Аномалия манометра

В теоретической физике : это примером аномалии является калибровочная аномалия особенность квантовой механики (обычно однопетлевая диаграмма ), которая делает недействительной калибровочную симметрию квантовой теории поля ; т.е. калибровочной теории .

Все отклонения от нормы должны компенсироваться. Аномалии калибровочных симметрий приводят к противоречию, поскольку калибровочная симметрия необходима для отмены нефизических степеней свободы с отрицательной нормой (например, фотона , поляризованного во временном направлении). Действительно, в Стандартной модели происходит отмена .

Термин калибровочная аномалия обычно используется для обозначения векторных калибровочных аномалий. Другой тип калибровочной аномалии — гравитационная аномалия , поскольку репараметризация координат (называемая диффеоморфизмом ) — это калибровочная симметрия гравитации .

Расчет аномалии

Аномалии возникают только в четных измерениях пространства-времени. Например, аномалии в обычных четырёх измерениях пространства-времени возникают из-за треугольных диаграмм Фейнмана.

Векторные калибровочные аномалии

В векторных калибровочных аномалиях (в калибровочных симметриях которых , калибровочный бозон является вектором) аномалия является киральной аномалией и может быть рассчитана точно на одном уровне петли с помощью диаграммы Фейнмана с киральным фермионом , бегущим в петле с n внешними калибровочными бозонами. прикреплен к петле, где $n=1+D/2$ где $D$ это измерение пространства-времени .

Давайте посмотрим на (полу)эффективное действие, которое мы получаем после интегрирования по киральным фермионам . Если имеется калибровочная аномалия, результирующее действие не будет калибровочно-инвариантным. Если мы обозначим через $\delta _{\epsilon }$ оператор, соответствующий бесконечно малому калибровочному преобразованию по ε, то условие согласованности Фробениуса требует, чтобы

$\left[\delta _{\epsilon _{1}},\delta _{\epsilon _{2}}\right]{\mathcal {F}}=\delta _{\left[\epsilon _{1},\epsilon _{2}\right]}{\mathcal {F}}$

для любого функционала ${\mathcal {F}}$, включая (полу)эффективное действие S, где [,] — скобка Ли . Как $\delta _{\epsilon }S$ линейно по ε, можно написать

$\delta _{\epsilon }S=\int _{M^{d}}\Omega ^{(d)}(\epsilon )$

где Ом ^(г) является d-формой как функционал от неинтегрированных полей и линеен по ε. Сделаем дальнейшее предположение (которое оказывается справедливым во всех интересующих нас случаях), что этот функционал локальный (т.е. Ω ^(г) (x) зависит только от значений полей и их производных в точке x) и может быть выражено как внешнее произведение p-форм. Если пространство-время M ^д замкнуто ( т.е. не имеет края) и ориентировано, то оно является границей некоторого d+1-мерного ориентированного многообразия M ^д+1 . Если затем мы произвольно расширим поля (включая ε), определенные на M ^д к М ^д+1 с единственным условием: они совпадают на границах и выражении Ω ^(г) , будучи внешним продуктом p-форм, может быть расширен и определен внутри, тогда

$\delta _{\epsilon }S=\int _{M^{d+1}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon ).$

Условие согласованности Фробениуса теперь принимает вид

$\left[\delta _{\epsilon _{1}},\delta _{\epsilon _{2}}\right]S=\int _{M^{d+1}}\left[\delta _{\epsilon _{1}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon _{2})-\delta _{\epsilon _{2}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon _{1})\right]=\int _{M^{d+1}}d\Omega ^{(d)}(\left[\epsilon _{1},\epsilon _{2}\right]).$

Поскольку предыдущее уравнение справедливо для любого произвольного расширения полей внутрь,

$\delta _{\epsilon _{1}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon _{2})-\delta _{\epsilon _{2}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon _{1})=d\Omega ^{(d)}(\left[\epsilon _{1},\epsilon _{2}\right]).$

Ввиду условия согласованности Фробениуса это означает, что существует d+1-форма Ω ^(д+1) (не зависящий от ε), определенный над M ^д+1 удовлетворяющий

$\delta _{\epsilon }\Omega ^{(d+1)}=d\Omega ^{(d)}(\epsilon ).$

Ой ^(д+1) часто называют формой Черна-Саймонса .

Еще раз, если мы предположим, что Ω ^(д+1) может быть выражено как внешнее произведение и что оно может быть расширено до d+1 -формы в d+2-мерном ориентированном многообразии, мы можем определить

$\Omega ^{(d+2)}=d\Omega ^{(d+1)}$

в измерениях d+2. Ой ^(д+2) является калибровочным инвариантом:

$\delta _{\epsilon }\Omega ^{(d+2)}=d\delta _{\epsilon }\Omega ^{(d+1)}=d^{2}\Omega ^{(d)}(\epsilon )=0$

поскольку d и δ _ε коммутируют.

См. также

• Киральная калибровочная теория
• Условие соответствия аномалии
• Механизм Грина – Шварца
• Смешанная аномалия