Критическая модель Поттса с тремя состояниями

, CFT Поттса с тремя состояниями также известный как $\mathbb {Z} _{3}$ парафермион CFT — это конформная теория поля в двух измерениях. Это минимальная модель с центральной зарядкой. $c=4/5$. Считается простейшей минимальной моделью с недиагональной статистической суммой в характерах Вирасоро , а также простейшей нетривиальной КТМ с W-алгеброй в качестве симметрии.

Характеристики

В критической модели Поттса с тремя состояниями основное внимание уделяется $c=4/5$, и, таким образом, принадлежит к дискретному семейству унитарных минимальных моделей с центральным зарядом меньше единицы. Эти конформные теории поля полностью классифицированы и по большей части хорошо поняты.

Модульная статистическая сумма критической модели Поттса с тремя состояниями определяется выражением

$Z=|\chi _{1,1}+\chi _{4,1}|^{2}+|\chi _{2,1}+\chi _{3,1}|^{2}+2|\chi _{4,3}|^{2}+2|\chi _{3,3}|^{2}$

Здесь $\chi _{r,s}(q)\equiv {\textrm {Tr}}_{(r,s)}(q^{L_{0}-c/24})$ относится к символу Вирасоро, найденному путем трассировки модуля Верма, сгенерированного основным оператором Вирасоро, помеченным целыми числами. $r,s$. Маркировка $(r,s)$ является стандартным соглашением для основных операторов $c<1$ минимальные модели.

Более того, критическая модель Поттса с тремя состояниями симметрична не только относительно алгебры Вирасоро, но и относительно расширенной алгебры, называемой W-алгеброй , которая включает алгебру Вирасоро, а также некоторые токи со спином 3. Локальные голоморфные праймериз W имеют вид $1,\epsilon ,\sigma _{1},\sigma _{2},\psi _{1},\psi _{2}$. Локальные антиголоморфные праймериз W аналогично задаются формулой $1,{\bar {\epsilon }},{\bar {\sigma }}_{1},{\bar {\sigma }}_{2},{\bar {\psi }}_{1},{\bar {\psi }}_{2}$ с теми же масштабными размерами. Каждое поле в теории является либо комбинацией голоморфного и антиголоморфного первичного поля W-алгебры, либо потомком такого поля, порожденного действием генераторов W-алгебры. Некоторые праймериз алгебры Вирасоро, такие как $(3,1)$ первичные, не являются первичными алгебры W.

Хиральные праймериз W в критической модели Поттса с тремя состояниями

Начальный	Измерение	$\mathbb {Z} _{3}$ заряжать	Закрыть ярлык
$1$	0	0	(1,1)+(4,1)
$\epsilon$	2/5	0	(2,1)+(3,1)
$\psi _{1}$	2/3	1	(1,3)
$\psi _{2}$	2/3	-1	(1,3)
$\sigma _{1}$	1/15	1	(3,3)
$\sigma _{2}$	1/15	-1	(3,3)

Статистическая сумма является диагональной, если выражаться через характеры W-алгебры (где следы берутся по неприводимым представлениям алгебры W, а не по неприводимым представлениям алгебры Вирасоро). С $\chi _{1}=\chi _{1,1}+\chi _{4,1}$ и $\chi _{\epsilon }=\chi _{2,1}+\chi _{3,1}$, мы можем написать

$Z=|\chi _{1}|^{2}+|\chi _{\epsilon }|^{2}+|\chi _{\psi _{1}}|^{2}+|\chi _{\psi _{2}}|^{2}+|\chi _{\sigma _{1}}|^{2}+|\chi _{\sigma _{2}}|^{2}$

Операторы $\sigma _{1},\sigma _{2},\psi _{1},\psi _{2}$ взимаются под действием глобального $\mathbb {Z} _{3}$ симметрия. То есть в условиях глобального глобального $\mathbb {Z} _{3}$ трансформация, они набирают фазы $\sigma _{a}\to e^{2\pi ia/3}\sigma _{a}$ и $\psi _{a}\to e^{2\pi ia/3}\psi _{a}$ для $a=1,2$. Правила слияния, управляющие расширением продукта оператора с участием этих полей, учитывают действие этого $\mathbb {Z} _{3}$ трансформация. Существует также симметрия зарядового сопряжения, которая меняет местами $\sigma _{1}\leftrightarrow \sigma _{2},\psi _{1}\leftrightarrow \psi _{2}$. Иногда обозначения $\sigma ,\sigma ^{\dagger },\psi ,\psi ^{\dagger }$ в литературе используется вместо $\sigma _{1},\sigma _{2},\psi _{1},\psi _{2}$.

Критическая модель Поттса с тремя состояниями - одна из двух существующих модульно-инвариантных конформных теорий поля с центральным зарядом. $c=4/5$. Другая такая теория - тетракритическая модель Изинга, которая имеет диагональную статистическую сумму в терминах персонажей Вирасоро. Можно получить критическую модель Поттса с тремя состояниями из тетракритической модели Изинга, применив $\mathbb {Z} _{2}$ орбифолдное преобразование к последнему.

Решеточные гамильтонианы

Критическая конформная теория Поттса с тремя состояниями может быть реализована как низкоэнергетическая эффективная теория при фазовом переходе одномерной квантовой модели Поттса с тремя состояниями.

Гамильтониан квантовой модели Поттса с тремя состояниями имеет вид

$H=-J(\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger }))$

Здесь $J$ и $g$ являются положительными параметрами. Первый член связывает степени свободы на ближайших соседних узлах решетки. $X$ и $Z$ являются $3\times 3$ матрицы часов удовлетворяют $X^{3}=Z^{3}=1$ и односайтовое коммутационное отношение $ZX=\omega XZ$ где $\omega =-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

Этот гамильтониан симметричен относительно любой перестановки трех $Z$ собственные состояния на каждом сайте, при условии, что на каждом сайте выполняется одна и та же перестановка. Таким образом, говорят, что он имеет глобальную $S_{3}$ симметрия. А $\mathbb {Z} _{3}$ подгруппа этой симметрии порождается унитарным оператором $\prod _{j}X_{j}$.

В одном измерении модель имеет две фазы с зазором: упорядоченную фазу и неупорядоченную фазу. Упорядоченная фаза возникает при $0<g<1$ и характеризуется ненулевым математическим ожиданием основного состояния параметра порядка $Z_{j}$ на любом сайте $j$. Основное состояние на этом этапе явно нарушает глобальную $S_{3}$ симметрии и, следовательно, трехкратно вырождено. Неупорядоченная фаза возникает при $g>1$ и характеризуется одним основным состоянием. Между этими двумя фазами происходит фазовый переход при $g=1$. При этом конкретном значении $g$, гамильтониан является бесщелевым с энергией основного состояния $E_{0}=-({\frac {4}{3}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }})JL$, где $L$ это длина цепи. Другими словами, в пределе бесконечно длинной цепочки собственные значения гамильтониана с наименьшей энергией расположены бесконечно близко друг к другу. Как и в случае большинства одномерных бесщелевых теорий, физику низких энергий модели Поттса с 3 состояниями можно описать с помощью 1+1-мерной конформной теории поля; в этой конкретной решеточной модели эта конформная теория поля является не чем иным, как критической моделью Поттса с тремя состояниями.

Соответствие решетчатого оператора

Под действием потока ренормгруппы решеточные операторы в квантовой модели Поттса с тремя состояниями переходят в поля конформной теории поля. В общем, понять, какие операторы переходят в какие поля, сложно и не очевидно. Аналитические и численные аргументы предполагают следующее соответствие между несколькими операторами решетки и полями CFT. Индексы решетки $j$ сопоставить соответствующие позиции полей $z,{\bar {z}}$ в пространстве-времени, а префакторы неуниверсальных действительных чисел игнорируются.

• $Z_{j}\sim \Phi _{\sigma _{1},{\bar {\sigma }}_{1}}(z,{\bar {z}})$, ${\frac {2}{15}}$-мерное поле, состоящее из голоморфной и антиголоморфной частей $\sigma _{1}(z)$ и ${\bar {\sigma }}_{1}({\bar {z}})$
• $Z_{j}^{\dagger }\sim \Phi _{\sigma _{2},{\bar {\sigma }}_{2}}(z,{\bar {z}})$
• $Z_{j}Z_{j+1}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}(X_{j}+X_{j+1})+{\textrm {h.c.}}\sim \Phi _{\epsilon ,{\bar {\epsilon }}}(z,{\bar {z}})$ . Как можно видеть на языке решетки, добавление этого оператора в каждый узел гамильтониана приводит к настройке $g$ от 1. Этот оператор называется тепловым оператором, поскольку в классической статистической механике, аналоге модели квантовой решетки, настройка $g$ будет эквивалентно изменению температуры в сторону от критической.
• $-Z_{j}Z_{j+1}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}(X_{j}+X_{j+1})+{\textrm {h.c.}}+{\frac {4}{3}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}\sim T(z)+{\bar {T}}({\bar {z}})$, поле тензора энергии-импульса размерности 2.
• $Z_{j}(2-3\omega ^{2}X_{j}-3\omega X_{j}^{2})-2Z_{j}^{\dagger }(Z_{j-1}^{\dagger }+Z_{j+1}^{\dagger })\sim \psi _{1}(z){\bar {\psi }}_{1}({\bar {z}})$