W-алгебра

В конформной теории поля и теории представлений W -алгебра — это ассоциативная алгебра , обобщающая алгебру Вирасоро . W-алгебры были введены Александром Замолодчиковым , ^[1] а название «W-алгебра» происходит от того, что Замолодчиков использовал букву W для одного из элементов одного из своих примеров.

Определение

W-алгебра — это ассоциативная алгебра, порождённая модами конечного числа мероморфных полей. $W^{(h)}(z)$ , включая тензор энергии-импульса $T(z)=W^{(2)}(z)$ . Для $h\neq 2$ , $W^{(h)}(z)$ является основным полем конформной размерности $h\in {\frac {1}{2}}\mathbb {N} ^{*}$ . ^[2] Генераторы $(W_{n}^{(h)})_{n\in \mathbb {Z} }$ алгебры связаны с мероморфными полями модовыми разложениями

W^{(h)}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }W_{n}^{(h)}z^{-n-h}

Коммутационные отношения $L_{n}=W_{n}^{(2)}$ задаются алгеброй Вирасоро , которая параметризуется центральным зарядом $c\in \mathbb {C}$ . Это число еще называют центральным зарядом W-алгебры. Коммутационные отношения

[L_{m},W_{n}^{(h)}]=((h-1)m-n)W_{m+n}^{(h)}

эквивалентны предположению, что $W^{(h)}(z)$ является основным полем измерения $h$ .Остальные коммутационные соотношения в принципе могут быть определены путем решения тождеств Якоби .

Учитывая конечный набор конформных размерностей $H$ (не обязательно все различные), количество W-алгебр, порожденных $(W^{(h)})_{h\in H}$ может быть ноль, один или несколько. Полученные W-алгебры могут существовать для всех $c\in \mathbb {C}$ , или только для некоторых конкретных значений центрального заряда. ^[2]

W-алгебра называется свободно порожденной , если ее образующие не подчиняются никаким иным соотношениям, кроме соотношений коммутации. Наиболее часто изучаемые W-алгебры являются свободно порожденными, включая алгебры W(N). ^[3] В этой статье разделы, посвященные теории представлений и корреляционным функциям, относятся к свободно порождаемым W-алгебрам.

Конструкции

Хотя можно построить W-алгебры, предполагая существование ряда мероморфных полей $W^{(h)}(z)$ и решения тождеств Якоби существуют также систематические конструкции семейств W-алгебр.

Редукция Дринфельда-Соколова

Из конечномерной алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ , вместе с вложением ${\mathfrak {sl}}_{2}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}$ , W-алгебра может быть построена из универсальной обертывающей аффинной алгебры Ли ${\hat {\mathfrak {g}}}$ по типу конструкции БРСТ . ^[2]Тогда центральный заряд W-алгебры является функцией уровня аффинной алгебры Ли.

Строительство Козет

Учитывая конечномерную алгебру Ли ${\mathfrak {g}}$ , вместе с подалгеброй ${\mathfrak {h}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}$ , и W-алгебра $W({\hat {\mathfrak {g}}}/{\hat {\mathfrak {h}}})$ можно построить из соответствующих аффинных алгебр Ли ${\hat {\mathfrak {h}}}\hookrightarrow {\hat {\mathfrak {g}}}$ . Поля, которые генерируют $W({\hat {\mathfrak {g}}}/{\hat {\mathfrak {h}}})$ являются полиномами токов ${\hat {\mathfrak {g}}}$ и их производные, коммутирующие с токами ${\hat {\mathfrak {h}}}$ . ^[2] Центральное обвинение в $W({\hat {\mathfrak {g}}}/{\hat {\mathfrak {h}}})$ представляет собой разность центральных зарядов ${\hat {\mathfrak {g}}}$ и ${\hat {\mathfrak {h}}}$ , которые сами по себе определяются по уровню постройкой Сугавары .

Коммутатор набора отсевов

Учитывая голоморфное поле $\phi (z)$ со значениями в $\mathbb {R} ^{n}$ и набор $n$ векторы $a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} ^{n}$ , W-алгебра может быть определена как набор многочленов $\phi$ и его производные, которые коммутируют с проверочными зарядами $\oint e^{(a_{i},\phi (z))}dz$ . Если векторы $a_{i}$ являются простыми корнями алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ , результирующая W-алгебра совпадает с алгеброй, полученной из ${\mathfrak {g}}$ методом редукции Дринфельда-Соколова. ^[4]

Алгебры W(N)

Для любого целого числа $N\geq 2$ , алгебра W(N) — это W-алгебра, порождённая $N-1$ мероморфные поля размерностей $2,3,\dots ,N$ . Алгебра W(2) совпадает с алгеброй Вирасоро .

Строительство

Алгебра W(N) получается редукцией Дринфельда-Соколова аффинной алгебры Ли ${\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}$ .

Вложения ${\mathfrak {sl}}_{2}\hookrightarrow {\mathfrak {sl}}_{N}$ параметризуются целочисленными разбиениями $N$ , интерпретируемый как разложение фундаментального представления $F$ из ${\mathfrak {sl}}_{N}$ в представления ${\mathfrak {sl}}_{2}$ . Набор $H$ размерностей образующих полученной W-алгебры такова, что $F\otimes F=R_{1}\oplus \bigoplus _{h\in H}R_{2h-1}$ где $R_{d}$ это $d$ -мерное неприводимое представление ${\mathfrak {sl}}_{2}$ . ^[5]

Тривиальный раздел $N=N$ соответствует алгебре W(N), а $N=1+1+\dots +1$ соответствует ${\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}$ сам. В случае $N=3$ , раздел $3=2+1$ приводит к алгебре Бершадского-Полякова, порождающие поля которой имеют размерность $2,{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}},1$ .

Характеристики

Центральный заряд алгебры W(N) задается через уровень $k$ аффинной алгебры Ли

c_{W(N)}=(N-1)\left(1-N(N+1)\left({\frac {1}{k+N}}+k+N-2\right)\right)

в обозначениях, где центральный заряд аффинной алгебры Ли равен

c_{{\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}}=(N-1)(N+1)-{\frac {N(N-1)(N+1)}{k+N}}

Можно выбрать базис так, чтобы коммутационные соотношения были инвариантны относительно $W^{(h)}\to (-1)^{h}W^{(h)}$ .

Хотя алгебра Вирасоро является подалгеброй универсальной обертывающей алгебры ${\widehat {\mathfrak {sl}}}_{2}$ , алгебра W(N) с $N\geq 3$ не является подалгеброй универсальной обертывающей алгебры ${\widehat {\mathfrak {sl}}}_{N}$ . ^[6]

Пример алгебры W(3)

Алгебра W(3) порождается генераторами алгебры Вирасоро $(L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ , плюс еще одно бесконечное семейство генераторов $(W_{n})_{n\in \mathbb {Z} }=(W_{n}^{(3)})_{n\in \mathbb {Z} }$ . Коммутационные отношения ^[2]

[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}m(m^{2}-1)\delta _{m+n,0}

[L_{m},W_{n}]=(2m-n)W_{m+n}

[W_{m},W_{n}]={\frac {c}{360}}m(m^{2}-1)(m^{2}-4)\delta _{m+n,0}+{\frac {16}{22+5c}}\Lambda _{m+n}+{\frac {(m-n)(2m^{2}-mn+2n^{2}-8)}{30}}L_{m+n}

где $c\in \mathbb {C}$ – центральный заряд, и мы определяем

\Lambda _{n}=\sum _{m=-\infty }^{-2}L_{m}L_{n-m}+\sum _{m=-1}^{\infty }L_{n-m}L_{m}-{\frac {3}{10}}(n+2)(n+3)L_{n}

Поле $\Lambda (z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\Lambda _{n}z^{-n-4}$ таков, что $\Lambda =(TT)-{\frac {3}{10}}T''$ .

Теория представлений

Представления с наибольшим весом

Представление W-алгебры с наивысшим весом — это представление, которое порождается первичным состоянием: вектором $v$ такой, что

W_{n>0}^{(h)}v=0\quad ,\quad W_{0}^{(h)}v=q^{(h)}v

для некоторых номеров $q^{(h)}$ называемые зарядами, включая конформную размерность $q^{(2)}=\Delta$ .

Учитывая набор ${\vec {q}}=(q^{(h)})_{h\in H}$ зарядов, соответствующий модуль Вермы является наибольшим представлением с наибольшим весом, которое генерируется первичным состоянием с этими зарядами. Основой модуля Verma является

\left\{\prod _{h\in H}W_{-{\vec {N}}_{h}}^{(h)}v\right\}_{{\vec {N}}_{h}\in {\mathcal {V}}}

где ${\mathcal {V}}$ — множество упорядоченных кортежей строго положительных целых чисел типа ${\vec {N}}=(n_{1},n_{2},\dots ,n_{p})$ с $0<n_{1}\leq n_{2}\leq \dots \leq n_{p}$ , и $W_{-{\vec {N}}}=W_{-n_{1}}W_{-n_{2}}\dots W_{-n_{p}}$ . За исключением $v$ сами элементы этого базиса называются состояниями-потомками, а их линейные комбинации также называются состояниями-потомками.

Для общих значений зарядов модуль Верма является единственным представлением с наивысшим весом. Для особых значений зарядов, которые зависят от центрального заряда алгебры, существуют другие представления с наивысшим весом, называемые вырожденными представлениями. Вырожденные представления существуют, если модуль Верма приводим иони являются факторами модуля Верма по его нетривиальным подмодулям.

Вырожденные представления

Если модуль Вермы приводим, любой неразложимый подмодуль сам по себе является представлением с наивысшим весом и генерируется состоянием, которое является одновременно потомком и основным, называемым нулевым состоянием или нулевым вектором. Вырожденное представление получается путем установки одного или нескольких нулевых векторов в ноль. Установка всех нулевых векторов в ноль приводит к неприводимому представлению.

Структуры и характеры неприводимых представлений могут быть выведены путем редукции Дринфельда-Соколова из представлений аффинных алгебр Ли. ^[7]

Существование нулевых векторов возможно только при $c$ -зависимые ограничения на заряд ${\vec {q}}$ . Модуль Вермы может иметь только конечное число нулевых векторов, которые не являются потомками других нулевых векторов. Если мы начнем с модуля Вермы, который имеет максимальное количество нулевых векторов, и установим все эти нулевые векторы равными нулю, мы получим неприводимое представление, называемое полностью вырожденным представлением.

Например, в случае алгебры W(3) модуль Верма с исчезающими зарядами $q^{(2)}=q^{(3)}=0$ имеет три нулевых вектора $L_{-1}v,W_{-1}v,W_{-2}v$ на уровнях 1, 1 и 2. Установка этих нулевых векторов в ноль дает полностью вырожденное представление, называемое вакуумным модулем. Простейшее нетривиальное полностью вырожденное представление W(3) имеет исчезающие нулевые векторы на уровнях 1, 2 и 3, выражения которых явно известны. ^[8]

Альтернативная характеристика полностью вырожденного представления состоит в том, что его произведение слияния с любым модулем Вермы представляет собой сумму конечного числа неразложимых представлений. ^[8]

Случай W(N)

Представления со старшим весом удобно параметризовать не набором зарядов ${\vec {q}}=(q^{(2)},\dots ,q^{(N)})$ , но элементом $P$ весового пространства ${\mathfrak {sl}}_{N}$ , называемый импульсом.

Позволять $e_{1},\dots ,e_{N-1}$ быть простыми корнями ${\mathfrak {sl}}_{N}$ , со скалярным произведением $K_{ij}=(e_{i},e_{j})$ заданной матрицей Картана ${\mathfrak {sl}}_{N}$ , чьи ненулевые элементы $K_{ii}=2,K_{i,i+1}=K_{i,i-1}=-1$ . ${\frac {1}{2}}N(N-1)$ положительные простые корни — это суммы любого количества последовательных простых корней, а вектор Вейля — их полусумма. $\rho ={\frac {1}{2}}\sum _{e>0}e$ , который подчиняется $(\rho ,\rho )={\frac {1}{12}}N(N^{2}-1)$ . Основные веса $\omega _{1},\dots ,\omega _{N-1}$ определяются $(\omega _{i},e_{j})=\delta _{ij}$ . Тогда импульс является вектором

P=\sum _{i=1}^{N-1}P_{i}\omega _{i}\quad i.e.\quad (e_{i},P)=P_{i}

Обвинения $q^{(h)}$ являются функциями импульса и центрального заряда, инвариантными относительно действия группы Вейля . В частности, $q^{(h)}$ представляет собой многочлен от импульса степени $h$ , что при автоморфизме диаграммы Дынкина $e_{i}^{*}=e_{N-i}$ ведет себя как $q^{(h)}(P^{*})=(-1)^{h}q^{(h)}(P)$ . Конформная размерность ^[9]

q^{(2)}={\frac {c+1-N}{24}}-(P,P)

Параметризуем центральный заряд числом $b$ такой, что

c=(N-1){\big (}1+N(N+1)\left(b+b^{-1}\right)^{2}{\big )}

Если имеется положительный корень $e>0$ и два целых числа $r,s\in \mathbb {N} ^{*}$ такой, что ^[9]

(e,P)=rb+sb^{-1}

тогда модуль импульса Верма $P$ имеет нулевой вектор на уровне $rs$ . Этот нулевой вектор сам по себе является основным состоянием импульса. $P-rbe$ или эквивалентно (посредством отражения Вейля) $P-sb^{-1}e$ .Число независимых нулевых векторов — это количество положительных корней таких, что $(e,P)\in \mathbb {N} ^{*}b+\mathbb {N} ^{*}b^{-1}$ (с точностью до отражения Вейля).

Максимальное количество нулевых векторов - это количество положительных корней. ${\frac {1}{2}}N(N-1)$ . Соответствующие импульсы имеют вид ^[9]

P=(b+b^{-1})\rho +b\Omega ^{+}+b^{-1}\Omega ^{-}

где $\Omega ^{+},\Omega ^{-}$ являются целочисленными доминирующими весами , т.е. элементами $\sum _{i=1}^{N-1}\mathbb {N} \omega _{i}$ , которые являются старшими весами неприводимых конечномерных представлений ${\mathfrak {sl}}_{N}$ . Давайте позвоним ${\mathcal {R}}_{\Omega _{+},\Omega _{-}}$ соответствующее вполне вырожденное представление алгебры W(N).

Неприводимое конечномерное представление $R_{\Omega }$ из ${\mathfrak {sl}}_{N}$ самого большого веса $\Omega$ имеет конечный набор весов $\Lambda _{\Omega }$ , с $|\Lambda _{\Omega }|=\dim(R_{\Omega })$ . Его тензорное произведение с модулем Верма $V_{p}$ веса $p\in \sum _{i=1}^{N-1}\mathbb {R} \omega _{i}$ является $R_{\Omega }\otimes V_{p}=\bigoplus _{\lambda \in \Lambda _{\Omega }}V_{p+\lambda }$ . Продукт слияния полностью вырожденного представления ${\mathcal {R}}_{\Omega _{+},\Omega _{-}}$ W(N) с модулем Верма ${\mathcal {V}}_{P}$ импульса $P$ тогда

{\mathcal {R}}_{\Omega _{+},\Omega _{-}}\times {\mathcal {V}}_{P}=\sum _{\lambda _{+}\in \Lambda _{\Omega _{+}}}\sum _{\lambda _{-}\in \Lambda _{\Omega _{-}}}{\mathcal {V}}_{P+b\lambda _{+}+b^{-1}\lambda _{-}}

Корреляционные функции

Основные поля

До первичного состояния заряда ${\vec {q}}=(q^{(h)})_{h\in H}$ , соответствие поля состояния связывает первичное поле $V_{\vec {q}}(z)$ , операторное произведение которого расширяется полями $W^{(h)}(z)$ являются

W^{(h)}(y)V_{\vec {q}}(z)=\left({\frac {q^{(h)}}{(y-z)^{h}}}+\sum _{n=1}^{h-1}{\frac {W_{-n}^{(h)}}{(y-z)^{h-n}}}\right)V_{\vec {q}}(z)+O(1)

На любом поле $V(z)$ , режим $L_{-1}$ тензора энергии-импульса действует как производная, $L_{-1}V(z)={\frac {\partial }{\partial z}}V(z)$ .

Личности приходов

На сфере Римана, если на бесконечности нет поля, имеем $W^{(h)}(y){\underset {y\to \infty }{=}}O\left(y^{-2h}\right)$ . Для $n=0,1,\dots ,2h-2$ , личность $\oint _{\infty }dy\ y^{n}W^{(h)}(y)=0$ может быть вставлено в любую корреляционную функцию. Следовательно, поле $W^{(h)}(y)$ дает начало $2h-1$ глобальные идентификаторы Уордов.

Идентификаторы местного прихода получаются путем вставки $\oint _{\infty }dy\ \varphi (y)W^{(h)}(y)=0$ , где $\varphi (y)$ — мероморфная функция такая, что $\varphi (y){\underset {y\to \infty }{=}}O\left(y^{2h-2}\right)$ . В корреляционной функции первичных полей локальные тождества Уорда определяют действие $W_{-n}^{(h)}$ с $n\geq h$ с точки зрения действия $W_{-n}^{(h)}$ с $n\leq h-1$ .

Например, в случае трехточечной функции на сфере $\left\langle \prod _{i=1}^{3}V_{{\vec {q}}_{i}}(z_{i})\right\rangle$ W(3)-первичных полей локальные тождества Уорда определяют все трехточечные функции-потомки как линейные комбинации трехточечных функций-потомков, которые включают только $L_{-1},W_{-1},W_{-2}$ . Глобальные тождества Уорда в дальнейшем сводят задачу к определению трехточечных функций типа $\left\langle V_{{\vec {q}}_{1}}(z_{1})V_{{\vec {q}}_{2}}(z_{2})W_{-1}^{k}V_{{\vec {q}}_{3}}(z_{3})\right\rangle$ для $k\in \mathbb {N}$ .

Поэтому в алгебре W(3), как и в общих W-алгебрах, корреляционные функции полей-потомков не могут быть выведены из корреляционных функций первичных полей с использованием тождеств Уорда, как это было в случае алгебры Вирасоро. Модуль AW(3)-Верма появляется в результате слияния двух других модулей W(3)-Верма с кратностью, которая, вообще говоря, бесконечна.

Дифференциальные уравнения

Корреляционная функция может подчиняться дифференциальному уравнению, которое обобщает уравнения БПЗ, если поля имеют достаточно много исчезающих нулевых векторов.

Четырехточечная функция W(N)-примарных полей на сфере с одним вполне вырожденным полем подчиняется дифференциальному уравнению, если $N=2$ но не если $N\geq 3$ . В последнем случае для существования дифференциального уравнения одно из других полей должно иметь исчезающие нулевые векторы. Например, четырехточечная функция с двумя полями импульсов $P_{1}=(b+b^{-1})\rho +b\omega _{1}$ (полностью вырожденный) и $P_{2}=(b+b^{-1})\rho +x\omega _{N-1}$ с $x\in \mathbb {C}$ (почти полностью вырожденное) подчиняется дифференциальному уравнению, решениями которого являются обобщенные гипергеометрические функции типа ${}_{N}F_{N-1}$ . ^[10]

Приложения к конформной теории поля

W-минимальные модели

W-минимальные модели являются обобщениями минимальных моделей Вирасоро, основанных на W-алгебре. Их пространства состояний состоят из конечного числа полностью вырожденных представлений. Они существуют при некоторых рациональных значениях центрального заряда: в случае алгебры W(N) — значения типа

c_{p,q}^{(N)}=N-1-N(N^{2}-1){\frac {(p-q)^{2}}{pq}}\quad {\text{with}}\quad p,q\in \mathbb {N} ^{*}

AW(N)-минимальная модель с центральным зарядом $c_{k+N,k+N+1}$ может быть построено как смежный класс моделей Весса-Зумино-Виттена ${\frac {SU(N)_{k}\times SU(N)_{1}}{SU(N)_{k+1}}}$ . ^[11]

Например, двумерная критическая модель Поттса с тремя состояниями имеет центральный заряд $c_{5,6}^{(2)}=c_{4,5}^{(3)}={\frac {4}{5}}$ . Спиновые наблюдаемые модели могут быть описаны в терминах недиагональной минимальной модели Вирасоро D-серии с $(p,q)=(5,6)$ , или в терминах диагональной W(3)-минимальной модели с $(p,q)=(4,5)$ .

Конформная теория Тоды

Конформная теория Тоды — это обобщение теории Лиувилля , основанное на W-алгебре. Учитывая простую алгебру Ли ${\mathfrak {g}}$ , лагранжиан является функционалом поля $\phi$ который принадлежит корневому пространству ${\mathfrak {g}}$ , с одним членом взаимодействия для каждого простого корня:

L[\phi ]={\frac {1}{2\pi }}(\partial \phi ,{\bar {\partial }}\phi )+\mu \sum _{e\in \{{\text{simple roots of }}{\mathfrak {g}}\}}\exp \left(b(e,\phi )\right)

Это зависит от космологической постоянной $\mu$ , что не играет существенной роли, а по параметру $b$ , что связано с центральным зарядом. Полученная теория поля представляет собой конформную теорию поля, алгебра киральной симметрии которой представляет собой W-алгебру, построенную из ${\mathfrak {g}}$ методом редукции Дринфельда-Соколова.Для сохранения конформной симметрии в квантовой теории принципиально важно, чтобы членов взаимодействия было не больше, чем компоненты вектора $\phi$ . ^[4]

Методы, которые приводят к решению теории Лиувилля, могут быть применены к W(N)-конформной теории Тоды, но они приводят только к аналитическому определению определенного класса трехточечных структурных констант: ^[10] и W(N)-конформная теория Тоды с $N\geq 3$ не решена.

Логарифмическая конформная теория поля

За центральную плату $c=c_{1,q}^{(2)}$ , алгебра Вирасоро может быть расширена тройкой образующих размерности $2q-1$ , образуя таким образом W-алгебру с набором размерностей $H=\{2,2q-1,2q-1,2q-1\}$ . Тогда на основе этой W-алгебры, которая является логарифмической, можно построить рациональную конформную теорию поля. ^[12] Простейший случай получается для $q=2$ , имеет центральный заряд $c=-2$ , и особенно хорошо изучен, в том числе при наличии границы. ^[13]

Связанные понятия

Классические W-алгебры

Конечные W-алгебры

Конечные W-алгебры — это некоторые ассоциативные алгебры, ассоциированные с нильпотентными элементами полупростых алгебр Ли . ^[14]

Исходное определение, данное Александром Преметом, начинается с пары $({\mathfrak {g}},e)$ состоящая из редуктивной алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ над комплексными числами и нильпотентным элементом e .По теореме Джекобсона-Морозова e является частью тройки sl ₂ ( e , h , f ). Разложение по собственным пространствам ad( h ) индуцирует $\mathbb {Z}$ -оценка по ${\mathfrak {g}}$ :

{\mathfrak {g}}=\bigoplus {\mathfrak {g}}(i).

Определите персонажа $\chi$ (т.е. гомоморфизм из ${\mathfrak {g}}$ к тривиальной 1-мерной алгебре Ли) по правилу $\chi (x)=\kappa (e,x)$ , где $\kappa$ обозначает форму Киллинга . Это приводит к невырожденной антисимметричной билинейной форме на градуированной фигуре -1 по правилу:

\omega _{\chi }(x,y)=\chi ([x,y]).

После выбора любого лагранжева подпространства $l$ , мы можем определить следующую нильпотентную подалгебру, которая действует на универсальной обертывающей алгебре присоединенным действием .

{\mathfrak {m}}=l+\bigoplus _{i\leq -2}{\mathfrak {g}}(i).

Левый идеал $I$ универсальной обертывающей алгебры $U({\mathfrak {g}})$ созданный $\{x-\chi (x):x\in {\mathfrak {m}}\}$ инвариантен относительно этого действия. Из краткого расчета следует, что инварианты в $U({\mathfrak {g}})/I$ под объявлением $({\mathfrak {m}})$ наследовать структуру ассоциативной алгебры от $U({\mathfrak {g}})$ . Инвариантное подпространство $(U({\mathfrak {g}})/I)^{{\text{ad}}({\mathfrak {m}})}$ называется конечной W-алгеброй, построенной из $({\mathfrak {g}},e)$ , и обычно обозначается $U({\mathfrak {g}},e)$ .

Ссылки

^ Zamolodchikov, A.B. (1985). "Infinite extra symmetries in two-dimensional conformal quantum field theory". Akademiya Nauk SSSR. Teoreticheskaya I Matematicheskaya Fizika (in Russian). 65 (3): 347–359. ISSN 0564-6162 . MR 0829902 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Уоттс, Джерард М.Т. (1997). «W-алгебры и их представления» (PDF) . В Хорвате — Залан; Палла, Ласло (ред.). Конформные теории поля и интегрируемые модели (Будапешт, 1996) . Конспект лекций по физ. Том. 498. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 55–84. дои : 10.1007/BFb0105278 . ISBN 978-3-540-63618-2 . МР 1636798 . S2CID 117999633 .
^ де Бур, Дж.; Фехер, Л.; Хонеккер, А. (1994). «Класс -алгебр с бесконечно порожденным классическим пределом». Ядерная физика Б . 420 (1–2). Эльзевир Б.В.: 409–445. arXiv : hep-th/9312049 . Бибкод : 1994НуФБ.420..409Д . дои : 10.1016/0550-3213(94)90388-3 . ISSN 0550-3213 . S2CID 11747034 .
^ Jump up to: ^а ^б Литвинов, Алексей; Сподынейко, Лев (2016). «О W-алгебрах, коммутирующих с множеством экранировок». Журнал физики высоких энергий . 2016 (11): 138. arXiv : 1609.06271 . Бибкод : 2016JHEP...11..138L . дои : 10.1007/jhep11(2016)138 . ISSN 1029-8479 . S2CID 29261029 .
^ Крейциг, Томас; Хикида, Ясуаки; Рённе, Питер Б. (2016). «Соответствия между моделями WZNW и CFT с симметрией W-алгебры». Журнал физики высоких энергий . 2016 (2): 48. arXiv : 1509.07516 . Бибкод : 2016JHEP...02..048C . дои : 10.1007/jhep02(2016)048 . ISSN 1029-8479 . S2CID 44722579 .
^ Букнегт, Питер; Схоутенс, Карельян (1993). «W-симметрия в конформной теории поля». Отчеты по физике . 223 (4): 183–276. arXiv : hep-th/9210010 . Бибкод : 1993PhR...223..183B . дои : 10.1016/0370-1573(93)90111-П . ISSN 0370-1573 . МР 1208246 . S2CID 118959569 .
^ Де Вос, Коос; ван Дрил, Питер (1996). «Гипотеза Каждана–Люстига для W-алгебр». Журнал математической физики . 37 (7). Издательство AIP: 3587–3610. arXiv : hep-th/9508020 . Бибкод : 1996JMP....37.3587D . дои : 10.1063/1.531584 . ISSN 0022-2488 . S2CID 119348884 .
^ Jump up to: ^а ^б Уоттс, GMT (1995). «Слияние в алгебре W3». Связь в математической физике . 171 (1): 87–98. arXiv : hep-th/9403163 . дои : 10.1007/bf02103771 . ISSN 0010-3616 . S2CID 86758219 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Фатеев Владимир; Рибо, Сильвен (2010). «Конформная теория Тоды с границей». Журнал физики высоких энергий . 2010 (12): 089. arXiv : 1007.1293 . Бибкод : 2010JHEP...12..089F . дои : 10.1007/jhep12(2010)089 . ISSN 1029-8479 . S2CID 17631088 .
^ Jump up to: ^а ^б Фатеев В.А.; Литвинов, А.В. (05.11.2007). «Корреляционные функции в конформной теории поля Тоды I». Журнал физики высоких энергий . 2007 (11): 002. arXiv : 0709.3806 . Бибкод : 2007JHEP...11..002F . дои : 10.1088/1126-6708/2007/11/002 . ISSN 1029-8479 . S2CID 8189544 .
^ Чанг, Чи-Мин; Инь, Си (2012). «Пересмотр корреляторов в минимальной модели WN». Журнал физики высоких энергий . 2012 (10). arXiv : 1112.5459 . дои : 10.1007/jhep10(2012)050 . ISSN 1029-8479 . S2CID 119114132 .
^ Габердиэль, Матиас Р.; Кауш, Хорст Г. (1996). «Рациональная логарифмическая конформная теория поля». Буквы по физике Б. 386 (1–4). Эльзевир Б.В.: 131–137. arXiv : hep-th/9606050 . Бибкод : 1996PhLB..386..131G . дои : 10.1016/0370-2693(96)00949-5 . ISSN 0370-2693 . S2CID 13939686 .
^ Габердиэль, Маттиас Р; Рункель, Инго (08 ноября 2006 г.). «Теория логарифмического тройка с границей». Журнал физики A: Математический и общий . 39 (47): 14745–14779. arXiv : hep-th/0608184 . Бибкод : 2006JPhA...3914745G . дои : 10.1088/0305-4470/39/47/016 . ISSN 0305-4470 . S2CID 10719319 .
^ Ван, Вэйцян (2011). «Нильпотентные орбиты и конечные W-алгебры». Ин Неер, Эрхард; Сэвидж, Алистер; Ван, Вэйцян (ред.). Геометрическая теория представлений и расширенные аффинные алгебры Ли . Серия коммуникаций Института Филдса. Том. 59. Провиденс Р.И. стр. 71–105. arXiv : 0912.0689 . Бибкод : 2009arXiv0912.0689W . ISBN 978-082185237-8 . МР 2777648 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

Дальнейшее чтение

де Бур, Ян; Тьин, Тьярк (1993), «Квантование и теория представлений конечных W-алгебр» , Communications in Mathematical Physics , 158 (3): 485–516, arXiv : hep-th/9211109 , Bibcode : 1993CMaPh.158..485D , doi : 10.1007/bf02096800 , ISSN 0010-3616 , MR 1255424 , S2CID 204933347
Букнегт, П.; Схоутенс, К., ред. (1995), W-симметрия , Расширенная серия по математической физике, вып. 22, Ривер-Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co., doi : 10.1142/2354 , ISBN 978-981021762-4 , МР 1338864
Браун, Джонатан, Конечные W-алгебры классического типа (PDF)
Дики, Луизиана (1997), «Лекции по классическим W-алгебрам», Журнал прикладной математики , 47 (3): 243–321, doi : 10.1023/A:1017903416906 , ISSN 0167-8019 , S2CID 118573600
Ган, Ви Лян; Гинзбург, Виктор (2002), «Квантование срезов Слодовы», International Mathematics Research Notes , 2002 (5): 243–255, arXiv : math/0105225 , doi : 10.1155/S107379280210609X , ISSN 1073-7928 , MR 1876 934 , S2CID 13895488
Лосев, Иван (2010), «Квантованные симплектические действия и W-алгебры», Журнал Американского математического общества , 23 (1): 35–59, arXiv : 0707.3108 , Bibcode : 2010JAMS...23...35L , doi : 10.1090/S0894-0347-09-00648-1 , ISSN 0894-0347 , MR 2552248 , S2CID 16211165
Поуп, CN (1991), Лекции по W-алгебрам и W-гравитации , Лекции, прочитанные в Триестской летней школе по физике высоких энергий, август 1991 г., arXiv : hep-th/9112076 , Bibcode : 1991hep.th...12076P

[zamo-1] Zamolodchikov, A.B. (1985). "Infinite extra symmetries in two-dimensional conformal quantum field theory". Akademiya Nauk SSSR. Teoreticheskaya I Matematicheskaya Fizika (in Russian). 65 (3): 347–359. ISSN 0564-6162 . MR 0829902 .

[watts-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Уоттс, Джерард М.Т. (1997). «W-алгебры и их представления» (PDF) . В Хорвате — Залан; Палла, Ласло (ред.). Конформные теории поля и интегрируемые модели (Будапешт, 1996) . Конспект лекций по физ. Том. 498. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 55–84. дои : 10.1007/BFb0105278 . ISBN 978-3-540-63618-2 . МР 1636798 . S2CID 117999633 .

[bfh93-3] де Бур, Дж.; Фехер, Л.; Хонеккер, А. (1994). «Класс -алгебр с бесконечно порожденным классическим пределом». Ядерная физика Б . 420 (1–2). Эльзевир Б.В.: 409–445. arXiv : hep-th/9312049 . Бибкод : 1994НуФБ.420..409Д . дои : 10.1016/0550-3213(94)90388-3 . ISSN 0550-3213 . S2CID 11747034 .

[ls16-4] Jump up to: ^а ^б Литвинов, Алексей; Сподынейко, Лев (2016). «О W-алгебрах, коммутирующих с множеством экранировок». Журнал физики высоких энергий . 2016 (11): 138. arXiv : 1609.06271 . Бибкод : 2016JHEP...11..138L . дои : 10.1007/jhep11(2016)138 . ISSN 1029-8479 . S2CID 29261029 .

[chr16-5] Крейциг, Томас; Хикида, Ясуаки; Рённе, Питер Б. (2016). «Соответствия между моделями WZNW и CFT с симметрией W-алгебры». Журнал физики высоких энергий . 2016 (2): 48. arXiv : 1509.07516 . Бибкод : 2016JHEP...02..048C . дои : 10.1007/jhep02(2016)048 . ISSN 1029-8479 . S2CID 44722579 .

[bs93-6] Букнегт, Питер; Схоутенс, Карельян (1993). «W-симметрия в конформной теории поля». Отчеты по физике . 223 (4): 183–276. arXiv : hep-th/9210010 . Бибкод : 1993PhR...223..183B . дои : 10.1016/0370-1573(93)90111-П . ISSN 0370-1573 . МР 1208246 . S2CID 118959569 .

[vd96-7] Де Вос, Коос; ван Дрил, Питер (1996). «Гипотеза Каждана–Люстига для W-алгебр». Журнал математической физики . 37 (7). Издательство AIP: 3587–3610. arXiv : hep-th/9508020 . Бибкод : 1996JMP....37.3587D . дои : 10.1063/1.531584 . ISSN 0022-2488 . S2CID 119348884 .

[wat94-8] Jump up to: ^а ^б Уоттс, GMT (1995). «Слияние в алгебре W3». Связь в математической физике . 171 (1): 87–98. arXiv : hep-th/9403163 . дои : 10.1007/bf02103771 . ISSN 0010-3616 . S2CID 86758219 .

[fr10-9] Jump up to: ^а ^б ^с Фатеев Владимир; Рибо, Сильвен (2010). «Конформная теория Тоды с границей». Журнал физики высоких энергий . 2010 (12): 089. arXiv : 1007.1293 . Бибкод : 2010JHEP...12..089F . дои : 10.1007/jhep12(2010)089 . ISSN 1029-8479 . S2CID 17631088 .

[fl07-10] Jump up to: ^а ^б Фатеев В.А.; Литвинов, А.В. (05.11.2007). «Корреляционные функции в конформной теории поля Тоды I». Журнал физики высоких энергий . 2007 (11): 002. arXiv : 0709.3806 . Бибкод : 2007JHEP...11..002F . дои : 10.1088/1126-6708/2007/11/002 . ISSN 1029-8479 . S2CID 8189544 .

[cy12-11] Чанг, Чи-Мин; Инь, Си (2012). «Пересмотр корреляторов в минимальной модели WN». Журнал физики высоких энергий . 2012 (10). arXiv : 1112.5459 . дои : 10.1007/jhep10(2012)050 . ISSN 1029-8479 . S2CID 119114132 .

[gk96-12] Габердиэль, Матиас Р.; Кауш, Хорст Г. (1996). «Рациональная логарифмическая конформная теория поля». Буквы по физике Б. 386 (1–4). Эльзевир Б.В.: 131–137. arXiv : hep-th/9606050 . Бибкод : 1996PhLB..386..131G . дои : 10.1016/0370-2693(96)00949-5 . ISSN 0370-2693 . S2CID 13939686 .

[gr06-13] Габердиэль, Маттиас Р; Рункель, Инго (08 ноября 2006 г.). «Теория логарифмического тройка с границей». Журнал физики A: Математический и общий . 39 (47): 14745–14779. arXiv : hep-th/0608184 . Бибкод : 2006JPhA...3914745G . дои : 10.1088/0305-4470/39/47/016 . ISSN 0305-4470 . S2CID 10719319 .

[wang-14] Ван, Вэйцян (2011). «Нильпотентные орбиты и конечные W-алгебры». Ин Неер, Эрхард; Сэвидж, Алистер; Ван, Вэйцян (ред.). Геометрическая теория представлений и расширенные аффинные алгебры Ли . Серия коммуникаций Института Филдса. Том. 59. Провиденс Р.И. стр. 71–105. arXiv : 0912.0689 . Бибкод : 2009arXiv0912.0689W . ISBN 978-082185237-8 . МР 2777648 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]