Теория высшего спина

Теория более высокого спина или гравитация с более высоким спином — это общее название для теорий поля , которые содержат безмассовые поля со спином больше двух. Обычно в спектре таких теорий присутствует гравитон как безмассовое поле со спином два, что и объясняет второе название. Безмассовые поля являются калибровочными полями , и теории должны (почти) полностью фиксироваться этими симметриями с более высоким спином. Предполагается, что теории с высшим спином являются непротиворечивыми квантовыми теориями и по этой причине дают примеры квантовой гравитации . Наибольший интерес к этой теме обусловлен перепиской AdS/CFT , в которой существует ряд гипотез, связывающих теории более высоких спинов со слабосвязанными конформными теориями поля . Важно отметить, что в настоящее время известны лишь некоторые части этих теорий (в частности, неизвестны стандартные принципы действия) и не так много примеров были детально проработаны, за исключением некоторых конкретных игрушечных моделей (таких как расширение с более высокими спинами). чистого Черна–Саймонса , Джекив-Тейтельбойм, самодвойственный (хиральный) и теории гравитации Вейля ).

Бесплатные поля с более высоким спином

Систематическое изучение безмассовых полей произвольного спина было инициировано Кристианом Фронсдалем . Поле свободного спина s может быть представлено тензорным калибровочным полем.

$\delta \Phi _{\mu _{1}\mu _{2}...\mu _{s}}=\partial _{\mu _{1}}\xi _{\mu _{2}...\mu _{s}}+{\text{permutations}}$

Эта (линеаризованная) калибровочная симметрия обобщает симметрию безмассового спина (фотона). $\delta A_{\mu }=\partial _{\mu }\xi$ и безмассовый спин два (гравитон) $\delta h_{\mu \nu }=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }$. Фронсдал также нашел линейные уравнения движения и квадратичное действие, инвариантное относительно приведенных выше симметрий. Например, уравнения

$\square \Phi _{\mu _{1}\mu _{2}...\mu _{s}}-\left(\partial _{\mu _{1}}\partial ^{\nu }\Phi _{\nu \mu _{2}...\mu _{s}}+{\text{ permutations}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\Phi ^{\nu }{}_{\nu \mu _{3}...\mu _{s}}+{\text{permutations}}\right)=0$

где в первой скобке нужно $s-1$ членов больше, чтобы выражение было симметричным, и во второй скобке нужно $s(s-1)/2-1$ перестановки. Уравнения являются калибровочно-инвариантными при условии, что поле дважды бесследно. $\Phi ^{\nu }{}_{\nu }{}^{\lambda }{}_{\lambda \mu _{5}...\mu _{s}}=0$ и калибровочный параметр бесследен $\xi ^{\nu }{}_{\nu \mu _{3}...\mu _{s-1}}=0$.

По сути, проблему более высокого спина можно сформулировать как задачу найти нетривиальную взаимодействующую теорию по крайней мере с одним безмассовым полем с более высоким спином (более высокое в этом контексте обычно означает больше двух).

Теория массивных произвольных полей с более высоким спином предложена К. Хагеном и Л. Сингхом . Эта массивная теория важна, потому что, согласно различным предположениям, спонтанно нарушенные калибровки более высоких спинов могут содержать бесконечную башню из массивных частиц с более высокими спинами на вершине безмассовых мод с более низкими спинами s ≤ 2, таких как гравитон, так же, как и в теориях струн.

Линеаризованная версия супергравитации с более высоким спином порождает двойное гравитонное поле в форме первого порядка. Интересно, что поле Куртрайта в такой модели двойной гравитации имеет смешанную симметрию: следовательно, теория двойной гравитации также может быть массивной . Также киральные и некиральные действия могут быть получены из явно ковариантного действия Куртрайта.

Недопустимые теоремы

Возможные взаимодействия безмассовых частиц с более высоким спином сами с собой и с частицами с низким спином (чрезмерно) ограничены основными принципами квантовой теории поля, такими как лоренц-инвариантность. К настоящему времени получено множество результатов в виде недопустимых теорем.

Плоское пространство

Большинство запретных теорем ограничивают взаимодействия в плоском пространстве.

Одной из наиболее известных является теорема Вайнберга о низкой энергии. это объясняет , почему не существует макроскопических полей, соответствующих частицам со спином 3 и выше . Теорему Вайнберга можно интерпретировать следующим образом: лоренц-инвариантность S-матрицы эквивалентна для безмассовых частиц развязке продольных состояний. Последнее эквивалентно калибровочной инвариантности относительно линеаризованных калибровочных симметрий, описанных выше. Эти симметрии приводят, поскольку $s>2$, до «слишком большого количества» законов сохранения, которые упрощают рассеяние, так что $S=1$.

Другой известный результат — теорема Коулмана–Мандулы. это при определенных предположениях утверждает, что любая группа симметрии S-матрицы обязательно локально изоморфна прямому произведению внутренней группы симметрии и группы Пуанкаре . Это означает, что не может быть никаких генераторов симметрии, преобразующихся как тензоры группы Лоренца – S-матрица не может иметь симметрии, которые были бы связаны с более высокими спиновыми зарядами.

Безмассовые частицы с более высоким спином также не могут последовательно связываться с нетривиальным гравитационным фоном. Попытка просто заменить частные производные ковариантными оказывается несовместимой с калибровочной инвариантностью. Тем не менее, устойчивая гравитационная связь существует. в датчике светового конуса (в низшем порядке).

Другие отрицательные результаты включают прямой анализ возможных взаимодействий. и показать, например, что калибровочные симметрии не могут быть согласованно деформированы так, чтобы они образовали алгебру.

Антиде Ситтеровское пространство

В анти-де Ситтеровском пространстве некоторые результаты запрета плоского пространства все еще действительны, а некоторые немного изменены. В частности, это показали Фрадкин и Васильев. что можно последовательно связать безмассовые поля с более высоким спином с гравитацией первого нетривиального порядка. Тот же результат в плоском пространстве был получен Бенгтссоном, Бенгтссоном и Линденом в датчике светового конуса в том же году. Разница между результатом плоского пространства и результатом АдС состоит в том, что гравитационное взаимодействие безмассовых полей высших спинов не может быть записано в явно ковариантной форме в плоском пространстве. в отличие от случая с AdS.

Аналог теоремы Коулмана–Мандулы в AdS был получен Малдасеной и Жибоедовым. Соответствие AdS/CFT заменяет плоскую пространственную S-матрицу голографическими корреляционными функциями. Тогда можно показать, что асимптотическая симметрия высших спинов в Пространство антиде Ситтера подразумевает, что голографические корреляционные функции являются функциями синглетного сектора конформной теории поля модели свободных векторов (см. Также соответствие AdS/CFT с более высокими спинами ниже). Подчеркнем, что все n-точечные корреляционные функции не равны нулю, поэтому это утверждение не является в точности аналогом тривиальности S-матрицы. Важным отличием от результатов о плоском пространстве, например, теорем Коулмана-Мандулы и Вайнберга, является то, что можно контролируемым образом нарушить симметрию высшего спина, что называется слегка нарушенной симметрией высшего спина. В последнем случае голографическая S-матрица соответствует весьма нетривиальным теориям материи Черна–Саймонса, а не свободной КТП.

Как и в случае с плоским пространством, другие неудовлетворительные результаты включают прямой анализ возможных взаимодействий. Начиная с четвертого порядка, общая гравитация с более высоким спином (определяемая как двойственная модель свободных векторов, см. Также соответствие AdS/CFT с более высоким спином ниже) страдает от нелокальности, это та же проблема, что и в плоском пространстве.

Различные подходы к теориям высших спинов

Существование многих теорий высших спинов хорошо обосновано на основе AdS/соответствия, но ни одна из этих гипотетических теорий не известна в полной мере. Большинство распространенных подходов к проблеме более высокого спина описаны ниже.

Хиральная гравитация с высшим спином

Общим теориям с безмассовыми полями с более высоким спином мешают нелокальности, см. «Теоремы о запрете движения» . Хиральная гравитация с высшим спином — это уникальная теория более высокого спина с распространяющимися безмассовыми полями, которая не страдает от нелокальности. Это наименьшее нетривиальное расширение гравитона с безмассовыми полями более высокого спина в четырех измерениях. Он имеет простое действие в датчике светового конуса:

${\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{4}x\left[\sum _{\lambda \geq 0}\Phi _{-\lambda }\square \Phi _{\lambda }+\sum _{\lambda _{1,2,3}}{\frac {g\,{\mathrm {l_{p}} }^{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}-1}}{\Gamma (\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})}}V_{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}\Phi _{\lambda _{1}}\Phi _{\lambda _{2}}\Phi _{\lambda _{3}}\right]$

где $\Phi _{\lambda }(x)$ представляет собой два собственных состояния спиральности $\lambda =\pm s$ безмассового спин- $s$ поле в четырех измерениях (для малых спинов обнаруживается $\Phi _{0}$ представление скалярного поля, где калибр светового конуса не имеет значения; можно найти $\Phi _{\pm 1}$ для фотонов и $\Phi _{\pm 2}$ для гравитонов). Действие имеет две константы связи: безразмерную $g$ и масштабный $\mathrm {l} _{p}$ что можно связать с планковской длиной . Учитывая три спиральности $\lambda _{1,2,3}$ исправлено уникальное кубическое взаимодействие $V_{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$, что в базе спинорной спиральности можно представить в виде $[12]^{\lambda _{1}+\lambda _{2}-\lambda _{3}}[23]^{\lambda _{2}+\lambda _{3}-\lambda _{1}}[13]^{\lambda _{1}+\lambda _{3}-\lambda _{2}}$ для позитива $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}$. Основной особенностью киральной теории является зависимость связей от спиральностей. $\Gamma (\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3})^{-1}$, что заставляет сумму $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}$ быть положительной (существует антикиральная теория, в которой сумма отрицательна). Теория является однопетлевой конечной. и его однопетлевые амплитуды связаны с амплитудами самодуальной теории Янга-Миллса. Теорию можно считать как расширение самодуальной теории Янга – Миллса на высшие спины. Киральная теория допускает расширение до антидеситтеровского пространства, где она представляет собой уникальную пертурбативно локальную теорию высшего спина с распространяющимися безмассовыми полями высшего спина.

Конформная гравитация с высшим спином

Обычные безмассовые симметрии с высшим спином обобщают действие линеаризованных диффеоморфизмов метрического тензора на поля с высшим спином. ВВ контексте гравитации нас также может заинтересовать конформная гравитация , которая расширяет диффеоморфизмы с помощью преобразований Вейля. $g_{\mu \nu }\rightarrow \Omega ^{2}(x)g_{\mu \nu }$ где $\Omega (x)$ является произвольной функцией. Простейший пример конформной гравитации находится в четырех измерениях.

${\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}C_{\mu \nu \lambda \rho }C^{\mu \nu \lambda \rho }$

Можно попытаться обобщить эту идею на поля с более высокими спинами, постулируя линеаризованные калибровочные преобразования вида

$\delta \Phi _{\mu _{1}\mu _{2}...\mu _{s}}=\partial _{\mu _{1}}\xi _{\mu _{2}...\mu _{s}}+g_{\mu _{1}\mu _{2}}\zeta _{\mu _{3}...\mu _{s}}+{\text{permutations}}$

где $\zeta _{\mu _{1}...\mu _{s-2}}$ представляет собой обобщение симметрии Вейля для высших спинов. В отличие от безмассовых полей с более высокими спинами, конформные поля с более высокими спинамиполя гораздо более податливы: они могут распространяться на нетривиальном гравитационном фоне и допускают взаимодействия в плоском пространстве. В частности, действие конформных высших спиновтеории известны в некоторой степени – его можно получить как эффективное действие для свободной конформной теории поля, связанной с конформным фоном более высоких спинов.

Коллективный диполь

Идея концептуально аналогична только что описанному подходу реконструкции, но в некотором смысле выполняет полную реконструкцию. Все начинается с бесплатного $O(N)$ статистическую сумму модели и осуществляет замену переменных путем перехода от $O(N)$ скалярные поля $\phi ^{i}(x)$, $i=1,...,N$ к новой билокальной переменной $\Psi (x,y)=\sum _{i}\phi ^{i}(x)\phi ^{i}(y)$. В пределе больших $N$ эта замена переменных корректно определена, но имеет нетривиальный якобиан. Ту же самую статистическую сумму затем можно переписать как интеграл по путям по билокальным $\Psi (x,y)$. Можно также показать, что в свободном приближении билокальные переменные описывают свободные безмассовые поля всех спинов. $s=0,1,2,3,....$ в антидеситтеровском пространстве. Следовательно, действие в терминах билокальности $\Psi (x,y)$ является кандидатом на действие теории высших спинов

Голографический поток RG

Идея состоит в том, что уравнения точной ренормгруппы можно переинтерпретировать как уравнения движения, в которых энергетическая шкала РГ играет роль радиальной координаты в антидеситтеровском пространстве. Эту идею можно применить к гипотетическим двойникам теорий высших спинов, например, к свободной $O(N)$ модель.

Нётеровская процедура

Процедура Нётера — это канонический пертурбативный метод введения взаимодействий. Начинается с суммы свободных (квадратичных) действий. $S_{2}$ и линеаризованные калибровочные симметрии $\delta _{0}$, которые задаются лагранжианом Фронсдала и указанными выше калибровочными преобразованиями. Идея состоит в том, чтобы добавить все возможные поправки, кубические в полях $S_{3}$ и в то же время учитывать зависящие от поля деформации $\delta _{1}$ калибровочных преобразований. Тогда требуется, чтобы полное действие было калибровочно-инвариантным.

$0=\delta S=\delta _{0}S_{2}+\delta _{0}S_{3}+\delta _{1}S_{2}+...$

и решает это ограничение в первом нетривиальном порядке разложения по слабому полю (обратите внимание, что $\delta _{0}S_{2}=0$ поскольку свободное действие калибровочно инвариантно). Поэтому первое условие $\delta _{0}S_{3}+\delta _{1}S_{2}=0$. Приходится отходить от тривиальных решений, возникающих в результате нелинейных переопределений полей в свободном действии. Процедура деформации может не остановиться на этом порядке, и, возможно, придется добавить члены четвертой степени. $S_{4}$ и дальнейшие исправления $\delta _{2}$ к квадратичным по полям калибровочным преобразованиям и т.д. Систематический подход основан на методах BV-BRST. К сожалению, подход, основанный на процедуре Нётера, пока не дал ни одного полного примера теории высшего спина, поскольку трудности заключаются не только в технических деталях, но и в концептуальном понимании локальности в теориях высшего спина. Если не наложена локальность, всегда можно найти решение процедуры Нётер (например, обратив кинетический оператор в $\delta _{0}S_{3}+\delta _{1}S_{2}=0$ что следует из второго члена) или, в то же время, выполнив подходящее нелокальное переопределение, можно удалить любое взаимодействие. В настоящее время кажется, что теории с более высокими спинами не могут быть полностью поняты как теории поля из-за весьма нелокальных взаимодействий, которые они имеют.

Реконструкция

Соответствие AdS/CFT более высокого спина можно использовать в обратном порядке – можно попытаться построить вершины взаимодействия теории более высокого спина таким образом, чтобы они воспроизводили корреляционные функции данного гипотетического дуала CFT. Этот подход использует тот факт, что кинематика теорий AdS в некоторой степени эквивалентна кинематике конформных теорий поля в одном измерении ниже – с обеих сторон имеется точно такое же количество независимых структур. В частности, была найдена кубическая часть действия теории высших спинов типа А. путем инвертирования трехточечных функций токов более высоких спинов в свободной скалярной CFT. Некоторые вершины четвертой степени также были реконструированы.

Три измерения и Черн – Саймонс.

В трех измерениях ни гравитация, ни безмассовые поля с более высоким спином не имеют распространяющихся степеней свободы. Известно что действие Эйнштейна–Гильберта с отрицательной космологической постоянной можно переписать в форме Черна–Саймонса для $SL(2,\mathbb {R} )\oplus SL(2,\mathbb {R} )$

$S=S_{CS}(A)-S_{CS}({\bar {A}})\qquad \qquad S_{CS}(A)={\frac {k}{4\pi }}\int \mathrm {tr} (A\wedge dA+{\frac {2}{3}}A\wedge A\wedge A)\,,$

где есть два независимых $sl(2,\mathbb {R} )$-связи, $A$ и ${\bar {A}}$. Из-за изоморфизмов $so(2,2)\sim sl(2,\mathbb {R} )\oplus sl(2,\mathbb {R} )$ и $sl(2,\mathbb {R} )\sim so(2,1)$ алгебра $sl(2,\mathbb {R} )$ можно понимать как алгебру Лоренца в трех измерениях. Эти две связи связаны с vielbein. $e_{\mu }^{a}$ и спин-связность $\omega _{\mu }^{a,b}$ (Обратите внимание, что в трех измерениях спин-связь, будучи антисимметричной по $a,b$ эквивалентно $so(2,1)$ вектор через ${\tilde {\omega }}_{\mu }^{a}=\epsilon ^{a}{}_{bc}\omega _{\mu }^{b,c}$, где $\epsilon ^{abc}$ — полностью антисимметричный символ Леви-Чивита ). Расширения с более высоким спином построить несложно: вместо $sl(2,\mathbb {R} )\oplus sl(2,\mathbb {R} )$ соединение можно взять соединение ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}$, где ${\mathfrak {g}}$ — любая алгебра Ли, содержащая «гравитационную» $sl(2,\mathbb {R} )$ подалгебра. Подобные теории тщательно изучались. из-за их связи с AdS/CFT и W-алгебрами как асимптотическими симметриями.

Уравнения Васильева

Основная статья: уравнения Васильева

Уравнения Васильева — это формально непротиворечивые калибровочно-инвариантные нелинейные уравнения, линеаризация которых по конкретному вакуумному решению описывает свободные безмассовые поля с высшим спином в антиде-ситтеровском пространстве. Уравнения Васильева являются классическими уравнениями, и неизвестен ни один лагранжиан, который начинается с канонического лагранжиана Фронсдала с двумя производными и завершается членами взаимодействия. Существует ряд вариаций уравнений Васильева, которые работают в трех, четырех и произвольном количестве измерений пространства-времени. Уравнения Васильева допускают суперсимметричные расширения с любым количеством суперсимметрий и допускают калибровку Янга – Миллса. Уравнения Васильева не зависят от фона, простейшим точным решением является пространство антиде Ситтера. Однако локальность не использовалась при выводе как допущение, и по этой причине некоторые результаты, полученные из уравнений, несовместимы с теориями более высоких спинов и дуальностью AdS/CFT. Местные вопросы еще предстоит уточнить.

Переписка AdS/CFT более высокого уровня

Теории высших спинов представляют интерес как модели соответствия AdS/CFT.

Гипотеза Клебанова–Полякова

В 2002 году Клебанов и Поляков выдвинули гипотезу. что свободное и критическое $O(N)$ векторные модели, как конформные теории поля в трех измерениях, должны быть двойственны теории в четырехмерном антидеситтеровском пространстве с бесконечным числом безмассовых калибровочных полей с высшим спином. Эта гипотеза была далее расширена и обобщена на модели Гросса – Неве и суперсимметричные модели. Наиболее общее расширение относится к классу теорий материи Черна – Саймонса .

Обоснование гипотез состоит в том, что существуют некоторые конформные теории поля, которые, помимо тензора напряжений, имеют бесконечное число сохраняющихся тензоров. $\partial ^{c}j_{ca_{2}...a_{s}}=0$, где спин пробегает все положительные целые числа $s=1,2,3,...$ (в $O(N)$ модели, вращение равномерное). Тензор напряжений соответствует $s=2$ случай. Согласно стандартным представлениям AdS/CFT, поля, двойственные сохраняющимся токам, должны быть калибровочными полями. Например, тензор напряжений двойственен полю гравитона со спином два. Типичным примером конформной теории поля с токами более высокого спина является любая свободная КТП. Например, бесплатный $O(N)$ модель определяется

$S={\frac {1}{2}}\int d^{d}x\,\partial _{m}\phi ^{i}\partial ^{m}\phi ^{j}\delta _{ij},$

где $i,j=1,...,N$. Можно показать, что существует бесконечное число квазипримарных операторов.

$j_{a_{1}a_{2}...a_{s}}=\partial _{a_{1}}...\partial _{a_{s}}\phi ^{i}\phi ^{j}\delta _{ij}+{\text{plus terms with different arrangement of derivatives and minus traces}}$

которые сохраняются. При определенных предположениях это показали Малдасена и Жибоедов. что трехмерные конформные теории поля с более высокими спиновыми токами свободны, и их можно расширить в любое измерение больше двух. Следовательно, теории более высокого спина являются общими двойниками свободных конформных теорий поля. Теория, двойственная к свободной скалярной CFT, в литературе называется типом A, а теория, двойственная к свободной скалярной CFT, называется типом B.

Другим примером является модель критического вектора, которая представляет собой теорию с действием.

$S=\int d^{3}x\,{\frac {1}{2}}\partial _{m}\phi ^{i}\partial ^{m}\phi ^{j}\delta _{ij}+{\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{i}\phi ^{j}\delta _{ij})^{2}$

снято в фиксированной точке. Эта теория является взаимодействующей и не имеет сохраняющихся токов высших спинов. Однако можно показать, что в пределе больших N оно «почти» сохраняется.токи с более высокими спинами и сохранение нарушается $1/N$ эффекты. В более общем смысле, модели свободных и критических векторов относятся к классу теорий материи Черна – Саймонса , в которых слегка нарушена симметрия высших спинов.

Гипотеза Габердиэля – Гопакумара

Гипотеза, выдвинутая Габердиэлем и Гопакумаром. является расширением гипотезы Клебанова–Полякова на $AdS_{3}/CFT^{2}$. В нем говорится, что $W_{N}$ Минимальные модели в большом $N$ предел должен быть двойственным теориям с безмассовыми полями высших спинов и двумя скалярными полями. Безмассовые поля высших спинов не распространяются в трех измерениях, но могут быть описаны, как обсуждалось выше, действием Черна–Саймонса. Однако неизвестно, можно ли распространить это действие на материальные поля, необходимые для дуальности.

См. также

• Уравнения Баргмана – Вигнера.
• Уравнение Йооса – Вайнберга