Условие соответствия аномалии

В квантовой теории поля условие согласования аномалий ^[1] Джерард 'т Хоофт утверждает, что расчет любой киральной аномалии ароматной симметрии не должен зависеть от того, какой масштаб выбран для расчета, если он выполняется с использованием степеней свободы теории на некотором энергетическом масштабе. Оно также известно как условие Т-Хофта и условие соответствия УФ-ИК аномалий Т-Хофта . ^[а]

Аномалии 'т Хофта

Существует два тесно связанных, но разных типа препятствий для формулирования квантовой теории поля , которые оба называются аномалиями: киральные аномалии, или Адлера-Белла-Джекива аномалии , и аномалии 'т Хофта .

Если мы говорим, что симметрия теории имеет аномалию Т Хоофта , это означает, что симметрия точна как глобальная симметрия квантовой теории, но есть некоторые препятствия для использования ее в качестве меры в теории. ^[2]

В качестве примера аномалии 'т Хофта рассмотрим квантовую хромодинамику с $N_{f}$ безмассовые фермионы: это $SU(N_{c})$ калибровочная теория с $N_{f}$ безмассовые фермионы Дирака . Эта теория обладает глобальной симметрией $SU(N_{f})_{L}\times SU(N_{f})_{R}\times U(1)_{V}$ , которую часто называют ароматной симметрией, и это имеет аномалию Т-Хофта.

Сопоставление аномалий для непрерывной симметрии

Условие сопоставления аномалий Г. 'т Хофта предполагает, что аномалия 'т Хофта непрерывной симметрии может быть вычислена как в высокоэнергетических, так и в низкоэнергетических степенях свободы («УФ» и «ИК»). ^[а]) и дать тот же ответ.

Пример

Например, рассмотрим квантовую хромодинамику с N _f безмассовыми кварками . Эта теория обладает ароматической симметрией $SU(N_{f})_{L}\times SU(N_{f})_{R}\times U(1)_{V}$ ^[б] Эта симметрия вкуса $SU(N_{f})_{L}\times SU(N_{f})_{R}\times U(1)_{V}$ становится аномальным при введении фонового калибровочного поля. Можно использовать либо степени свободы на крайне низком энергетическом пределе (далеком «ИК» ^[а]) или степени свободы на крайне высоком энергетическом пределе (далеко «УФ» ^[а]) для расчета аномалии. В первом случае следует рассматривать только безмассовые фермионы или бозоны Намбу-Голдстоуна , которые могут быть составными частицами, тогда как во втором случае следует рассматривать только элементарные фермионы лежащей в основе теории малых расстояний. В обоих случаях ответ должен быть одинаковым. Действительно, в случае КХД происходит нарушение киральной симметрии , и член Весса–Зумино–Виттена для бозонов Намбу–Голдстоуна воспроизводит аномалию. ^[3]

Доказательство

Это условие доказывается следующей процедурой: ^[1] мы можем добавить к теории калибровочное поле , которое взаимодействует с током, связанным с этой симметрией, а также киральные фермионы , которые взаимодействуют только с этим калибровочным полем , и ликвидировать аномалию (так что калибровочная симметрия останется неаномальной , если это необходимо). для консистенции).

В пределе, когда добавленные нами константы связи обращаются в ноль, мы возвращаемся к исходной теории плюс добавленные нами фермионы; последние остаются хорошими степенями свободы на любом энергетическом уровне, поскольку на этом пределе они являются свободными фермионами. Аномалия калибровочной симметрии может быть вычислена в любом энергетическом масштабе и всегда должна быть равна нулю, чтобы теория была непротиворечивой. Теперь можно получить аномалию симметрии в исходной теории, вычитая добавленные нами свободные фермионы, и результат не зависит от масштаба энергии.

Альтернативное доказательство

Другой способ доказать согласованность аномалий для непрерывных симметрий — использовать механизм притока аномалий. ^[4] Более конкретно, ниже мы рассматриваем четырехмерное пространство-время.

Для глобальных непрерывных симметрий $G$ , введем фоновое поле датчика $A$ и вычислить эффективное действие $\Gamma [A]$ . Если существует аномалия 'т Хофта для $G$ , эффективное действие $\Gamma [A]$ не является инвариантным относительно $G$ преобразование датчика на фоновом поле датчика $A$ и его нельзя восстановить добавлением каких-либо четырехмерных локальных счетчиков $A$ . Условие согласованности Весса – Зумино. ^[5] показывает, что мы можем сделать его калибровочно-инвариантным, добавив пятимерное действие Черна–Саймонса .

Благодаря дополнительному измерению мы теперь можем определить эффективное действие. $\Gamma [A]$ используя эффективную теорию низкой энергии, которая содержит только безмассовые степени свободы за счет интеграции массивных полей. Поскольку она должна снова стать калибровочно-инвариантной за счет добавления того же пятимерного члена Черна – Саймонса, аномалия Т-Хофта не меняется за счет интегрирования огромных степеней свободы.

См. также

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д В контексте квантовой теории поля «УФ» на самом деле означает высокоэнергетический предел теории, а «ИК» означает низкоэнергетический предел по аналогии с верхней и нижней периферией видимого света, но на самом деле не означает ни того, ни другого. свет или те конкретные энергии.
^ . Осевая симметрия U(1) нарушается киральной аномалией или инстантонами, поэтому не включена в пример.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б 'т Хоофт, Г. (1980). «Естественность, киральная симметрия и спонтанное нарушение киральной симметрии». Ин 'т Хоофт, Г. (ред.). Последние достижения в калибровочных теориях . Пленум Пресс . ISBN 978-0-306-40479-5 .
^ Капустин А.; Торнгрен, Р. (2014). «Аномальные дискретные симметрии в трех измерениях и групповые когомологии». Письма о физических отзывах . 112 (23): 231602. arXiv : 1403.0617 . Бибкод : 2014PhRvL.112w1602K . doi : 10.1103/PhysRevLett.112.231602 . ПМИД 24972194 . S2CID 35171032 .
^ Фришман, Ю.; Свиммер, А.; Бэнкс, Т.; Янкелович, С. (1981). «Осевая аномалия и спектр связанных состояний в теориях удержания» . Ядерная физика Б . 177 (1): 157–171. Бибкод : 1981NuPhB.177..157F . дои : 10.1016/0550-3213(81)90268-6 .
^ Каллан-младший, CG; Харви, Дж. А. (1985). «Аномалии и нулевые фермионные моды на струнах и доменных стенках». Ядерная физика Б . 250 (1–4): 427–436. Бибкод : 1985НуФБ.250..427С . дои : 10.1016/0550-3213(85)90489-4 .
^ Весс, Дж.; Зумино, Б. (1971). «Последствия аномальной идентичности подопечных» . Буквы по физике Б. 37 (1): 95. Бибкод : 1971PhLB...37...95W . дои : 10.1016/0370-2693(71)90582-X .

[IR_UV_note-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д В контексте квантовой теории поля «УФ» на самом деле означает высокоэнергетический предел теории, а «ИК» означает низкоэнергетический предел по аналогии с верхней и нижней периферией видимого света, но на самом деле не означает ни того, ни другого. свет или те конкретные энергии.

[4] . Осевая симметрия U(1) нарушается киральной аномалией или инстантонами, поэтому не включена в пример.

['t_Hooft_1980-1] Jump up to: ^а ^б 'т Хоофт, Г. (1980). «Естественность, киральная симметрия и спонтанное нарушение киральной симметрии». Ин 'т Хоофт, Г. (ред.). Последние достижения в калибровочных теориях . Пленум Пресс . ISBN 978-0-306-40479-5 .

[3] Капустин А.; Торнгрен, Р. (2014). «Аномальные дискретные симметрии в трех измерениях и групповые когомологии». Письма о физических отзывах . 112 (23): 231602. arXiv : 1403.0617 . Бибкод : 2014PhRvL.112w1602K . doi : 10.1103/PhysRevLett.112.231602 . ПМИД 24972194 . S2CID 35171032 .

[5] Фришман, Ю.; Свиммер, А.; Бэнкс, Т.; Янкелович, С. (1981). «Осевая аномалия и спектр связанных состояний в теориях удержания» . Ядерная физика Б . 177 (1): 157–171. Бибкод : 1981NuPhB.177..157F . дои : 10.1016/0550-3213(81)90268-6 .

[6] Каллан-младший, CG; Харви, Дж. А. (1985). «Аномалии и нулевые фермионные моды на струнах и доменных стенках». Ядерная физика Б . 250 (1–4): 427–436. Бибкод : 1985НуФБ.250..427С . дои : 10.1016/0550-3213(85)90489-4 .

[7] Весс, Дж.; Зумино, Б. (1971). «Последствия аномальной идентичности подопечных» . Буквы по физике Б. 37 (1): 95. Бибкод : 1971PhLB...37...95W . дои : 10.1016/0370-2693(71)90582-X .

[1]

[а]

[2]

[б]

[3]

[4]

[5]