Супергравитация более высоких измерений

высших измерений Супергравитация — это суперсимметричное обобщение общей теории относительности в высших измерениях. Супергравитация может быть сформулирована в любом количестве измерений, вплоть до одиннадцати. В этой статье основное внимание уделяется супергравитации (СУГРА) в более чем четырех измерениях.

Супермультиплеты

Поля, связанные преобразованиями суперсимметрии, образуют супермультиплет ; тот, который содержит гравитон, называется мультиплетом супергравитации .

Название теории супергравитации обычно включает в себя число измерений пространства-времени , в котором она обитает, а также число ${\mathcal {N}}$ гравитации , которая у него есть. Иногда во имя теории включают также выбор супермультиплетов. Например, ${\mathcal {N}}=2$, (9 + 1)-мерная супергравитация имеет 9 пространственных измерений, одно временное и 2 гравитино . Хотя содержание поля в различных теориях супергравитации значительно различается, все теории супергравитино содержат по крайней мере одно гравитино, и все они содержат один гравитон . Таким образом, каждая теория супергравитации содержит единственный супермультиплет супергравитации. До сих пор неизвестно, можно ли построить теории с несколькими гравитонами, которые не эквивалентны множественным разделенным теориям с одним гравитоном в каждой. . В теориях максимальной супергравитации (см. ниже) все поля связаны преобразованиями суперсимметрии, так что существует только один супермультиплет: мультиплет супергравитации.

Измеренная супергравитация против супергравитации Янга – Миллса

Часто злоупотребление номенклатурой используется, когда «калибровочная супергравитация» относится к теории супергравитации, в которой поля в теории заряжены относительно векторных полей в теории. Однако, когда различие важно, правильная номенклатура приведена ниже. Если глобальная (то есть жесткая) R-симметрия калибрована, гравитино заряжено относительно некоторых векторных полей, и теория называется калиброванной супергравитацией . Когда другие глобальные (жесткие) симметрии (например, если теория представляет собой нелинейную сигма-модель ) теории калибруются так, что некоторые (негравитино) поля заряжены относительно векторов, это известно как симметрия Янга – Миллса. –Теория супергравитации Эйнштейна. Конечно, можно представить себе теорию «калиброванного Янга-Миллса-Эйнштейна», используя комбинацию вышеупомянутых оценок.

Подсчет гравитино

Гравитино являются фермионами, а это означает, что согласно теореме о спиновой статистике они должны иметь нечетное число спинорных индексов. Фактически поле гравитино имеет один спинор и один векторный индекс, а это означает, что гравитино преобразуется как тензорное произведение спинорного представления и векторного представления группы Лоренца . Это спинор Рариты–Швингера .

Хотя для каждой группы Лоренца существует только одно векторное представление, в целом существует несколько различных спинорных представлений. Технически это на самом деле представления двойного накрытия группы Лоренца, называемого спиновой группой .

Каноническим примером спинорного представления является спинор Дирака , который существует во всех измерениях пространства-времени. Однако спинорное представление Дирака не всегда неприводимо. При расчете количества ${\mathcal {N}}$, всегда подсчитывают число вещественных неприводимых представлений. Спиноры со спинами меньше 3/2, существующие в каждом числе измерений, будут классифицированы в следующем подразделе.

Классификация спиноров

Доступные спинорные представления зависят от k ; максимальная компактная подгруппа малой группы группы Лоренца , сохраняющая импульс безмассовой частицы , равна Spin( d − 1) × Spin( d − k − 1), где k равно числу d пространственных измерений минус число d − k измерений времени. (См. спиральность (физика частиц) ) Например, в нашем мире это 3 - 1 = 2. Из-за периодичности Ботта по модулю 8 гомотопических групп группы Лоренца на самом деле нам нужно рассматривать только k по модулю 8.

Для любого значения k существует представление Дирака, которое всегда имеет действительную размерность. $2^{1+\lfloor {\frac {2d-k}{2}}\rfloor }$ где $\lfloor x\rfloor$ — наибольшее целое число, меньшее или равное x. Когда $-2\leq k\leq 2{\pmod {8}}$ существует настоящее спинорное представление Майорана, размерность которого вдвое меньше представления Дирака. Когда k четно, существует представление спинора Вейля , реальная размерность которого снова вдвое меньше спинора Дирака. Наконец, когда k делится на восемь, то есть когда k равно нулю по модулю восемь, существует спинор Майораны-Вейля , действительная размерность которого составляет одну четверть размера спинора Дирака.

Иногда рассматривают также симплектический майорановский спинор , который существует, когда $3\leq k\leq 5$, половина которых имеет много компонентов как спиноры Дирака. Когда k = 4, это также могут быть спиноры Вейля, что дает симплектические спиноры Майораны Вейля, которые имеют на четверть меньше компонентов, чем спиноры Дирака.

Выбор киральности

Спиноры в n -мерностях являются представлениями (на самом деле модулями ) не только n- мерной группы Лоренца, но и алгебры Ли, называемой n -мерной алгеброй Клиффорда . Наиболее часто используемая основа комплекса $2^{\lfloor n\rfloor }$-мерное представление алгебры Клиффорда, представление, действующее на спиноры Дирака, состоит из гамма-матриц .

Когда n является четным произведением всех гамма-матриц, это часто называют $\Gamma _{5}$ как это было впервые рассмотрено в случае n = 4, само по себе не является членом алгебры Клиффорда. Однако, будучи произведением элементов алгебры Клиффорда, он находится в универсальном накрытии алгебры и поэтому действует на спиноры Дирака.

В частности, спиноры Дирака можно разложить на собственные пространства $\Gamma _{5}$ с собственными значениями, равными $\pm (-1)^{-k/2}$, где k — количество пространственных минус временных измерений в пространстве-времени. Каждый из спиноров в этих двух собственных пространствах образует проективные представления группы Лоренца, известные как спиноры Вейля . Собственное значение при $\Gamma _{5}$ известна как хиральность спинора, который может быть левым или правым.

Частица, которая превращается в один спинор Вейля, называется киральной. Теорема CPT , которая требуется лоренц-инвариантностью в пространстве Минковского , подразумевает, что когда существует единственное направление времени, такие частицы имеют античастицы противоположной киральности.

Напомним, что собственные значения $\Gamma _{5}$, чьими собственными пространствами являются две киральности, равны $\pm (-1)^{-k/2}$. В частности, когда k равно двум по модулю четыре, два собственных значения являются комплексно-сопряженными, и поэтому две киральности представлений Вейля являются комплексно-сопряженными представлениями.

Комплексное сопряжение в квантовых теориях соответствует обращению времени. Следовательно, из теоремы CPT следует, что, когда число измерений Минковского делится на четыре (так что k равно 2 по модулю 4), существует одинаковое количество левых и правых суперзарядов. С другой стороны, если размерность равна 2 по модулю 4, может быть разное количество левых и правых суперзарядов, и поэтому теорию часто обозначают дублетом. ${\mathcal {N}}=({\mathcal {N}}_{L},{\mathcal {N}}_{R})$ где ${\mathcal {N}}_{L}$ и ${\mathcal {N}}_{R}$ – количество левых и правых наддувов соответственно.

Подсчет суперсимметрий

Все теории супергравитации инвариантны относительно преобразований в алгебре суперпуанкаре , хотя отдельные конфигурации, вообще говоря, не инвариантны относительно всех преобразований в этой группе. Супергруппа Пуанкаре порождается алгеброй СуперПуанкаре , которая является супералгеброй Ли . Супералгебра Ли – это $\mathbf {Z} _{2}$ градуированная алгебра, в которой элементы нулевой степени называются бозонными, а элементы первой степени — фермионными. Коммутатор, то есть антисимметричная скобка, удовлетворяющая тождеству Якоби , определяется между каждой парой генераторов фиксированной степени, за исключением пар фермионных генераторов, для которых вместо этого определяется симметричная скобка, называемая антикоммутатором.

Фермионные генераторы также называют суперзарядами . Любая конфигурация, которая инвариантна относительно любого из суперзарядов, называется BPS , и часто теоремы о неперенормировке показывают, что с такими состояниями особенно легко обращаться, поскольку на них не влияют многие квантовые поправки.

Сверхзаряды преобразуются в спиноры, а число неприводимых спиноров этих фермионных генераторов равно числу гравитино. ${\mathcal {N}}$ определено выше. Часто ${\mathcal {N}}$ определяется как количество фермионных генераторов, а не количество гравитино, поскольку это определение распространяется на суперсимметричные теории без гравитации.

Иногда теории удобно характеризовать не числом ${\mathcal {N}}$ неприводимых представлений гравитино или суперзарядов, а вместо этого суммарным Q их измерений. Это связано с тем, что некоторые особенности теории имеют одинаковую Q -зависимость в любом количестве измерений. Например, часто интересуются только теориями, в которых все частицы имеют спин меньше или равный двум. Для этого требуется, чтобы Q не превышало 32, за исключением, возможно, особых случаев, когда суперсимметрия реализуется нетрадиционным, нелинейным образом с произведениями бозонных генераторов в антикоммутаторах фермионных генераторов.

Примеры

Максимальная супергравитация

Теории супергравитации, вызвавшие наибольший интерес, не содержат спинов выше двух. Это означает, в частности, что они не содержат полей, преобразующихся при преобразованиях Лоренца как симметричные тензоры ранга выше двух. Однако в настоящее время непротиворечивость взаимодействующих теорий поля с более высокими спинами представляет собой область очень активного интереса.

Суперзаряды в каждой супер-алгебре Пуанкаре порождаются мультипликативным базисом m фундаментальных суперзарядов, а аддитивный базис суперзарядов (это определение суперзарядов несколько шире, чем данное выше) задается произведением любого подмножества это фундаментальные суперзаряды. Количество подмножеств из m элементов равно 2 ^м , таким образом, пространство суперзарядов равно 2 ^м -мерный.

Поля в суперсимметричной теории образуют представления супералгебры Пуанкаре. Можно показать, что когда m больше 5, не существует представлений, содержащих только поля со спином, меньшим или равным двум. Таким образом, нас интересует случай, когда m меньше или равно 5, что означает, что максимальное число суперзарядов равно 32. Теория супергравитации, имеющая ровно 32 суперсимметрии, известна как максимальная супергравитация .

Выше мы видели, что количество суперзарядов в спиноре зависит от размерности и сигнатуры пространства-времени. Сверхзаряды возникают в спинорах. Таким образом, указанный выше предел числа суперзарядов не может быть удовлетворен в пространстве-времени произвольной размерности. Ниже мы опишем некоторые случаи, в которых оно выполняется.

12-мерная двувременная теория

Наивысшее измерение, в котором существуют спиноры только с 32 суперзарядами, - это 12. Если существует 11 пространственных направлений и 1 направление времени, то будут спиноры Вейля и Майораны, которые оба имеют размерность 64 и поэтому слишком велики. Однако некоторые авторы рассматривали нелинейные действия суперсимметрии, при которых поля более высоких спинов могут не появляться.

Если вместо этого принять во внимание 10 пространственных направлений и второе временное измерение , то получится спинор Майораны-Вейля, который, как и хотелось, имеет только 32 компонента. Обзор теорий двувременности, сделанный одним из их главных сторонников, Ицхаком Барсом , см. в его статье Two-Time Physics и Two-Time Physics на arxiv.org . Он рассматривал 12-мерную супергравитацию в «Супергравитации», дуальность р-бран и скрытые измерения пространства и времени .

Широко, но не повсеместно, существовало мнение, что теории двойного времени могут иметь проблемы. Например, могут существовать проблемы причинности (разрыв между причиной и следствием) и проблемы унитарности (отрицательная вероятность, призраки). Кроме того, подход к квантовой механике, основанный на гамильтониане , возможно, придется модифицировать при наличии второго гамильтониана в другой раз. Однако в «Двухвременной физике» было продемонстрировано, что такие потенциальные проблемы решаются с использованием соответствующей калибровочной симметрии.

Некоторые другие двухвременные теории описывают поведение при низкой энергии, например, Кумруна Вафы , F-теория которая также сформулирована с помощью 12 измерений. Однако сама F-теория не является теорией двойного времени. Два из 12 измерений F-теории можно понимать как инструмент бухгалтерского учета; их не следует путать с другими 10 координатами пространства-времени. Эти два измерения каким-то образом двойственны друг другу, и их не следует рассматривать независимо.

11-мерная максимальная СУГРА

Основная статья: Одиннадцатимерная супергравитация

Эта максимальная супергравитация является классическим пределом М-теории . Классически у нас есть только одна 11-мерная теория супергравитации: 7D гиперпространство + 4 общих измерения. Как и все максимальные супергравитации, он содержит один супермультиплет, супермультиплет супергравитации, содержащий гравитон, майорановское гравитино и калибровочное поле 3-формы, часто называемое C-полем.

Он содержит два раствора p-бран , 2-брану и 5-брану, которые электрически и магнитно заряжены соответственно по отношению к C-полю. Это означает, что заряд 2-браны и 5-браны являются нарушением тождеств Бьянки для дуального C-поля и исходного C-поля соответственно. Супергравитационные 2-брана и 5-брана являются длинноволновыми пределами (см. также исторический обзор выше) М2 -браны и М5-браны в М-теории.

10 теорий СУГРЫ

Сахар типа IIA: N = (1, 1)

Эта максимальная супергравитация является классическим пределом теории струн типа IIA . Полевой состав супермультиплета супергравитации состоит из гравитона, майорановского гравитино, поля Калба–Рамонда , нечетномерных Рамона–Рамонда калибровочных потенциалов , дилатона и дилатино .

Тождества Бьянки калибровочных потенциалов Рамона–Рамона. $C_{2k-1}$ можно нарушить добавлением источников $\rho$, которые называются D(8 − 2 k )-бранами

$ddC_{2k-1}=\rho .\,\,\,$

В демократической формулировке супергравитации типа IIA существуют калибровочные потенциалы Рамона–Рамонда при 0 < k < 6, что приводит к D0-бранам (также называемым D-частицами), D2-бранам, D4-бранам, D6-бранам и, если один включает случай k = 0, D8-браны. Кроме того, существуют фундаментальные струны и их электромагнитные двойники, называемые NS5-бранами .

Хотя очевидно, что калибровочных связей −1-формы не существует, соответствующая напряженность поля 0-формы G ₀ может существовать. Эта напряженность поля называется массой Римляна , а когда она не равна нулю, теория супергравитации называется массивной супергравитацией IIA или супергравитацией Римляна IIA . Из приведенного выше тождества Бьянки мы видим, что D8-брана является доменной границей между зонами с разными G ₀ , таким образом, при наличии D8-браны по крайней мере часть пространства-времени будет описываться теорией Романса.

IIA СУГРА из 11-й СУГРЫ

IIA SUGRA — это размерная редукция 11-мерной супергравитации на круге. Это означает, что 11d супергравитация в пространстве-времени $M^{10}\times S^{1}\,$ эквивалентно супергравитации IIA на 10-многообразии $M^{10}\,$ где исключаются моды с массами, пропорциональными обратному радиусу окружности S ¹ .

В частности, с помощью этой процедуры размерного уменьшения можно получить поле и бранное содержание супергравитации IIA. Поле $G_{0}$ однако не возникает в результате сокращения размерностей, массивный IIA, как известно, не является уменьшением размерностей какой-либо теории более высоких измерений. 1-форма потенциала Рамона – Рамона. $C_{1}\,$ — это обычная связность 1-формы, возникающая в результате процедуры Калуцы–Клейна, она возникает из компонентов 11-й метрики, содержащих один индекс вдоль компактифицированной окружности. Калибровочный потенциал IIA 3-формы $C_{3}\,$ представляет собой редукцию компонент калибровочного потенциала 11d 3-формы с индексами, не лежащими вдоль окружности, тогда как B-поле 2-формы Калба–Рамонда IIA состоит из тех компонент 11-мерной 3-формы с одним индексом вдоль круг. Высшие формы в IIA не являются независимыми степенями свободы, а получаются из низших форм с помощью двойственности Ходжа.

Точно так же браны IIA произошли от 11-мерных бран и геометрии. D0-брана IIA представляет собой моду импульса Калуцы–Клейна вдоль компактифицированного круга. Фундаментальная струна IIA представляет собой 11-мерную мембрану, окружающую компактифицированный круг. D2-брана IIA представляет собой 11-мерную мембрану, не охватывающую компактифицированный круг. IIA D4-брана — это 11-мерная 5-брана, обертывающая компактифицированный круг. IIA NS5-брана представляет собой 11-мерную 5-брану, не охватывающую компактифицированный круг. D6-брана IIA представляет собой монополь Калуцы–Клейна, т.е. топологический дефект в расслоении компактных кругов. Подъем D8-браны IIA до 11-мерности неизвестен, поскольку одна сторона геометрии IIA как нетривиальная римская масса, а 11-мерный оригинал римской массы неизвестен.

Тип IIB SUGRA: N = (2, 0)

Эта максимальная супергравитация является классическим пределом теории струн типа IIB . Полевой состав супермультиплета супергравитации состоит из гравитона, гравитино Вейля, поля Калба – Рамона , четномерных калибровочных потенциалов Рамона – Рамона, дилатона и дилатино .

Источником полей Рамона–Рамонда являются нечетномерные D(2 k + 1)-браны, на которых основаны суперсимметричные U (1) калибровочные теории. Как и в супергравитации IIA, фундаментальная струна является электрическим источником B-поля Калба–Рамонда, а NS5-брана является магнитным источником. В отличие от теории IIA, NS5-брана обладает суперсимметричной калибровочной теорией мирового объема U (1) с ${\mathcal {N}}=(1,1)$ суперсимметрия, хотя некоторая часть этой суперсимметрии может быть нарушена в зависимости от геометрии пространства-времени и других присутствующих бран.

Эта теория обладает симметрией SL (2, R ), известной как S-дуальность , которая меняет местами поле Калба-Рамонда и RR 2-форму, а также смешивает дилатон и аксион RR 0-формы .

Тип I калиброванный SUGRA: N = (1, 0)

Это классические пределы теории струн типа I и двух гетеротических теорий струн . Существует единственный Майораны-Вейля спинор суперзарядов , который в 10 измерениях содержит 16 суперзарядов. Поскольку 16 меньше 32, максимальное число суперзарядов типа I не является максимальной теорией супергравитации.

В частности, это означает, что существует более одной разновидности супермультиплета. На самом деле их два. Как обычно, существует супермультиплет супергравитации. Он меньше, чем супермультиплет супергравитации в типе II, он содержит только гравитон Майораны-Вейля , гравитино , калибровочный потенциал 2-формы, дилатон и дилатино. Считается ли эта 2-форма полем Калба–Рамонда или полем Рамона–Рамонда, считается ли теория супергравитации классическим пределом гетеротической теории струн или теории струн типа I. зависит от того , Существует также векторный супермультиплет , который содержит калибровочный потенциал одной формы, называемый глюоном Майораны-Вейля , а также глюино .

В отличие от супергравитаций типа IIA и IIB, для которых классическая теория уникальна, как классическая теория ${\mathcal {N}}=1$ супергравитация совместима с одним супермультиплетом супергравитации и любым количеством векторных мультиплетов. Она также непротиворечива и без супермультиплета супергравитации, но тогда она не содержала бы гравитона и, следовательно, не была бы теорией супергравитации. Хотя можно добавить несколько супермультиплетов супергравитации, неизвестно, смогут ли они последовательно взаимодействовать. Можно не только определить количество векторных супермультиплетов, если таковые имеются, но также имеется некоторая свобода в определении их связей. Они должны описывать классическую супер Янга–Миллса калибровочную теорию , но выбор калибровочной группы произволен. Кроме того, в классической теории можно свободно выбирать гравитационные связи.

Хотя существует множество разновидностей классической ${\mathcal {N}}=1$ супергравитации, не все из этих разновидностей являются классическими пределами квантовых теорий. В целом квантовые версии этих теорий страдают от различных аномалий, что можно увидеть уже на 1-петле шестиугольных диаграмм Фейнмана . В 1984 и 1985 годах Майкл Грин и Джон Х. Шварц показали, что если включить ровно 496 векторных супермультиплетов и выбрать определенные связи 2-формы и метрики, то гравитационные аномалии компенсируются. Это называется механизмом подавления аномалии Грина-Шварца .

Кроме того, для устранения аномалий необходимо устранить калибровочные аномалии . Это фиксирует, что алгебра калибровочной симметрии будет либо ${\mathfrak {so}}(32)$, ${\mathfrak {e}}_{8}\oplus {\mathfrak {e}}_{8}$, ${\mathfrak {e}}_{8}\oplus 248{\mathfrak {u}}(1)$ или $496{\mathfrak {u}}(1)$. Однако из теории суперструн можно получить только первые две алгебры Ли. . Квантовые теории, имеющие как минимум 8 суперзарядов, имеют тенденцию иметь непрерывные пространства модулей вакуума. В компактификациях этих теорий, имеющих 16 суперзарядов, существуют вырожденные вакуумы с разными значениями различных петель Вильсона. Такие петли Вильсона можно использовать для разбиения калибровочных симметрий на различные подгруппы. В частности, вышеупомянутые калибровочные симметрии могут быть нарушены, чтобы получить не только калибровочную симметрию стандартной модели, но и группы симметрии, такие как SO (10) и SU (5), которые популярны в теориях Великого объединения .

9d теории СУГРЫ

В 9-мерном пространстве Минковского единственным неприводимым спинорным представлением является спинор Майорана , который имеет 16 компонент. Таким образом, суперзаряды обитают в майорановских спинорах, которых не более двух.

Максимальная 9д СУГРА из 10д

В частности, если имеется два майорановских спинора, то получается 9-мерная максимальная теория супергравитации. Напомним, что в 10 измерениях существовали две неэквивалентные теории максимальной супергравитации: IIA и IIB. Размерное уменьшение IIA или IIB на круге представляет собой уникальную 9-мерную супергравитацию. Другими словами, IIA или IIB на произведении 9-мерного пространства M ⁹ а окружность эквивалентна 9-мерной теории на M ⁹ , с модами Калуцы–Клейна, если не брать предел, в котором круг сжимается до нуля.

Т-двойственность

В более общем смысле можно было бы рассмотреть 10-мерную теорию нетривиального расслоения окружностей над M ⁹ . Размерная редукция по-прежнему приводит к 9-мерной теории на M ⁹ 1-формы, , но с калибровочным потенциалом равным связности кругового расслоения, и напряженностью поля 2-формы , равной классу Чженя старого кругового расслоения. Затем можно перенести эту теорию на другую 10-мерную теорию, и в этом случае обнаружится, что калибровочный потенциал 1-формы поднимается до поля Калба – Рамона. Аналогично связность расслоения окружности во второй 10-мерной теории является интегралом поля Калба–Рамонда исходной теории по компактифицированной окружности.

Это преобразование между двумя 10-мерными теориями известно как Т-дуальность . В то время как Т-дуальность в супергравитации предполагает уменьшение размерностей и, таким образом, теряет информацию, в полной квантовой теории струн дополнительная информация хранится в модах обмотки струны, и поэтому Т-дуальность представляет собой двойственность между двумя 10-мерными теориями. Приведенную выше конструкцию можно использовать для получения связи между связностью кругового расслоения и дуальным полем Калба–Рамонда даже в полной квантовой теории.

N = 1 мерный сахар

Основная статья: Измеренная супергравитация

Как и в исходной 10-мерной теории, 9-мерная супергравитация N = 1 содержит один мультиплет супергравитации и произвольное количество векторных мультиплетов. Эти векторные мультиплеты могут быть связаны так, чтобы допускать произвольные калибровочные теории, хотя не все возможности имеют квантовые пополнения. В отличие от 10-мерной теории, как было описано в предыдущем подразделе, мультиплет супергравитации сам по себе содержит вектор, поэтому всегда будет существовать как минимум калибровочная симметрия U (1), даже в случае N = 2.

Математика

Лагранжиан 11D - для супергравитации, найденный грубым методом Креммером, Джулией и Шерком является:

${\begin{array}{rcl}L&=&+{\frac {1}{2\kappa ^{2}}}eR-{\frac {1}{2}}e{\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNP}D_{N}[{\frac {1}{2}}(\omega -{\overline {\omega }})]\psi _{P}\\&&+{\frac {1}{48}}eF_{MNPQ}^{2}+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{384}}e({\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNPQRS}\psi _{S}\\&&+12{\overline {\psi }}^{N}\Gamma ^{PQ}\psi ^{R})(F+{\overline {F}})_{NPQR}+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{3456}}\varepsilon ^{M_{1}\dots M_{11}}F_{M_{1}\dots M_{4}}F_{M_{5}\dots M_{8}}A_{M_{9}M_{10}M_{11}}\end{array}}$

который содержит три типа полей:

$e_{M}^{A},\psi _{M},A_{MNP}$

Симметрия этой теории супергравитации задается супергруппой OSp(1|32), которая дает подгруппы O(1) для бозонной симметрии и Sp(32) для фермионной симметрии. Это связано с тем, что спинорам необходимо 32 компонента в 11 измерениях. 11D-супергравитацию можно компактифицировать до 4-х измерений, которые тогда приобретут симметрию OSp(8|4). (У нас по-прежнему 8 × 4 = 32, поэтому количество компонентов остается тем же.) Спинору нужны 4 компонента в 4 измерениях. Это дает O(8) для калибровочной группы, которая слишком мала, чтобы содержать калибровочную группу Стандартной модели U(1) × SU(2) × SU(3), для которой потребуется как минимум O(10).