'т Хофт гуляет

В квантовой теории поля петля 'т Хоофта является магнитным аналогом петли Вильсона , в которой пространственные петли порождают тонкие петли магнитного потока , связанные с магнитными вихрями . Они играют роль параметра беспорядка для фазы Хиггса в чистой калибровочной теории . Условия согласованности между электрическими и магнитными зарядами ограничивают возможные петли Хофта, которые можно использовать, аналогично тому, как условие квантования Дирака ограничивает набор разрешенных магнитных монополей . Впервые они были представлены Джерардом 'т Хоофтом в 1978 году в контексте возможных фаз , допускаемых калибровочными теориями.

Определение

Существует несколько способов определения линий и петель 'т Хоофта. Для времениподобных кривых $C$ они эквивалентны калибровочной конфигурации, возникающей из мировой линии, очерченной магнитным монополем. Это особые конфигурации калибровочного поля на линии, в которых их пространственный срез имеет магнитное поле , форма которого приближается к форме магнитного монополя.

$B^{i}\xrightarrow {r\rightarrow 0} {\frac {x^{i}}{4\pi r^{3}}}Q(x),$

где в теории Янга – Миллса $Q(x)$ - это обычно оцениваемый объект алгебры Ли, определяющий магнитный заряд. Линии 'т Хофта также можно вставить в интеграл по траекториям , потребовав, чтобы мера калибровочного поля могла проходить только по конфигурациям, магнитное поле которых принимает указанную выше форму.

В более общем смысле цикл Т-Хофта можно определить как оператор , эффект которого эквивалентен выполнению модифицированных калибровочных преобразований. $\Omega$ это единственное число в цикле $C$ таким образом, что любой другой цикл $C'$ параметризованный $s\in [0,1]$ с заводным номером $l$ вокруг $C$ удовлетворяет

$\Omega (s=1)=e^{i2\pi l/N}\Omega (s=0).$

Эти модифицированные калибровочные преобразования не являются истинными калибровочными преобразованиями, поскольку они не оставляют действие инвариантным. Для временных петель они создают вышеупомянутые конфигурации поля, тогда как для пространственных петель вместо этого они создают петли цветового магнитного потока, называемые центральными вихрями . Построив такие калибровочные преобразования, можно получить явный вид петли Т-Хофта, введя оператор сопряженного импульса Янга – Миллса.

$\Pi _{i}^{a}(x)=-i{\frac {\delta }{\delta A_{i}^{a}(x)}}.$

Если цикл $C$ охватывает поверхность $\Sigma$, то явная форма оператора цикла 'т Хофта имеет вид

$T[C]=e^{i\int d^{3}xA_{i}^{a}(\Sigma ,x)\Pi _{i}^{a}(x)}.$

Используя теорему Стокса, это можно переписать таким образом, чтобы показать, что она измеряет электрический поток через $\Sigma$, аналогично тому, как петля Вильсона измеряет магнитный поток через закрытую поверхность.

Существует тесная связь между петлями 'т Хоофта и Вильсона, где заданы две петли. $C$ и $C'$ у которых есть соединительный номер $l$, затем петля 'т Хоофта $T[C]$ и петля Вильсона $W[C']$ удовлетворить

$T[C]W[C']=z^{l}W[C']T[C],$

где $z$ является элементом центра калибровочной группы. Это соотношение можно рассматривать как определяющую особенность петель Т-Хофта. Свойства коммутации между этими двумя операторами цикла часто используются в топологической теории поля , где эти операторы образуют алгебру .

Оператор беспорядка

Петля Т-Хофта является оператором беспорядка, поскольку она создает особенности в калибровочном поле, математическое ожидание которых отличает неупорядоченную фазу чистой теории Янга – Миллса от упорядоченной ограничивающей фазы . Подобно петле Вильсона, математическое ожидание петли Т-Хофта может подчиняться либо закону площади, либо закону площади.

$\langle T[C]\rangle \sim e^{-aA[C]},$

где $A[C]$ это область, заключенная в цикл $C$ и $a$ является константой или может подчиняться закону периметра

$\langle T[C]\rangle \sim e^{-bL[C]},$

где $L[C]$ длина петли и $b$ является константой.

На основе коммутационного соотношения между петлями Т-Хофта и Вильсона можно выделить четыре фазы для ${\text{SU}}(N)$ калибровочные теории, дополнительно содержащие скаляры в представлениях, инвариантных относительно центра $\mathbb {Z} _{N}$ симметрия . Четыре фазы

• Ограничение: петли Вильсона подчиняются закону площади, а петли Т-Хофта подчиняются закону периметра.
• Фаза Хиггса: петли Вильсона подчиняются закону периметра, а петли Т-Хофта подчиняются закону площади.
• Заключение вместе с частичной фазой Хиггса: оба подчиняются закону площади.
• Смешанная фаза: обе подчиняются закону периметра.

На третьем этапе калибровочная группа лишь частично разбивается на меньшую неабелеву подгруппу . Смешанная фаза требует, чтобы калибровочные бозоны были безмассовыми частицами , и не возникает при ${\text{SU}}(N)$ теории, но аналогична кулоновской фазе для абелевой калибровочной теории.

Поскольку операторы 'т Хофта являются операторами создания центральных вихрей, они играют важную роль в сценарии центрального вихря для удержания. В этой модели именно эти вихри приводят к закону площади петли Вильсона посредством случайных флуктуаций числа топологически связанных вихрей.

Ограничения по зарядам

При наличии как линий 'т Хофта, так и линий Вильсона теория требует условий согласованности, аналогичных условию квантования Дирака, которое возникает, когда присутствуют как электрические, так и магнитные монополи. Для группы датчиков $G={\tilde {G}}/H$ где ${\tilde {G}}$ — универсальная накрывающая группа с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$ и $H$ является подгруппой центра, то множество разрешенных вильсоновских линий находится во взаимно однозначном с представлениями соответствии $G$. Более точно это можно сформулировать, введя веса ${\boldsymbol {\mu }}$ алгебры Ли, которые охватывают решетку весов $\Lambda _{w}({\mathfrak {g}})$. Обозначая $\Lambda _{w}^{G}\subset \Lambda _{w}$ как решетка, натянутая весами, связанными с алгеброй $G$ скорее, чем ${\mathfrak {g}}$линии Вильсона находятся во взаимно однозначном соответствии с точками решетки $\Lambda _{w}^{G}/W$ решетка где $W$ есть группа Вейля.

Значенный заряд алгебры Ли линии 'т Хофта всегда можно записать через ранг $r$ Этот тест по подалгебре ${\boldsymbol {H}}$ как $Q={\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {H}}$, где ${\boldsymbol {m}}$ это $r$-мерный вектор заряда. Благодаря линиям Вильсона заряд Т-Хофта должен удовлетворять обобщенному условию квантования Дирака $e^{i{\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {H}}}=1$, что должно выполняться для всех представлений алгебры Ли.

Обобщенное условие квантования эквивалентно требованию, что ${\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {\mu }}\in 2\pi \mathbb {Z}$ справедливо для всех весовых векторов. Чтобы получить набор векторов ${\boldsymbol {m}}$ удовлетворяющие этому условию, необходимо рассматривать корни ${\boldsymbol {\alpha }}$ которые являются присоединенного представления весовыми векторами . Кокорни, определяемые с использованием корней ${\boldsymbol {\alpha }}^{\vee }=2{\boldsymbol {\alpha }}/{\boldsymbol {\alpha }}^{2}$, охватывают решетку корней $\Lambda _{\text{co-root}}({\mathfrak {g}})$. Эти векторы обладают полезным свойством: ${\boldsymbol {\alpha }}^{\vee }\cdot {\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {Z}$ это означает, что единственные магнитные заряды, разрешенные для линий 'т Хофта, - это те, которые находятся в решетке кокорней.

${\boldsymbol {m}}\in 2\pi \Lambda _{\text{co-root}}({\mathfrak {g}}).$

Иногда это записывают в терминах двойственной алгебры Ленглендса. ${\mathfrak {g}}^{\vee }$ из ${\mathfrak {g}}$ с весовой решеткой $\Lambda _{mw}$, и в этом случае линии 'т Хофта описываются формулой $\Lambda _{mw}/W$.

Также могут быть построены более общие классы дионических линейных операторов как с электрическими, так и с магнитными зарядами. Иногда их называют операторами линий Вильсона – Хофта, они определяются парами зарядов. $(\lambda _{e},\lambda _{m})\in \Lambda _{w}\times \Lambda _{mw}$ вплоть до идентификации, что для всех $w\in W$ он утверждает, что

$(\lambda _{e},\lambda _{m})\sim (w\lambda _{e},w\lambda _{m}).$

Линейные операторы играют роль в указании различий в калибровочных теориях вида $G={\tilde {G}}/H$ которые отличаются центральной подгруппой $H$. Если они не компактифицированы , эти теории не различаются по локальной физике, и никакое количество локальных экспериментов не может вывести точную калибровочную группу теории. Несмотря на это, теории различаются по своим глобальным свойствам, например, по разным наборам разрешенных линейных операторов. Например, в ${\text{SU}}(N)$ калибровочных теориях петли Вильсона обозначаются $\Lambda _{w}({\mathfrak {g}})$ в то время как 'т Хофт строк $\Lambda _{\text{co-root}}({\mathfrak {g}})$. Однако в ${\text{SU}}(N)/\mathbb {Z} _{N}$ решетки поменялись местами, и теперь линии Вильсона определяются формулой $\Lambda _{\text{co-root}}$ в то время как линии 'т Хофта определяются $\Lambda _{w}$.

См. также

• Polyakov loop