальной суперсимметрии, где все расширенные модели суперсимметрии могут быть построены как частные случаи ${\mathcal {N}}=1$ теории, расширенные модели супергравитации — это не просто частные случаи ${\mathcal {N}}=1$ теория. Например, в ${\mathcal {N}}=2$ В условиях супергравитации соответствующее скалярное многообразие должно быть кватернионным кэлеровым многообразием . Но поскольку эти многообразия сами по себе не являются кэлеровыми многообразиями, они не могут встречаться как частные случаи многообразия. ${\mathcal {N}}=1$ скалярное многообразие супергравитации.

Четырехмерный ${\mathcal {N}}=1$ Супергравитация играет важную роль в физике за пределами Стандартной модели, особенно актуальной в теории струн, где она является результирующей эффективной теорией во многих компактификациях. Например, поскольку компактификация 6-мерного многообразия Калаби–Яу нарушает 3/4 начальной суперсимметрии, компактификация гетеротических струн на таких многообразиях дает ${\mathcal {N}}=1$ супергравитации, а компактификация струнных теорий типа II дает ${\mathcal {N}}=2$ супергравитация. Но если вместо этого теории типа II компактифицируются на ориентифолде Калаби–Яу , что еще больше нарушает суперсимметрию, результатом также будет ${\mathcal {N}}=1$ супергравитация. Аналогично, компактификация М-теории на $G_{2}$ многообразие также приводит к ${\mathcal {N}}=1$ супергравитация. Во всех этих теориях конкретные свойства полученной теории супергравитации, такие как потенциал Кэлера и суперпотенциал, фиксируются геометрией компактного многообразия.