Уравнения Васильева

Уравнения Васильева — это формально непротиворечивые калибровочно-инвариантные нелинейные уравнения, линеаризация которых по конкретному вакуумному решению описывает свободные безмассовые поля с высшим спином в антиде-ситтеровском пространстве . Уравнения Васильева являются классическими уравнениями, и неизвестен ни один лагранжиан с двумя производными , который начинается с канонического лагранжиана Френсдала и завершается членами взаимодействия. Существует ряд вариаций уравнений Васильева, которые работают в трех, четырех и произвольном количестве измерений пространства-времени. Уравнения Васильева допускают суперсимметричные расширения с любым количеством суперсимметрий и допускают калибровку Янга – Миллса . Уравнения Васильева не зависят от фона, простейшим точным решением является пространство антиде Ситтера. Важно отметить, что локальность не реализована должным образом, и уравнения дают решение определенной формальной процедуры деформации, которую трудно отобразить на языке теории поля. с более высоким спином Соответствие AdS/CFT рассматривается в статье о теории более высокого спина .

Уравнения Васильева являются порождающими уравнениями и дают дифференциальные уравнения в пространстве-времени при их порядковом решении относительно определенных вспомогательных направлений. Уравнения основаны на нескольких ингредиентах: развернутых уравнениях и алгебрах с высшим спином.

Представленное ниже изложение организовано таким образом, чтобы уравнения Васильева были разбиты на строительные блоки, а затем объединены их вместе. Пример четырехмерных бозонных уравнений Васильева рассматривается подробно, поскольку все остальные измерения и суперсимметричные обобщения являются простыми модификациями этого базового примера.

• дается определение алгебры высшего спина , поскольку уравнения теории высшего спина оказываются уравнениями для двух полей, принимающих значения в алгебре высшего спина;
• определяется конкретное звездное произведение, в котором принимают значения поля, входящие в уравнения Васильева;
• часть уравнений Васильева связана с интересной деформацией Гармонического осциллятора, называемой деформированными осцилляторами , которая и рассматривается;
• порядка ; обсуждается развернутый подход, представляющий собой несколько усовершенствованную форму записи дифференциальных уравнений в форме первого
• приведены уравнения Васильева;
• доказано, что линеаризация уравнений Васильева в антиде-ситтеровском пространстве описывает свободные безмассовые поля высших спинов.

Известны три варианта уравнений Васильева: четырехмерный, трехмерный и d-мерный. Они отличаются небольшими деталями, о которых речь пойдет ниже.

Алгебры высших спинов

Алгебры высших спинов являются глобальными симметриями мультиплета теории высших спинов. В то же время их можно определить как глобальные симметрии некоторых конформных теорий поля (CFT), лежащих в основе кинематической части высокоспинового соответствия AdS/CFT , которое является частным случаем AdS/CFT . Другое определение состоит в том, что алгебры с более высоким спином являются факторами универсальной обертывающей алгебры анти-де Ситтеровой алгебры. $so(d,2)$ некоторыми двусторонними идеалами. Существуют некоторые более сложные примеры алгебр с более высоким спином, но все они могут быть получены путем тензоризации простейших алгебр с более высоким спином матричными алгебрами и последующего наложения дополнительных ограничений. Алгебры с высшим спином возникают как ассоциативные алгебры , и алгебру Ли можно построить с помощью коммутатора.

В случае четырехмерной бозонной теории высшего спина соответствующая алгебра высшего спина очень проста благодаря ${\textstyle so(3,2)\sim sp(4,\mathbb {R} )}$ и может быть построен на основе двумерного квантового гармонического генератора . В последнем случае две пары операторов создания/уничтожения ${\textstyle a_{1},a_{1}^{\dagger },a_{2},a_{2}^{\dagger }}$ необходимы. Их можно упаковать в квартет. ${\textstyle {\hat {Y}}^{A},A=1,...,4}$ операторов, подчиняющихся каноническим коммутационным соотношениям

$[{\hat {Y}}^{A},{\hat {Y}}^{B}]=2iC^{AB}\,,$

где ${\textstyle C^{AB}=-C^{BA}}$ это ${\textstyle sp(4)}$ тензор инвариантен, т. е. он антисимметричен. Как известно, билинейные модели обеспечивают осцилляторную реализацию ${\textstyle sp(4)}$:

$T^{AB}=-{\frac {i}{4}}\{{\hat {Y}}^{A},{\hat {Y}}^{B}\}\,,\qquad [T^{AB},T^{CD}]=T^{AD}C^{BC}+{\text{3 more}}\,.$

Алгебра высшего спина определяется как алгебра всех четных функций. ${\textstyle f({\hat {Y}}),f({\hat {Y}})=f(-{\hat {Y}})}$ в ${\textstyle {\hat {Y}}^{A}}$. То, что функции четны, соответствует бозонному содержанию теории высших спинов, поскольку ${\textstyle {\hat {Y}}^{A}}$ будет показано, что они связаны со спинорами Майораны с точки зрения пространства-времени и даже степеней ${\textstyle {\hat {Y}}^{A}}$ соответствуют тензорам. Это ассоциативная алгебра, и ее произведение удобно реализовать с помощью звездного произведения Мойала :

$(f\star g)(Y)=f(Y)\exp i\left({{\frac {\overleftarrow {\partial }}{\partial Y^{A}}}C^{AB}{\frac {\overrightarrow {\partial }}{\partial Y^{B}}}}\right)g(Y)\,,$

в том смысле, что алгебра операторов ${\textstyle f({\hat {Y}})}$ можно заменить алгеброй функции ${\textstyle f(Y)}$ в обычных коммутирующих переменных ${\textstyle {Y}^{A}}$ (снимаю шляпу), и произведение необходимо заменить на некоммутативное звездообразное произведение. Например, можно найти

$(Y^{A}\star g)(Y)=(Y^{A}+iC^{AB}\partial _{B})g(Y)\,,\qquad (f\star Y^{B})(Y)=(Y^{B}-iC^{BA}\partial _{B})f(Y)\,,$

и поэтому ${\textstyle Y^{A}\star Y^{B}-Y^{B}\star Y^{A}=[Y^{A},Y^{B}]_{\star }=2iC^{AB}}$ как это было бы в случае с операторами. На практике более полезно другое представление того же звездного продукта:

$(f\star g)(Y)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int dUdVf(Y+U)g(Y+V)e^{iU_{A}V_{B}C^{AB}}\,.$

Экспоненциальную формулу можно получить путем интегрирования по частям и исключения граничных членов. Префактор выбран таким образом, чтобы обеспечить $1\star 1=1$. В лоренц-ковариантной базе мы можем разделить ${\textstyle A=\alpha ,{\dot {\alpha }};\alpha =1,2;{\dot {\alpha }}=1,2}$ и мы тоже разделились $Y^{A}=y^{\alpha },y^{\dot {\alpha }}$. Тогда генераторы Лоренца ${\textstyle L^{\alpha \beta }=T^{\alpha \beta }}$, ${\textstyle {\bar {L}}^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}=T^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}}$ и генераторы перевода ${\textstyle P^{\alpha {\dot {\beta }}}=T^{{\alpha }{\dot {\beta }}}}$. ${\textstyle \pi }$-автоморфизм может быть реализован двумя эквивалентными способами: либо как ${\textstyle \pi (y^{\alpha })=-y^{\alpha },\pi (y^{\dot {\alpha }})=y^{\dot {\alpha }}}$ или как ${\textstyle \pi (y^{\alpha })=Y^{\alpha },\pi (y^{\dot {\alpha }})=-y^{\dot {\alpha }}}$. В обоих случаях генераторы Лоренца остаются нетронутыми и меняется знак трансляции.

Можно показать, что построенная выше алгебра высшего спина является алгеброй симметрии трехмерного уравнения Клейна – Гордона. $\square _{3}\phi (x)=0$. Рассматривая более общие свободные CFT, например, несколько скаляров плюс несколько фермионов, поле Максвелла и т. д., можно построить больше примеров алгебр с более высоким спином.

Васильев звездный продукт

Уравнения Васильева — это уравнения в некотором большем пространстве, наделенные вспомогательными направлениями, которые необходимо решить. Дополнительные направления задаются двойниками ${\textstyle {Y}^{A}}$, называется ${\textstyle {Z}^{A}}$, которые, кроме того, запутаны с Y. Звездное произведение в алгебре функций из ${\textstyle f(Y,Z)}$ в ${\textstyle {Y},Z}$-переменные

$F(Y,Z)\star G(Y,Z)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int dU\,dV\,F(Y+U,Z+U)G(Y+V,Z-V)\exp {[iU_{A}V_{B}C^{AB}]}\,.$

Интегральная формула, приведенная выше, представляет собой особое звездообразное произведение, соответствующее порядку Вейля среди Y и среди Z с противоположными знаками для коммутатора:

$[Y^{A},Y^{B}]=2iC^{AB}\,,\qquad \qquad [Z^{A},Z^{B}]=-2iC^{AB}\,.$

Более того, звездное произведение YZ является нормально упорядоченным относительно YZ и Y+Z, как это видно из

${\begin{aligned}F(a,a^{\dagger })\star G(a,a^{\dagger })&={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int dU\,dV\,F(a+2U,a^{\dagger })G(a,a^{\dagger }+2V)\exp {[iU_{A}V_{B}C^{AB}]}\,,&\quad a=Y+Z\,,a^{\dagger }=Y-Z\end{aligned}}$

Алгебра высшего спина является ассоциативной подалгеброй в расширенной алгебре. В соответствии с бозонной проекцией имеет вид $f(Y,Z)=f(-Y,-Z)$.

Деформированные осцилляторы

Существенная часть уравнений Васильева основана на интересной деформации квантового гармонического осциллятора , известной как деформированные осцилляторы. Прежде всего, упакуем обычные операторы создания и уничтожения. ${\textstyle a^{\dagger },a}$ в дублете ${\textstyle q_{\alpha }\,,\alpha =1,2}$. Канонические коммутационные соотношения (т. ${\textstyle 2i}$-факторы введены для облегчения сравнения с уравнениями Васильева)

$\left[q_{\alpha },q_{\beta }\right]=-2i\epsilon _{\alpha \beta }\,,\qquad \epsilon _{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\,,$

можно использовать для доказательства того, что билинейные числа в $q_{\alpha }$ форма $sp(2)\sim sl(2)$ генераторы

${\begin{aligned}T_{\alpha \beta }&={\frac {i}{4}}\{q_{\alpha },q_{\beta }\}\,,\\\left[T_{\alpha \beta },q_{\gamma }\right]&=q_{\alpha }\epsilon _{\beta \gamma }+q_{\beta }\epsilon _{\alpha \gamma }\,,\\\left[T_{\alpha \beta },T_{\gamma \delta }\right]&=T_{\alpha \delta }\epsilon _{\beta \gamma }+T_{\beta \delta }\epsilon _{\alpha \gamma }+T_{\alpha \gamma }\epsilon _{\beta \delta }+T_{\beta \gamma }\epsilon _{\alpha \delta }\,.\end{aligned}}$

В частности, $T_{\alpha \beta }$ вращается $q_{\alpha }$ как $sp(2)$-вектор с $\epsilon _{\alpha \beta }$ играя роль $sp(2)$-инвариантная метрика. Определены деформированные осцилляторы добавив к набору генераторов дополнительный порождающий элемент $Q$ и постулирование

$\{q_{\alpha },Q\}=0\,,\qquad \left[q_{\alpha },q_{\beta }\right]=-2i\epsilon _{\alpha \beta }(1+Q)\,.$

Опять же, это можно увидеть $T_{\alpha \beta }$, как определено выше, образуют $sp(2)$-генераторы и правильно вращаются $q_{\alpha }$. В $Q=0$ мы возвращаемся к недеформированным осцилляторам. Фактически, $q_{\alpha }$ и $T_{\alpha \beta }$ образуют генераторы супералгебры Ли $osp(1|2)$, где $q_{\alpha }$ следует рассматривать как нечетные генераторы. Затем, $\{q_{\alpha },q_{\beta }\}=-4iT_{\alpha \beta }$ является частью определяющих отношений $osp(1|2)$. Одна (или две) копии деформированных осцилляторных соотношений входят в состав уравнений Васильева, в которых генераторы заменены полями, а коммутационные соотношения заданы в виде уравнений поля.

Развернутые уравнения

Уравнения для полей с более высокими спинами происходят из уравнений Васильева в развернутой форме. Любую систему дифференциальных уравнений можно привести к форме первого порядка, введя вспомогательные поля для обозначения производных. Развернутый подход представляет собой продвинутую переформулировку этой идеи, учитывающую калибровочные симметрии и диффеоморфизмы. Вместо того, чтобы просто ${\textstyle \partial _{\mu }\phi ^{i}(x)=f_{\mu }^{i}(\phi )}$ развернутые уравнения записываются на языке дифференциальных форм как

$dW^{A}=F^{A}(W)\,,$

где переменные являются дифференциальными формами ${\textstyle W^{A}=W_{\mu _{1}...\mu _{q}}^{A}(x)\,dx^{\mu _{1}}\wedge ...\wedge dx^{\mu _{q}}}$ различных степеней, перечисляемых абстрактным индексом ${\textstyle A}$; ${\textstyle d}$ является внешней производной ${\textstyle d=dx^{\mu }\partial _{\mu }}$. Структурная функция ${\textstyle F^{A}(W)}$ предполагается расширяемым в серии Тейлора для внешнего продукта, как

$F^{A}(W)=\sum _{q_{1}+...+q_{n}=q+1}F_{B_{1}...B_{n}}^{A}W^{B_{1}}\wedge ...\wedge W^{B_{n}}\,,$

где ${\textstyle W^{A}}$ имеет степень формы ${\textstyle q}$ и сумма ведется по всем формам, сумма степеней формы которых равна ${\textstyle q+1}$. Простейшим примером развернутых уравнений являются уравнения нулевой кривизны. ${\textstyle d\omega ={\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]}$ для одноформового соединения ${\textstyle \omega }$ любой алгебры Ли ${\textstyle {\mathfrak {g}}}$. Здесь ${\textstyle A}$ пробегает базу алгебры Ли, а структурная функция ${\textstyle F^{A}(\omega )=f_{BC}^{A}\,\omega ^{A}\wedge \omega ^{B}}$ кодирует структурные константы алгебры Ли.

С ${\textstyle dd\equiv 0}$ непротиворечивость развернутых уравнений требует

$0\equiv ddW^{A}=dF^{A}(W)=dW^{B}{\frac {\partial }{\partial W^{B}}}F^{A}(W)=F^{B}{\frac {\partial }{\partial W^{B}}}F^{A}(W)\qquad \longleftrightarrow \qquad F^{B}{\frac {\partial }{\partial W^{B}}}F^{A}(W)=0\,,$

что является условием интегрируемости Фробениуса . В случае уравнения нулевой кривизны это тождество Якоби. Если система интегрируема, можно показать, что она обладает определенной калибровочной симметрией. Каждое поле ${\textstyle W^{A}}$ это форма ненулевой степени ${\textstyle q}$ обладает калибровочным параметром ${\textstyle \xi ^{A}}$ это форма степени ${\textstyle q-1}$ и калибровочные преобразования

$\delta W^{A}=d\xi ^{A}+\xi ^{B}{\frac {\partial }{\partial W^{B}}}F^{A}(W)$

Уравнения Васильева порождают развернутые уравнения для конкретного содержания поля, которое состоит из одной формы ${\textstyle \omega }$ и нулевая форма ${\textstyle C}$, оба принимают значения в алгебре высших спинов . Поэтому, $W^{A}=(\omega ,C)$ и $\omega =\omega _{\mu }(Y|x)dx^{\mu },\omega (Y|x)=\omega (-Y|x)$, $C=C(Y|x),C(Y|x)=C(-Y|x)$. Развернутые уравнения, описывающие взаимодействие полей с более высокими спинами, имеют вид

${\begin{aligned}d\omega &=\omega \star \omega +{\mathcal {V}}(\omega ,\omega ,C)+{\mathcal {V}}(\omega ,\omega ,C,C)+...\,,\\dC&=\omega \star C-C\star \pi (\omega )+{\mathcal {V}}(\omega ,C,C)+...\,,\end{aligned}}$

где ${\textstyle {\mathcal {V}}(\omega ,...,C)}$ являются вершинами взаимодействия, которые имеют все более высокий порядок в ${\textstyle C}$-поле. Произведение в алгебре высших спинов обозначается через $\star$. Явный вид вершин можно извлечь из уравнений Васильева. Вершины, билинейные в полях, определяются алгеброй высшего спина. Автоморфизм ${\textstyle \pi }$ индуцируется автоморфизмом антиде Ситтеровой алгебры, меняющим знак трансляции, см. ниже. Если мы урежем более высокие порядки в ${\textstyle C}$-разложения, уравнения представляют собой всего лишь условие нулевой кривизны для связи ${\textstyle \omega }$ алгебры высших спинов и ковариантного уравнения постоянства нулевой формы ${\textstyle C}$ который принимает значения в скрученно-сопряженном представлении (поворот осуществляется автоморфизмом ${\textstyle \pi }$).

Содержимое поля

Полевое содержание уравнений Васильева задается тремя полями, каждое из которых принимает значения в расширенной алгебре функций от Y и Z:

• подключение манометра $W=W_{\mu }(Y,Z|x)\,dx^{\mu }$, значение которого при Z=0 дает связь алгебры высшего спина $\omega =\omega _{\mu }(Y|x)\,dx^{\mu }$. Бозонная проекция подразумевает $W(Y,Z|x)=W(-Y,-Z|x)$;
• нулевая форма $B=B(Y,Z|x)$, значение которого при Z=0 дает нулевую форму алгебры высшего спина $C=C(Y|x)$. Бозонная проекция подразумевает $B(Y,Z|x)=B(-Y,-Z|x)$;
• вспомогательное поле $S=S_{A}(Y,Z|x)\,dZ^{A}$, где иногда полезно рассматривать его как одну форму во вспомогательном Z-пространстве, отсюда и дифференциалы: $dZ^{A}\wedge dZ^{B}=-dZ^{B}\wedge dZ^{A}\,.$

Это поле можно исключить при решении Z-зависимости. Бозонная проекция для $S$-поле $S_{A}(Y,Z|x)=-S_{A}(-Y,-Z|x)$ за счет дополнительного индекса $A$ это в конечном итоге переносится Y,Z.

Чтобы избежать путаницы, вызванной дифференциальными формами во вспомогательном Z-пространстве, и выявить связь с деформированными осцилляторами, уравнения Васильева записаны ниже в компонентной форме. Уравнения Васильева можно разбить на две части. Первая часть содержит только уравнения нулевой кривизны или ковариантного постоянства:

${\begin{aligned}dW&=W\star W\,,\\dB&=W\star B-B\star \pi (W)\,,\\dS_{A}&=W\star S_{A}-S_{A}\star W\,,\end{aligned}}$

где автоморфизм алгебры высшего спина $\pi$ расширяется на полную алгебру как

${\begin{aligned}\pi (W)(y_{\alpha },y_{\dot {\alpha }},z_{\alpha },z_{\dot {\alpha }})&={W}(-y_{\alpha },y_{\dot {\alpha }},-z_{\alpha },z_{\dot {\alpha }})={W}(y_{\alpha },-y_{\dot {\alpha }},z_{\alpha },-z_{\dot {\alpha }})\,,\end{aligned}}$

последние две формы эквивалентны из-за бозонной проекции, наложенной на $W(Y,Z|X)$.

Следовательно, из первой части уравнений следует, что в x-пространстве не существует нетривиальной кривизны, поскольку $W$ плоский. Вторая часть делает систему нетривиальной и определяет кривизну вспомогательной связи. $S$:

${\begin{aligned}\left[S_{A},S_{B}\right]_{\star }&=-2i{\begin{bmatrix}\epsilon _{\alpha \beta }(1+B\star \varkappa )&0\\0&\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}(1+B\star {\bar {\varkappa }})\end{bmatrix}}\,,\\\{B\star \varkappa ,S_{\alpha }\}_{\star }&=0\,,\\\{B\star {\bar {\varkappa }},S_{\dot {\alpha }}\}_{\star }&=0\,,\end{aligned}}$

где были введены два оператора Клейна

$\varkappa =\exp {iy_{\alpha }z^{\alpha }}\,,\qquad {\bar {\varkappa }}=\exp {iy_{\dot {\alpha }}z^{\dot {\alpha }}}$

Существование операторов Клейна имеет огромное значение для системы. Они осознают $\pi$ автоморфизм как внутренний

${\begin{aligned}\varkappa \star f(y_{\alpha },y_{\dot {\alpha }},z_{\alpha },z_{\dot {\alpha }})\star \varkappa &=f(-y_{\alpha },y_{\dot {\alpha }},-z_{\alpha },z_{\dot {\alpha }})\,,\qquad &&\varkappa \star \varkappa =1\,,\\{\bar {\varkappa }}\star f(y_{\alpha },y_{\dot {\alpha }},z_{\alpha },z_{\dot {\alpha }})\star {\bar {\varkappa }}&=f(y_{\alpha },-y_{\dot {\alpha }},z_{\alpha },-z_{\dot {\alpha }})\,,\qquad &&{\bar {\varkappa }}\star {\bar {\varkappa }}=1\,.\end{aligned}}$

Другими словами, оператор Клейна $\varkappa$ вести себя как $(-1)^{N_{y}+N_{z}}$, т. е. он антикоммутирует с нечетными функциями и коммутирует с четными функциями от y,z.

Эти уравнения 3+2 представляют собой уравнения Васильева. для четырехмерной бозонной теории высшего спина. Несколько комментариев уместны.

• Алгебраическая часть системы при разбиении на компоненты $A=\alpha ,{\dot {\alpha }};\alpha =1,2;{\dot {\alpha }}=1,2$ в соответствии с выбором $sp(4)$-метрический

$C_{AB}={\begin{bmatrix}\epsilon _{\alpha \beta }&0\\0&\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}\end{bmatrix}}$

становится эквивалентным двум копиям взаимно коммутирующих деформированных осцилляторов:

${\begin{array}{lll}\left[S_{\alpha },S_{\beta }\right]=-2i\epsilon _{\alpha \beta }(1+B\star \varkappa )&\left[S_{\alpha },S_{\dot {\beta }}\right]=0&\{B\star \varkappa ,S_{\alpha }\}_{\star }=0\\\left[S_{\dot {\alpha }},S_{\beta }\right]=0&\left[S_{\dot {\alpha }},S_{\dot {\beta }}\right]=-2i\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}(1+B\star {\bar {\varkappa }})&\{B\star {\bar {\varkappa }},S_{\dot {\alpha }}\}_{\star }=0\end{array}}$

Следовательно, последние два уравнения эквивалентны определяющим соотношениям двух копий $osp(1|2)$ с $S_{\alpha }$ и $S_{\dot {\alpha }}$ играющие роль нечетных генераторов и с $B\star \varkappa$ и $B\star {\bar {\varkappa }}$ играют роль деформаций. С $B$ одинаково для двух копий, они не являются независимыми, что не портит согласованность.

• Система последовательная. Непротиворечивость первых трех уравнений очевидна, поскольку они представляют собой уравнения нулевой кривизны/ковариантного постоянства. Согласованность последних двух уравнений достигается благодаря деформированным осцилляторам. Взаимная согласованность двух частей уравнений обусловлена ​​тем, что скрученное ковариантное постоянство $B$-поле эквивалентно обычному ковариантному постоянству любого $B\star \varkappa$ или $B\star {\bar {\varkappa }}$. Действительно,

$d(B\star \varkappa )-[W,(B\star \varkappa )]=(dB-W\star B+B\star \varkappa \star W\star \varkappa )\star \varkappa =(dB-W\star B+B\star \pi (W))\star \varkappa =0$

где мы использовали $\varkappa \star \varkappa =1$ и его отношение к $\pi$-автоморфизм. Затем, $\varkappa$ может быть отменено, поскольку оно обратимо;

• Уравнения калибровочно-инвариантны. Преобразования калибровочной симметрии с $\xi =\xi (Y,Z|x)$ являются:

${\begin{aligned}\delta W&=d\xi -[W,\xi ]_{\star }\\\delta B&=\xi \star B-B\star \pi (\xi )\\\delta S_{A}&=\xi \star S_{A}-S_{A}\star \pi (\xi )\end{aligned}}$

• Уравнения не зависят от фона, и необходимо указать некоторый вакуум, чтобы дать интерпретацию линеаризованного решения.
• Простейшим точным решением является пустое антиде-ситтеровское пространство:

$W=\Omega ={\frac {1}{2}}\varpi ^{\alpha \alpha }L_{\alpha \alpha }+h^{\alpha {\dot {\alpha }}}P_{\alpha {\dot {\alpha }}}+{\frac {1}{2}}\varpi ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\alpha }}}{\bar {L}}_{{\dot {\alpha }}{\dot {\alpha }}}\,,\qquad B=0\,,\qquad S_{A}=Z_{A}\,,$

где $\Omega$ это плоское соединение $d\Omega =\Omega \star \Omega$ антидеситтеровской алгебры, а компоненты вдоль генераторов Лоренца и трансляций соответствуют спин-связности $\varpi ^{\alpha \alpha },\varpi ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\alpha }}}$ и четвероногий $h^{{\alpha }{\dot {\alpha }}}$, соответственно. Важно, чтобы $S$-поле имеет нетривиальное значение вакуума, что является решением ввиду $[Z_{A},Z_{B}]_{\star }=-2iC_{AB}$ и тот факт, что $B=0$.

• Уравнения Васильева, линеаризованные в антидеситтеровском вакууме, действительно описывают все свободные безмассовые поля со спином s=0,1,2,3,..., что требует некоторых вычислений и показано ниже.

Линеаризация

Чтобы доказать, что линеаризованные уравнения Васильева действительно описывают свободные безмассовые поля с более высокими спинами, нам нужно рассмотреть линеаризованные флуктуации в антидеситтеровском вакууме. Сначала возьмем точное решение, где $W=\Omega$ является плоской связностью антидеситтеровской алгебры, $B=0$ и $S_{A}=Z_{A}$ и добавить колебания

$W=\Omega +w\,,\qquad B=0+2ib\,,\qquad S_{A}=Z_{A}+2is_{A}\,.$

Затем линеаризуем уравнения Васильева

${\begin{aligned}dw-\Omega \star w-w\star \Omega &=0\,,\\db-\Omega \star b+b\star \pi (\Omega )&=0\,,\\ds_{A}-\Omega \star s_{A}+s_{A}\star \Omega &=\partial _{A}w\,,\\\partial _{A}b&=0\,,\\\partial _{\alpha }s_{\beta }-\partial _{\beta }s_{\alpha }&=\epsilon _{\alpha \beta }b\star \varkappa \,,\\\partial _{\dot {\alpha }}s_{\dot {\beta }}-\partial _{\dot {\beta }}s_{\dot {\alpha }}&=\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}b\star {\bar {\varkappa }}\,,\\\partial _{\alpha }s_{\dot {\beta }}-\partial _{\dot {\beta }}s_{\alpha }&=0\,,\end{aligned}}$

Выше оно использовалось несколько раз ${\textstyle [Z^{A},f(Z)]_{\star }=-2i\partial _{A}f(Z),\partial _{A}\equiv {\frac {\partial }{\partial Z^{A}}}}$, т.е. вакуумное значение S-поля действует как производная по коммутатору. Четырехкомпонентные Y,Z удобно разбить на двухкомпонентные переменные как $Y^{A}=(y^{\alpha },y^{\dot {\alpha }}),Z^{A}=(z^{\alpha },z^{\dot {\alpha }})$. Еще один прием, использованный в четвертом уравнении, — это обратимость операторов Клейна:

$\{b\star \varkappa ,z_{\alpha }\}=b\star \varkappa \star z_{\alpha }+z_{\alpha }\star b\star \varkappa =(b\star \varkappa \star z_{\alpha }\star \varkappa +z_{\alpha }\star b)\star \varkappa =[z_{\alpha },b]\star \varkappa \,.$

Пятое из уравнений Васильева теперь разделено на три последних уравнения, приведенных выше.

Анализ линеаризованных колебаний заключается в решении уравнений поочередно в правильном порядке. Напомним, что предполагается найти развернутые уравнения для двух полей: одной формы $\omega =\omega _{\mu }(Y|x)dx^{\mu }$ и нулевая форма $C=C(Y|x)$. Из четвертого уравнения следует, что $b$ не зависит от вспомогательного Z-направления. Следовательно, можно идентифицировать $b=C(Y|x)$. Тогда второе уравнение немедленно приводит к

$\nabla C+ih^{\alpha {\dot {\alpha }}}\left(y_{\alpha }y_{\dot {\alpha }}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{\alpha }\partial y^{\dot {\alpha }}}}\right)C=0\,,$

где $\nabla$ - ковариантная производная Лоренца

$\nabla =d-\varpi ^{\alpha \beta }\left(y_{\alpha }{\frac {\partial }{\partial y^{\beta }}}+y_{\beta }{\frac {\partial }{\partial y^{\alpha }}}\right)-...$

где... обозначаем термин с $\varpi ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}$ это похоже на первое. Ковариантная производная Лоренца получается из обычного коммутаторного действия части спиновой связи $\Omega$. Термин с vierbein возникает из $\pi$-автоморфизм, меняющий знак AdS-переводов и создающий антикоммутатор $h^{\alpha {\dot {\alpha }}}\left\{P_{\alpha {\dot {\alpha }}},\bullet \right\}_{\star }$.

Чтобы прочитать содержание C-уравнения, необходимо разложить его по Y и проанализировать C-уравнение покомпонентно.

$C=\sum _{k+m={\text{even}}}C_{\alpha _{1}...\alpha _{k},{\dot {\alpha }}_{1}...{\dot {\alpha }}_{m}}(X)\,y^{\alpha _{1}}...y^{\alpha _{k}}\,y^{{\dot {\alpha }}_{1}}...y^{{\dot {\alpha }}_{m}}$

Тогда можно увидеть, что различные компоненты имеют следующую интерпретацию:

• Самый первый компонент $C(x)$ скалярное поле. Тот, что рядом с ним, $C_{\alpha {\dot {\alpha }}}$ выражается с помощью C-уравнения как производная скаляра. Одно из компонентных уравнений накладывает уравнение Клейна – Гордона $(\square -2)C(x)=0$, где космологическая постоянная равна единице. Компоненты с равным количеством индексов, отмеченных точками и без точек, выражаются как производные скаляра на оболочке.

$C_{\alpha _{1}...\alpha _{k},{\dot {\alpha }}_{1}...{\dot {\alpha }}_{k}}(x)\,h_{\mu _{1}}^{\alpha _{1}{\dot {\alpha }}_{1}}...h_{\mu _{k}}^{\alpha _{k}{\dot {\alpha }}_{k}}\sim \nabla _{\mu _{1}}...\nabla _{\mu _{k}}C(x)$

• $C_{\alpha \beta },C_{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}$ – самодуальная и антисамодуальная компоненты тензора Максвелла $F_{\mu \nu }$. C-уравнение накладывает уравнения Максвелла. Компоненты с k+2=m и k=m+2 являются производными тензора Максвелла на оболочке;
• $C_{\alpha \beta \gamma \delta },C_{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}{\dot {\gamma }}{\dot {\delta }}}$ — самодуальная и антисамодуальная компоненты тензора Вейля $C_{\mu \nu ,\lambda \rho }$. C-уравнение налагает тождества Бьянки для тензора Вейля. Компоненты с k+4=m и k=m+4 являются производными тензора Вейля на оболочке;
• $C_{\alpha _{1}...\alpha _{2s}},C_{{\dot {\alpha }}_{1}...{\dot {\alpha }}_{2s}}$ являются самодуальными и антисамодуальными компонентами высокоспинового обобщения тензора Вейля. Уравнение C накладывает тождества Бьянки, а компоненты с k+2s=m и k=m+2s являются производными на оболочке тензора Вейля с более высоким спином;

Последние три уравнения можно признать уравнениями вида $\mathrm {d} \mu =\nu ,\mathrm {d} \nu =0$ где $\mathrm {d}$ — внешняя производная в пространстве дифференциальных форм в Z-пространстве. Такие уравнения можно решить с помощью леммы Пуанкаре . Кроме того, нужно уметь умножать на оператор Клейна справа, который легко получить из интегральной формулы для звездного произведения:

$f(y_{\alpha },z_{\beta })\star \varkappa =f(-z_{\alpha },-y_{\beta })\varkappa \,.$

Т.е. результатом будет замена половины переменных Y и Z и изменение знака. Решение последних трех уравнений можно записать в виде

$s_{\alpha }=z_{\alpha }\int _{0}^{1}t\,dt\,C(-zt,{\bar {y}})e^{ity^{\alpha }z_{\alpha }}+\partial _{\alpha }\epsilon \,,$

где аналогичная формула существует для $s_{\dot {\alpha }}$. Здесь последний член — это калибровочная неоднозначность, т. е. свобода добавления точных форм в Z-пространстве, а $\epsilon =\epsilon (Y,Z|x)$. Можно оценить, как это исправить, чтобы иметь $\partial _{\alpha }\epsilon =0$. Затем подставляется решение третьего уравнения того же типа, т.е. дифференциального уравнения первого порядка в Z-пространстве. Его общее решение снова дает лемма Пуанкаре.

$w=\omega +Z^{A}\int _{0}^{1}dt\,f_{A}(zt)\,,\qquad f_{A}=dS_{A}-[\Omega ,S_{A}]_{\star }\,,$

где $\omega =\omega (Y|x)$ — константа интегрирования в Z-пространстве, т. е. когомологии де Рама . Именно эту константу интегрирования следует отождествить с одноформой $\omega (Y|x)$ как следует из названия. После некоторой алгебры можно найти

$w=\omega +\int _{0}^{1}dt(1-t)\left(t\varpi ^{\alpha \beta }z_{\alpha }z_{\beta }-ih^{\alpha {\dot {\alpha }}}z_{\alpha }{\frac {\partial }{\partial y^{\dot {\alpha }}}}\right)C(-z_{\gamma }t,y_{\dot {\gamma }})e^{ity^{\delta }z_{\delta }}+...$

где мы снова опустили термин с поменянными местами индексами с точками и без точек. Последний шаг — подставить решение в первое уравнение, чтобы найти

$\nabla \omega -h^{\alpha {\dot {\alpha }}}\left(y_{\alpha }{\frac {\partial }{\partial y^{\dot {\alpha }}}}+y_{\dot {\alpha }}{\frac {\partial }{\partial y^{\alpha }}}\right)\omega =-{\frac {1}{2}}h_{\gamma }{}^{\dot {\alpha }}\wedge h^{\gamma {\dot {\beta }}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{\dot {\alpha }}\partial y^{\dot {\beta }}}}C(0,y_{\dot {\delta }})+...$

и снова второй член справа опускается. Важно, чтобы $\omega$ не является плоской связью, в то время как $w$ это плоское соединение. Чтобы проанализировать $\omega$-уравнения полезно разложить $\omega$ в Y

$\omega =\sum _{k+m={\text{even}}}\omega _{\alpha _{1}...\alpha _{k},{\dot {\alpha }}_{1}...{\dot {\alpha }}_{m}}(X)\,y^{\alpha _{1}}...y^{\alpha _{k}}\,y^{{\dot {\alpha }}_{1}}...y^{{\dot {\alpha }}_{m}}$

Содержание $\omega$-уравнение выглядит следующим образом:

• Диагональные компоненты с k = m представляют собой вирбены с более высоким спином, полностью симметричный компонент которых можно отождествить с полем Фронсдаля как

$h_{\mu _{1}}^{\alpha _{1}{\dot {\alpha }}_{1}}...h_{\mu _{s-1}}^{\alpha _{s-1}{\dot {\alpha }}_{s-1}}\,\omega _{\mu _{s}|\alpha _{1}...\alpha _{s-1},{\dot {\alpha }}_{1}...{\dot {\alpha }}_{s-1}}\sim \Phi _{\mu _{1}...\mu _{s}}$

где подразумевается симметризация слева;

• The $\omega$Можно показать, что -уравнение налагает уравнения Фронсдаля для s=2,3,4,... . Уравнения Максвелла и уравнения Клейна – Гордона для компонентов мультиплета s = 1 и s = 0 входят в C-уравнение;
• Другие компоненты выражаются как производные поля Фронсдаля на оболочке;
• Производная порядка s поля Фронсдала с симметрией тензора Вейля с более высоким спином определяет соответствующую компоненту C-поля через правую часть $\omega$-уравнение.

В заключение отметим, что антидеситтеровское пространство является точным решением уравнений Васильева, и после линеаризации над ним находятся развернутые уравнения, эквивалентные уравнениям Фронсдала для полей с s=0,1,2,3,... .

Другие измерения, расширения и обобщения

• существует важная возможность введения свободного параметра в четырехмерные уравнения, связанная с нарушением четности. Единственные необходимые модификации:

${\begin{array}{ll}\left[S_{\alpha },S_{\beta }\right]=-2i\epsilon _{\alpha \beta }(1+e^{i\theta }B\star \varkappa )&\left[S_{\dot {\alpha }},S_{\dot {\beta }}\right]=-2i\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}(1+e^{-i\theta }B\star {\bar {\varkappa }})\end{array}}$

Этот свободный параметр играет важную роль в соответствии AdS/CFT высших спинов . Теория в $\theta =0,\pi /2$ является инвариантом четности;

Можно также взять $\theta$ быть любой четной функцией $\theta (x)=\theta (-x)$ из $B\star \varkappa$ в первом уравнении выше и $B\star {\bar {\varkappa }}$ во втором, что не нарушает согласованности уравнений.

• можно ввести группы Янга – Миллса позволяя полям принимать значения в тензорном произведении алгебры YZ с матричной алгеброй, а затем применяя усечения, чтобы получить $o(N),u(N),usp(N)$;
• рассмотренные выше четырехмерные уравнения можно расширить с помощью суперсимметрий. Необходимо расширить алгебру YZ дополнительными элементами типа Клиффорда.

$\left\{\xi _{i},\xi _{j}\right\}=2\delta _{ij}$

так что поля теперь являются функцией $Y,Z,\xi$ и пространственно-временные координаты. Компоненты полей должны иметь правильную спин-статистику. Уравнения необходимо немного изменить.

Существуют также уравнения Васильева в других размерностях:

• в трех измерениях существует минимальная теория высшего спина и ее развитие, известное как теория Прокушкина-Васильева, основанное на однопараметрическом семействе алгебр высшего спина (обычно это семейство обозначается как $hs(\lambda )$), а также допускает суперсимметричные расширения;
• существуют уравнения Васильева, действующие в любом измерении пространства-времени. Спектр теории состоит из всех полей с целыми (или даже только) спинами.

Уравнения очень похожи на четырехмерные, но есть некоторые важные изменения в определении алгебры, в которой поля принимают значения, а также существуют дополнительные ограничения в d-мерном случае.

Расхождения между уравнениями Васильева и теориями высших спинов

За последние годы выявился ряд недостатков/особенностей уравнений Васильева. Прежде всего, классические уравнения движения, например уравнения Васильева, не позволяют решать задачи, требующие действия, самым основным из которых является квантование. Во-вторых, существуют расхождения между результатами, полученными на основе уравнений Васильева, и результатами, полученными из других формулировок теорий высших спинов, из соответствия AdS/CFT или с точки зрения общей теории поля. Большую часть расхождений можно объяснить допущениями, использованными при выводе уравнений: калибровочная инвариантность очевидна, но локальность не была задана должным образом, а уравнения Васильева являются решением некоторой формальной задачи деформации. Практически не известно, как извлечь из уравнений вершины взаимодействия теории высших спинов.

Большинство исследований посвящено четырехмерным уравнениям Васильева. Поправка к уравнениям свободного спина 2, обусловленная тензором напряжения скалярного поля, была извлечена из четырехмерных уравнений Васильева и оказалась равной

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=Re(b_{1}^{2})\left[\sum _{k}\left(\xi _{k}g_{\mu \nu }\nabla _{\rho (k+1)}\phi \nabla ^{\rho (k+1)}\phi +\eta _{k}\nabla _{\mu \rho (k)}\phi \nabla ^{\rho (k)}{}_{\nu }\phi +\zeta _{k}\nabla _{\mu \nu \rho (k)}\phi \nabla ^{\rho (k)}\phi \right)-{\frac {4}{9}}g_{\mu \nu }\phi ^{2}\right]$

где ${\textstyle \nabla _{\rho (k)}\phi ='\nabla _{\rho _{1}}...\nabla _{\rho _{k}}\phi +{\text{symmetrization}}-{\text{traces}}'}$ представляют собой симметризованные производные с вычтенными следами. Самая важная информация содержится в коэффициентах ${\textstyle \xi _{k},\eta _{k},\zeta _{k}}$ и в префакторе ${\textstyle Re(b_{1}^{2})}$, где ${\textstyle b_{1}=\exp[i\theta ]}$ — это свободный параметр, который есть в уравнениях, см. Другие измерения, расширения и обобщения . Важно отметить, что обычный тензор напряжений имеет не более двух производных и члены $k>0$ не являются независимыми (например, они способствуют одному и тому же ${\textstyle \langle T_{ab}j_{0}j_{0}\rangle }$ Трехточечная функция AdS/CFT). Это общее свойство теорий поля: можно выполнять нелинейные (а также высшие производные) переопределения поля, и поэтому существует бесконечно много способов записать одну и ту же вершину взаимодействия на классическом уровне. Канонический тензор напряжений имеет две производные, и члены со сжатыми производными могут быть связаны с ним посредством таких переопределений.

Удивительный факт, который был замечен до того, как было осознано его несоответствие AdS/CFT, заключается в том, что тензор напряжений может менять знак и, в частности, исчезает при ${\textstyle \theta =\pi /4}$. Это означало бы, что соответствующая корреляционная функция в теориях материи Черна-Саймонса исчезает. ${\textstyle \langle T_{ab}j_{0}j_{0}\rangle =0}$, что не так.

Наиболее важные и детальные испытания были проведены значительно позже. Впервые было показано что некоторые из трехточечных функций AdS/CFT, полученные из уравнений Васильева, оказываются бесконечными или несовместимыми с AdS/CFT, тогда как некоторые другие согласуются. Те, кто согласен, на языке развернутых уравнений соответствуют $\omega \star C-C\star \pi (\omega )$ и бесконечности/несоответствия возникли в результате ${\mathcal {V}}(\omega ,C,C)$. Члены первого типа локальны и фиксируются алгеброй высших спинов. Члены второго типа могут быть нелокальными (при пертурбативном решении главное поле $C$ является производящей функцией бесконечного числа производных полей высших спинов). Эти нелокальности отсутствуют в теориях высших спинов, как это видно из явного кубического действия.

Наблюдались дальнейшие бесконечности, нелокальности или отсутствующие структуры. Некоторые из этих тестов исследуют распространение гипотезы Клебанова-Полякова на теории материи Черна-Саймонса, где структура корреляционных функций более сложна и присутствуют определенные члены с нечетной четностью. Некоторые из этих структур не воспроизводились уравнениями Васильева. Общий анализ уравнений Васильева второго порядка показал, что для любых трех фиксированных спинов член взаимодействия представляет собой бесконечный ряд по производным (аналогично $k$-сумма выше); все члены ряда вносят вклад в одну и ту же трехточечную функцию AdS/CFT, и этот вклад бесконечен. Все проблемы можно отнести к допущениям, использованным при выводе уравнений Васильева: не налагались ограничения на количество производных в вершинах взаимодействия или, в более общем смысле, на локальность, что важно для получения значимых вершин взаимодействия, см., например, Нётер. Процедура . Проблема того, как наложить локальность и извлечь вершины взаимодействия из уравнений, сейчас активно исследуется.

Как кратко упоминается в разделе «Другие измерения, расширения и обобщения», существует возможность ввести бесконечное количество дополнительных констант связи, которые входят через фазовый коэффициент. $\theta (x)=\theta _{0}+\theta _{2}x^{2}+...$. Как было отмечено, второй такой коэффициент $\theta _{2}$ повлияет на пятиточечные корреляционные функции AdS/CFT, но не на трехточечные, что, по-видимому, противоречит результатам, полученным непосредственно в результате наложения более высокой спиновой симметрии на корреляционные функции. Позже было показано что члены в уравнениях, возникающих в результате $\theta _{2,4,...}$ слишком нелокальны и приводят к бесконечному результату для корреляционных функций AdS/CFT.

В трехмерном измерении на уравнения Прокушкина-Васильева, которые должны описывать взаимодействие полей материи с полями более высоких спинов в трех измерениях, также влияет вышеупомянутая проблема локальности. Например, пертурбативные поправки второго порядка к тензорам напряжений полей материи приводят к бесконечным корреляционным функциям. Есть, однако, еще одно несоответствие: в спектре уравнений Прокушкина–Васильева помимо полей материи (скалярных и спинорных) и полей высших спинов имеется набор нефизических полей, не имеющих никакой теоретико-полевой интерпретации, но взаимодействующих между собой. с физическими полями.

Точные решения

Поскольку уравнения Васильева довольно сложны, точных решений известно немного.

• как уже было показано, существует важное решение --- пустое антидеситтеровское пространство, существование которого позволяет интерпретировать линеаризованные флуктуации как безмассовые поля всех спинов;
• в трех измерениях найти антиде Ситтеровское пространство как точное решение для всех значений параметра $\lambda$ оказывается нетривиальной проблемой, но она известна;
• существует решение четырехмерных уравнений типа доменной стенки;
• существует семейство решений четырехмерных уравнений, которые интерпретируются как черные дыры, хотя метрика трансформируется при преобразованиях высших спинов, и по этой причине трудно полагаться на обычное определение горизонта и т. д.;
• в случае трехмерности происходит последовательное усечение, которое отделяет скалярное поле от полей с более высоким спином, последнее описывается теорией Черна – Саймонса. В этом случае любая плоская связность алгебры высших спинов является точным решением, и по этому подклассу было много работ;

См. также

• Переписка AdS/CFT # Высшие спиновые калибровочные теории
• Уравнения поля Эйнштейна
• Картановский формализм (физика)
• Спиновое соединение
• Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени
• Измеренная супергравитация
• Супергравитация
• Теория Янга – Миллса

Ссылки

Отзывы

• Васильев, М.А. (1996). «Калибровочные теории высших спинов в четырех, трех и двух измерениях». Международный журнал современной физики Д. 05 (6): 763–797. arXiv : hep-th/9611024 . Бибкод : 1996IJMPD...5..763V . дои : 10.1142/S0218271896000473 . S2CID   119436825 .
• Васильев, М.А. (2004). «Теории высшего спина в различных измерениях». Fortschritte der Physik . 52 (67): 702–717. arXiv : hep-th/0401177 . Бибкод : 2004ForPh..52..702V . дои : 10.1002/prop.200410167 .
• Васильев, Михаил (2000). «Теории более высокой спиновой калибровки: звездное произведение и пространство AdS». стр. 533–610. arXiv : hep-th/9910096 . Бибкод : 2000mfsw.book..533V . дои : 10.1142/9789812793850_0030 . ISBN  978-981-02-4206-0 . S2CID   15804505 . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помощь ) ; Отсутствует или пусто |title= ( помощь )
• Бекарт, X.; Кнокарт, С.; Иазеолла, К.; Васильев, М.А. (2005). «Нелинейные теории высших спинов в различных измерениях». arXiv : hep-th/0503128 .
• Бекарт, X.; Буланже, Н.; Санделл, П. (2012). «Как гравитация с более высоким спином преодолевает барьер со вторым вращением: теоремы о запрете против примеров, требующих да». Обзоры современной физики . 84 (3): 987. arXiv : 1007.0435 . Бибкод : 2012РвМП...84..987Б . дои : 10.1103/RevModPhys.84.987 . S2CID   113405741 .
• Диденко В.Е.; Скворцов, ЭД (2014). «Элементы теории Васильева». arXiv : 1401.2975 [ шестнадцатый ].