Теорема Элицура
В квантовой теории поля и статистической теории поля теорема Элицура утверждает, что в калибровочных теориях единственные операторы, которые могут иметь ненулевые средние значения, - это те, которые инвариантны относительно локальных калибровочных преобразований. Важным следствием является то, что калибровочная симметрия не может быть спонтанно нарушена . Теорема была впервые доказана в 1975 году Шмуэлем Элицуром в теории решетчатого поля . [ 1 ] хотя ожидается, что тот же результат будет справедлив и в пределе континуума . Теорема показывает, что наивная интерпретация механизма Хиггса как спонтанного нарушения калибровочной симметрии неверна, хотя это явление можно полностью переформулировать в терминах калибровочных инвариантных величин в так называемом механизме Фрелиха – Моркио – Строкки. [ 2 ]
Теория
[ редактировать ]Теория поля допускает различные типы симметрий , наиболее распространенными из которых являются глобальная и локальная симметрии. Глобальные симметрии — это преобразования полей, действующие везде одинаково, тогда как локальные симметрии действуют на поля в зависимости от положения. Последние соответствуют избыточности в описании системы. Это следствие второй теоремы Нётер , которая утверждает, что каждая степень свободы локальной симметрии соответствует соотношению среди уравнений Эйлера-Лагранжа , что делает систему недоопределенной . Недоопределенность требует фиксации калибровки нераспространяющихся степеней свободы, чтобы уравнения движения допускали единственное решение. [ 3 ]
Спонтанное нарушение симметрии происходит, когда действие теории обладает симметрией, но вакуумное состояние нарушает эту симметрию. В этом случае будет существовать локальный оператор , который неинвариантен относительно симметрии, что придает ему ненулевое вакуумное математическое ожидание. Такие неинвариантные локальные операторы всегда имеют исчезающее вакуумное математическое ожидание для систем конечного размера, что запрещает спонтанное нарушение симметрии. Это происходит потому, что в больших масштабах времени конечные системы всегда переходят между всеми возможными основными состояниями, усредняя математическое ожидание оператора. [ 4 ]
Хотя спонтанное нарушение симметрии может произойти для глобальных симметрий, теорема Элицура утверждает, что этого не происходит для калибровочных симметрий; все вакуумные средние калибровочных неинвариантных операторов обращаются в нуль даже в системах бесконечного размера. [ 5 ] На решетке это следует из того факта, что интегрирование калибровочных неинвариантных наблюдаемых по групповой мере всегда дает ноль для компактных калибровочных групп . [ 6 ] Положительность меры и калибровочная инвариантность достаточны для доказательства теоремы. [ 7 ] Это также объясняет, почему калибровочные симметрии являются просто избыточностью в решеточных теориях поля, где уравнения движения не обязательно определяют корректную задачу, поскольку их не нужно решать. Вместо этого теорема Элицура показывает, что любая наблюдаемая величина, не инвариантная относительно симметрии, имеет исчезающее математическое ожидание, что делает ее ненаблюдаемой и, следовательно, избыточной.
Чтобы показать, что система допускает спонтанное нарушение симметрии, необходимо ввести слабое внешнее исходное поле, которое нарушает симметрию и приводит к возникновению предпочтительного основного состояния . Затем система доводится до термодинамического предела , после чего поле внешнего источника отключается. Если вакуумное математическое ожидание неинвариантных операторов симметрии в этом пределе не равно нулю, то имеет место спонтанное нарушение симметрии. [ 8 ] Физически это означает, что система никогда не покидает исходное основное состояние, в которое она была переведена внешним полем. В случае глобальных симметрий это происходит потому, что энергетический барьер между различными основными состояниями пропорционален объему, поэтому в термодинамическом пределе он расходится, удерживая систему в основном состоянии. Локальные симметрии обходят эту конструкцию, поскольку энергетический барьер между двумя основными состояниями зависит только от локальных особенностей, поэтому переходы к различным основным состояниям, связанным с калибровкой, могут происходить локально и не требуют, чтобы поле изменялось повсюду одновременно, как это происходит в случае глобальных симметрий.
Ограничения и последствия
[ редактировать ]Теорема имеет ряд ограничений. В частности, спонтанное нарушение калибровочной симметрии допускается в системе с бесконечными пространственными размерностями или симметрией с бесконечным числом переменных, поскольку в этих случаях существуют бесконечные энергетические барьеры между калибровочными конфигурациями. Теорема также не применима к остаточным калибровочным степеням свободы. [ 9 ] ни большие калибровочные преобразования , [ 10 ] который в принципе может быть самопроизвольно сломан. Более того, все текущие доказательства опираются на формулировку решеточной теории поля, поэтому они могут быть недействительными в настоящей теории непрерывного поля. Поэтому в принципе вероятно, что могут существовать экзотические теории континуума, для которых калибровочная симметрия может быть спонтанно нарушена, хотя такой сценарий остается маловероятным из-за отсутствия каких-либо известных примеров.
Классификация фаз Ландау использует ожидаемые значения местных операторов для определения фазы системы. Однако теорема Элицура показывает, что этот подход недопустим в некоторых системах, таких как теории Янга – Миллса , для которых ни один локальный оператор не может действовать как оператор порядка для ограничения . Вместо этого, чтобы обойти эту теорему, необходимо построить нелокальные калибровочно-инвариантные операторы, чьи средние значения не обязательно должны быть равны нулю. Наиболее распространенными из них являются петли Вильсона и их термические эквиваленты — петли Полякова . Другой нелокальный оператор, действующий как оператор порядка, — это цикл Т-Хофта .
Поскольку калибровочная симметрия не может быть спонтанно нарушена, это ставит под сомнение справедливость механизма Хиггса. В обычном представлении поле Хиггса имеет потенциал , который, по-видимому, придает полю Хиггса неисчезающее вакуумное математическое ожидание. Однако это всего лишь следствие введения фиксированной меры, обычно унитарной . Любое значение ожидаемого значения вакуума может быть получено путем выбора подходящего крепления манометра. Вычисление среднего значения калибровочно-инвариантным способом всегда дает ноль, что соответствует теореме Элицура. Однако механизм Хиггса можно полностью переформулировать калибровочно-инвариантным способом, известным как механизм Фрелиха – Моркио – Строкки, который не предполагает спонтанного нарушения какой-либо симметрии. [ 11 ] Для неабелевых калибровочных групп, имеющих подгруппы этот механизм согласуется с механизмом Хиггса, но для других калибровочных групп могут возникнуть расхождения между двумя подходами.
Теорему Элицура также можно обобщить на более широкое понятие локальных симметрий, где в D-мерном пространстве могут существовать симметрии, действующие равномерно на d-мерных гиперплоскостях . С этой точки зрения глобальные симметрии действуют на D-мерных гиперплоскостях, а локальные симметрии действуют на 0-мерных гиперплоскостях. Обобщенная теорема Элицура затем дает границы вакуумного среднего операторов, которые не инвариантны относительно таких d-мерных симметрий. [ 12 ] Эта теорема имеет многочисленные приложения в конденсированных системах , где возникают такие симметрии.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Элицур, С. (1975). «Невозможность спонтанного нарушения локальной симметрии» . Физ. Преподобный Д. 12 (12): 3978–3982. дои : 10.1103/PhysRevD.12.3978 .
- ^ Фрелих, Дж .; Морчио, Г.; Строкки, Ф. (1981). «Явление Хиггса без параметра порядка, нарушающего симметрию» . Ядерная физика Б . 190 (3): 553–582. Бибкод : 1981NuPhB.190..553F . дои : 10.1016/0550-3213(81)90448-X .
- ^ Фридрейх, С. (2012). «Философский взгляд на механизм Хиггса» . Журнал общей философии науки . 45 (2): 335–350.
- ^ Шанкар, Р. (2017). «10». Квантовая теория поля и конденсированная среда: введение . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 164–165. ISBN 978-0521592109 .
- ^ Фрадкин, Э. (2021). «18,6». Квантовая теория поля: комплексный подход . Издательство Принстонского университета. п. 533–534. ISBN 978-0691149080 .
- ^ Гатрингер, К.; Ланг, CB (2009). «3». Квантовая хромодинамика на решетке: вводное изложение . Конспект лекций по физике 788. Спрингер. п. 53. дои : 10.1007/978-3-642-01850-3 . ISBN 978-3642018497 .
- ^ Випф, А. (2012). «13». Статистический подход к квантовой теории поля: введение . Спрингер. п. 313–314. ISBN 978-3642331046 .
- ^ Болье, Л.; Илиопулос, Дж. ; Сенеор, Р. (2017). «25». От классических полей к квантовым . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 722–724. ISBN 978-0198788409 .
- ^ Гринсайт, Дж. (2020). «3». Введение в проблему конфайнмента (2-е изд.). Спрингер. п. 27–28. ISBN 978-3030515621 .
- ^ Герцберг, член парламента; Джайн, М. (2019). «Подсчет состояний в теориях Хиггса». Физ. Преподобный Д. 99 (6): 065015. arXiv : 1807.05233 . дои : 10.1103/PhysRevD.99.065015 .
- ^ Аксель, М. (2019). «Физика Браута-Энглерта-Хиггса: от основ к феноменологии». Прог. Часть. Нукл. Физ . 106 : 132–209. arXiv : 1712.04721 . дои : 10.1016/j.ppnp.2019.02.003 .
- ^ Батиста, компакт-диск; Нусинов, З. (2005). «Обобщенная теорема Элицура и размерные редукции». Физ. Преподобный Б. 72 (4): 045137. arXiv : cond-mat/0410599 . дои : 10.1103/PhysRevB.72.045137 .