Polyakov loop

В квантовой теории поля является петля Полякова тепловым аналогом петли Вильсона , действуя как параметр порядка для ограничения в чистых калибровочных теориях при ненулевых температурах . В частности, это петля Вильсона, которая обвивает компактифицированное евклидово временное направление тепловой квантовой теории поля . Это указывает на удержание, поскольку его вакуумное математическое ожидание должно исчезнуть в ограниченной фазе из-за его неинвариантности при преобразованиях центральной калибровки. Это следует также из того, что математическое ожидание связано со свободной энергией отдельных кварков , которая расходится в этой фазе. Представлен Александром М. Поляковым в 1975 году. их также можно использовать для изучения потенциала между парами кварков при ненулевых температурах.

Определение

Тепловая квантовая теория поля сформулирована в евклидовом пространстве-времени с компактифицированным мнимым временным направлением длины $\beta$. Эта длина соответствует обратной температуре поля $\beta \propto 1/T$. Компактификация приводит к особому классу топологически нетривиальных петель Вильсона, которые наматываются вокруг компактного направления, известных как петли Полякова. В ${\text{SU}}(N)$ теории прямой петли Полякова по пространственной координате ${\boldsymbol {x}}$ дается

$\Phi ({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{N}}{\text{tr}}\ {\mathcal {P}}\exp {\bigg [}\int _{0}^{\beta }dx_{4}A_{4}({\boldsymbol {x}},x_{f}){\bigg ]},$

где ${\mathcal {P}}$ является оператором упорядочивания пути и $A_{4}$ – евклидова временная компонента калибровочного поля. В теории решетчатого поля этот оператор переформулируется в терминах полей временной связи. $U_{4}({\boldsymbol {m}},j)$ в пространственном положении ${\boldsymbol {m}}$ как

$\Phi ({\boldsymbol {m}})={\frac {1}{N}}{\text{tr}}{\bigg [}\prod _{j=0}^{N_{T}-1}U_{4}({\boldsymbol {m}},j){\bigg ]}.$

Континуальный предел решетки должен быть тщательно продуман, чтобы гарантировать, что компактное направление имеет фиксированную протяженность. Это делается путем обеспечения того, чтобы конечное число точек временной решетки $N_{T}$ таков, что $\beta =N_{T}a$ постоянна как шаг решетки $a$ уходит в ноль.

Параметр заказа

Диаграмма рассеяния математического ожидания линии Полякова при моделировании ${\text{SU}}(3)$ Калибровочная теория фазового перехода конфайнмента. Красный кружок обозначает фазу ограничения, а синий и зеленый кружки обозначают ненулевые значения ожидания в фазе деконфайнмента. В деконфайнментированной фазе находятся три кластера из-за $\mathbb {Z} _{3}$ групповой центр калибровочной группы.

Калибровочные поля должны удовлетворять условию периодичности. $A_{\mu }({\boldsymbol {x}},x_{4}+\beta )=A_{\mu }({\boldsymbol {x}},x_{4})$ в компактифицированном направлении. Между тем, калибровочные преобразования должны удовлетворять этому требованию только до центра группы . члена $h$ как $\Omega ({\boldsymbol {x}},x_{4}+\beta )=h\Omega ({\boldsymbol {x}},x_{4})$. Изменение базиса всегда может диагонализировать это так, что $h=zI$ для комплексного числа $z$. Петля Полякова топологически нетривиальна во временном направлении, поэтому в отличие от других петель Вильсона она преобразуется как $\Phi ({\boldsymbol {x}})\rightarrow z\Phi ({\boldsymbol {x}})$ под этими преобразованиями. Поскольку это делает петлевой калибр зависимым от $z\neq 1$, по теореме Элицура ненулевые средние значения $\langle \Phi \rangle$ подразумевают, что центральная группа должна быть спонтанно разрушена , что подразумевает конфайнмент в чистой калибровочной теории. Это делает петлю Полякова параметром порядка для удержания в термической чистой калибровочной теории, причем удерживающая фаза возникает, когда $\langle \Phi \rangle =0$ и фаза деконфайнмента, когда $\langle \Phi \rangle \neq 0$. Например, решеточные расчеты квантовой хромодинамики с бесконечно тяжелыми кварками, которые отделяются от теории, показывают, что фазовый переход деконфайнмента происходит при температуре около $270$ МэВ. Между тем, в калибровочной теории с кварками они разрушают центральную группу, и поэтому вместо этого конфайнмент должен быть выведен из спектра асимптотических состояний, цветных нейтральных адронов .

Для калибровочных теорий, в которых отсутствует нетривиальный групповой центр, который мог бы быть нарушен на фазе ограничения, средние значения петли Полякова не равны нулю даже на этой фазе. Однако они по-прежнему являются хорошим индикатором удержания, поскольку обычно при фазовом переходе они испытывают резкий скачок . Так обстоит дело, например, в модели Хиггса с исключительной калибровочной группой. $G_{2}$.

В модели Намбу -Йоны-Лазинио отсутствует локальная цветовая симметрия, и поэтому она не может уловить эффекты ограничения. Однако петли Полякова можно использовать для построения расширенной модели Намбу-Иона-Лазинио, основанной на петлях Полякова, которая рассматривает как киральный конденсат , так и петли Полякова как классические однородные поля , которые взаимодействуют с кварками в соответствии с закономерностями симметрии и нарушения симметрии квантовой хромодинамики. .

Свободная кварковая энергия

Свободная энергия $F$ из $N$ кварки и ${\bar {N}}$ антикварков , вычитающих энергию вакуума , дается через корреляционные функции петель Полякова

$e^{-\beta F}=\langle \Phi ({\boldsymbol {x}}_{1})\dots \Phi ({\boldsymbol {x}}_{N_{q}})\Phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}}'_{1})\cdots \Phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}}_{\bar {N}}')\rangle .$

Эта свободная энергия — еще один способ увидеть, что петля Полякова действует как параметр порядка для конфайнмента, поскольку свободная энергия одного кварка определяется выражением $e^{-\beta \Delta F}=\langle \Phi ({\boldsymbol {x}})\rangle$. Удержание кварков означает, что для создания конфигурации с одним свободным кварком потребуется бесконечное количество энергии, поэтому его свободная энергия должна быть бесконечной, и поэтому математическое ожидание петли Полякова должно исчезнуть на этой фазе, что соответствует нарушению центральной симметрии. аргумент.

Формулу свободной энергии можно также использовать для расчета потенциала между парой бесконечно массивных кварков, пространственно разделенных $r=|{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}|$. Здесь потенциал $V(r)$ – первый член свободной энергии, так что корреляционная функция двух петель Полякова равна

$\langle \Phi ({\boldsymbol {x}}_{1})\Phi ({\boldsymbol {x}}_{2})\rangle \propto e^{-\beta V(r)}(1+{\mathcal {O}}(e^{-\beta \Delta E(r)})),$

где $\Delta E$ – разность энергий между потенциалом и первым возбужденным состоянием . В ограничивающей фазе потенциал линейный $V(r)=\sigma r$, где константа пропорциональности называется натяжением струны. Натяжение струны, полученное из петли Полякова, всегда ограничено сверху натяжением струны, полученным из петли Вильсона.

См. также

• Кварк-глюонная плазма
• 'т Хофт гуляет