теория Ландау

Не путать с теорией Гинзбурга-Ландау .

Теория Ландау (также известная как теория Гинзбурга-Ландау , несмотря на запутанное название) ) в физике — теория, которую Лев Ландау ввёл в попытке сформулировать общую теорию непрерывных (т. е. второго рода) фазовых переходов . Его также можно адаптировать к системам, находящимся под внешними полями, и использовать в качестве количественной модели для прерывистых переходов (т. е. первого рода). Хотя эта теория в настоящее время заменена формулировками ренормгруппы и теории масштабирования, она остается исключительно широкой и мощной основой для фазовых переходов, а связанная с ней концепция параметра порядка как дескриптора существенного характера перехода оказалась преобразующей.

Формулировка среднего поля (без дальней корреляции)

Основная статья: Теория среднего поля

Ландау был мотивирован предположить, что свободная энергия любой системы должна подчиняться двум условиям:

• Будьте аналитичны в отношении параметра порядка и его градиентов.
• Соблюдайте симметрию гамильтониана .

Учитывая эти два условия, можно записать (вблизи критической температуры T _c ) феноменологическое выражение для свободной энергии в виде разложения Тейлора по параметру порядка .

Переходы второго рода

Схема свободной энергии как функции параметра порядка $\eta$

Рассмотрим систему, которая нарушает некоторую симметрию ниже фазового перехода, который характеризуется параметром порядка $\eta$. Этот параметр порядка является мерой порядка до и после фазового перехода; параметр порядка часто равен нулю выше некоторой критической температуры и отличен от нуля ниже критической температуры. В простой ферромагнитной системе, такой как модель Изинга , параметр порядка характеризуется чистой намагниченностью. $m$, который спонтанно становится отличным от нуля ниже критической температуры $T_{c}$. В теории Ландау рассматривается функционал свободной энергии, который является аналитической функцией параметра порядка. Во многих системах с определенной симметрией свободная энергия будет функцией только четных степеней параметра порядка, для чего ее можно выразить в виде разложения в ряд

$F(T,\eta )-F_{0}=a(T)\eta ^{2}+{\frac {b(T)}{2}}\eta ^{4}+\cdots$

В общем, в свободной энергии присутствуют члены более высокого порядка, но разумным приближением является рассмотрение ряда четвертого порядка по параметру порядка, пока параметр порядка мал. Чтобы система была термодинамически стабильной (т. е. система не ищет бесконечный параметр порядка для минимизации энергии), коэффициент при высшей четной степени параметра порядка должен быть положительным, поэтому $b(T)>0$. Для простоты можно предположить, что $b(T)=b_{0}$, постоянная, вблизи критической температуры. Кроме того, поскольку $a(T)$ меняет знак выше и ниже критической температуры, можно аналогичным образом расширить $a(T)\approx a_{0}(T-T_{c})$, где предполагается, что $a>0$ для высокотемпературной фазы, в то время как $a<0$ для низкотемпературной фазы — чтобы произошел переход. При этих предположениях минимизация свободной энергии по отношению к параметру порядка требует

${\frac {\partial F}{\partial \eta }}=2a(T)\eta +2b(T)\eta ^{3}=0$

Решением параметра порядка, удовлетворяющим этому условию, является либо $\eta =0$, или

$\eta _{0}^{2}=-{\frac {a}{b}}=-{\frac {a_{0}}{b_{0}}}(T-T_{c})$

Параметр порядка и теплоемкость как функция температуры

Ясно, что это решение существует только для $T<T_{c}$, в противном случае $\eta =0$ это единственное решение. Действительно, $\eta =0$ является минимальным решением для $T>T_{c}$, но решение $\eta _{0}$ минимизирует свободную энергию для $T<T_{c}$, и, таким образом, является стабильной фазой. Кроме того, параметр порядка подчиняется соотношению

$\eta (T)\propto \left|T-T_{c}\right|^{1/2}$

ниже критической температуры, что указывает на критический показатель степени $\beta =1/2$ для этой модели теории среднего Ландау.

Свободная энергия будет меняться в зависимости от температуры, определяемой выражением

$F-F_{0}={\begin{cases}-{\dfrac {a_{0}^{2}}{2b_{0}}}(T-T_{c})^{2},&T<T_{c}\\0,&T>T_{c}\end{cases}}$

По свободной энергии можно вычислить удельную теплоемкость,

$c_{p}=-T{\frac {\partial ^{2}F}{\partial T^{2}}}={\begin{cases}{\dfrac {a_{0}^{2}}{b_{0}}}T,&T<T_{c}\\0,&T>T_{c}\end{cases}}$

который имеет конечный скачок при критической температуре размера $\Delta c=a_{0}^{2}T_{c}/b_{0}$. Таким образом, этот конечный скачок не связан с разрывом, который произошел бы, если бы система поглощала скрытое тепло , поскольку $T_{c}\Delta S=0$. Примечательно также, что скачок теплоемкости связан с скачком второй производной свободной энергии, характерным для фазового перехода второго рода. Кроме того, тот факт, что удельная теплоемкость не имеет расхождения или излома в критической точке, указывает на ее критический показатель для $c\sim |T-T_{c}|^{-\alpha }$ является $\alpha =0$.

Неприводимые представления

Ландау расширил свою теорию, включив в нее ограничения, которые она накладывает на симметрии до и после перехода второго порядка. Они должны соответствовать ряду требований:

• Искаженная (или упорядоченная) симметрия должна быть подгруппой более высокой.
• Параметр порядка, который воплощает искажение, должен преобразоваться как единое неприводимое представление (irrep) родительской симметрии.
• Непредставление не должно содержать инвариант третьего порядка.
• Если inrep допускает более одного инварианта четвертого порядка, результирующая симметрия минимизирует линейную комбинацию этих инвариантов.

В последнем случае посредством непрерывного перехода должно быть доступно более одной дочерней структуры. Хорошим примером этого является структура MnP (пространственная группа Cmca) и низкотемпературная структура NbS (пространственная группа P6 ₃ mc). Они обе являются дочерьми структуры NiAs, и их искажения трансформируются в соответствии с одним и тем же представлением этой пространственной группы.

Прикладные поля

Во многих системах можно рассматривать возмущающее поле $h$ который линейно связан с параметром порядка. Например, в случае классического дипольного момента $\mu$, энергия системы диполь-поле равна $-\mu B$. В общем случае можно предположить энергетический сдвиг $-\eta h$ из-за связи параметра порядка с приложенным полем $h$, и в результате изменится свободная энергия Ландау:

$F(T,\eta )-F_{0}=a_{0}(T-T_{c})\eta ^{2}+{\frac {b_{0}}{2}}\eta ^{4}-\eta h$

В этом случае условие минимизации имеет вид

${\frac {\partial F}{\partial \eta }}=2a(T)\eta +2b_{0}\eta ^{3}-h=0$

Одним из непосредственных следствий этого уравнения и его решения является то, что если приложенное поле не равно нулю, то и намагниченность отлична от нуля при любой температуре. Это означает, что больше нет спонтанного нарушения симметрии, которое происходит при любой температуре. Более того, из этого условия можно получить некоторые интересные термодинамические и универсальные величины. Например, при критической температуре, где $a(T_{c})=0$, можно найти зависимость параметра порядка от внешнего поля:

$\eta (T_{c})=\left({\frac {h}{2b_{0}}}\right)^{1/3}\propto h^{1/\delta }$

указывая критический показатель $\delta =3$.

Восприимчивость в нулевом поле как функция температуры вблизи критической температуры

Кроме того, из приведенного выше условия можно найти восприимчивость в нулевом поле $\chi \equiv \partial \eta /\partial h|_{h=0}$, который должен удовлетворять

$0=2a{\frac {\partial \eta }{\partial h}}+6b\eta ^{2}{\frac {\partial \eta }{\partial h}}-1$

$[2a+6b\eta ^{2}]{\frac {\partial \eta }{\partial h}}=1$

В этом случае, напоминая в случае нулевого поля, что $\eta ^{2}=-a/b$ при низких температурах, при этом $\eta ^{2}=0$ Таким образом, для температур выше критической восприимчивость в нулевом поле имеет следующую температурную зависимость:

$\chi (T,h\to 0)={\begin{cases}{\frac {1}{2a_{0}(T-T_{c})}},&T>T_{c}\\{\frac {1}{-4a_{0}(T-T_{c})}},&T<T_{c}\end{cases}}\propto |T-T_{c}|^{-\gamma }$

что напоминает закон Кюри-Вейсса для температурной зависимости магнитной восприимчивости в магнитных материалах и дает критический показатель среднего поля $\gamma =1$.

Примечательно, что хотя полученные таким образом критические показатели неверны для многих моделей и систем, они правильно удовлетворяют различным равенствам показателей, таким как равенство Рашбрука: $\alpha +2\beta +\gamma =1$.

Переходы первого порядка

Теорию Ландау можно также использовать для изучения переходов первого рода . Возможны две различные формулировки в зависимости от того, симметрична ли система относительно смены знака параметра порядка.

I. Симметричный случай

Здесь мы рассматриваем случай, когда система обладает симметрией и энергия инвариантна при смене знака параметра порядка.Переход первого рода возникнет, если член четвертой степени в $F$ является отрицательным. Чтобы гарантировать, что свободная энергия в целом остается положительной $\eta$, необходимо довести расширение свободной энергии до шестого порядка,

$F(T,\eta )=A(T)\eta ^{2}-B_{0}\eta ^{4}+C_{0}\eta ^{6},$

где $A(T)=A_{0}(T-T_{0})$, и $T_{0}$ это некоторая температура, при которой $A(T)$ меняет знак. Обозначим эту температуру через $T_{0}$ и не $T_{c}$, поскольку ниже выяснится, что это не температура перехода первого рода, и поскольку критической точки нет, понятие «критической температуры» изначально вводит в заблуждение. $A_{0},B_{0},$ и $C_{0}$ являются положительными коэффициентами.

Мы анализируем этот функционал свободной энергии следующим образом: (i) Для $T>T_{0}$, $\eta ^{2}$ и $\eta ^{6}$ термины вогнуты вверх для всех $\eta$, в то время как $\eta ^{4}$ термин вогнут вниз. Таким образом, при достаточно высоких температурах $F$ вогнутая вверх для всех $\eta$, а равновесное решение есть $\eta =0$. (ii) Для $T<T_{0}$, оба $\eta ^{2}$ и $\eta ^{4}$ члены отрицательны, поэтому $\eta =0$ является локальным максимумом и минимумом $F$ имеет некоторое ненулевое значение $\pm \eta _{0}(T)$, с $F(T_{0},\eta _{0}(T_{0}))<0$. (iii) Для $T$ чуть выше $T_{0}$, $\eta =0$ превращается в локальный минимум, а минимум при $\eta _{0}(T)$ продолжает оставаться глобальным минимумом, поскольку имеет более низкую свободную энергию. Отсюда следует, что при повышении температуры выше $T_{0}$, глобальный минимум не может непрерывно развиваться от $\eta _{0}(T)$ до 0. Вернее, при некоторой промежуточной температуре $T_{*}$, минимум при $\eta _{0}(T_{*})$ и $\eta =0$ должен стать деградирующим. Для $T>T_{*}$, глобальный минимум будет скачкообразно прыгать с $\eta _{0}(T_{*})$ до 0.

Найти $T_{*}$, мы требуем, чтобы свободная энергия была равна нулю при $\eta =\eta _{0}(T_{*})$ (так же, как $\eta =0$ решение), и, кроме того, что эта точка должна быть локальным минимумом. Эти два условия приводят к двум уравнениям:

$0=A(T)\eta ^{2}-B_{0}\eta ^{4}+C_{0}\eta ^{6},$

$0=2A(T)\eta -4B_{0}\eta ^{3}+6C_{0}\eta ^{5},$

Фазовый переход первого рода, продемонстрированный в разрыве параметра порядка в зависимости от температуры.

которые удовлетворяются, когда $\eta ^{2}(T_{*})={B_{0}}/{2C_{0}}$. Из этих же уравнений следует, что $A(T_{*})=A_{0}(T_{*}-T_{0})=B_{0}^{2}/4C_{0}$. То есть,

$T_{*}=T_{0}+{\frac {B_{0}^{2}}{4A_{0}C_{0}}}.$

Из этого анализа можно ясно увидеть оба вышеизложенных пункта. Во-первых, параметр порядка претерпевает скачок от $(B_{0}/2C_{0})^{1/2}$ до 0. Во-вторых, температура перехода $T_{*}$ это не то же самое, что температура $T_{0}$ где $A(T)$ исчезает.

При температурах ниже температуры перехода $T<T_{*}$, параметр порядка определяется выражением

$\eta _{0}^{2}={\frac {B_{0}}{3C_{0}}}\left[1+{\sqrt {1-{\frac {3A(T)C_{0}}{B_{0}^{2}}}}}\right]$

который изображен справа. Это показывает явный разрыв, связанный с зависимостью параметра порядка от температуры. Чтобы дополнительно продемонстрировать, что переход является переходом первого рода, можно показать, что свободная энергия для этого параметра порядка непрерывна при температуре перехода. $T_{*}$, но ее первая производная (энтропия) страдает от разрыва, что отражает существование ненулевой скрытой теплоты.

II. Несимметричный случай

Далее рассмотрим случай, когда система не обладает симметрией. В этом случае нет смысла сохранять только четные степени $\eta$ в расширении $F$, и кубический член должен быть разрешен (Линейный член всегда можно исключить сдвигом $\eta \to \eta$ + константа.) Таким образом, мы рассматриваем функционал свободной энергии

$F(T,\eta )=A(T)\eta ^{2}-C_{0}\eta ^{3}+B_{0}\eta ^{4}+\cdots .$

Снова $A(T)=A_{0}(T-T_{0})$, и $A_{0},B_{0},C_{0}$ все положительные. Знак кубического члена всегда можно выбрать отрицательным, как мы это сделали, изменив знак $\eta$ если необходимо.

Мы анализируем этот функционал свободной энергии следующим образом: (i) Для $T<T_{0}$, мы имеем локальный максимум в $\eta =0$, а поскольку свободная энергия ограничена снизу, должны быть два локальных минимума при ненулевых значениях $\eta _{-}(T)<0$ и $\eta _{+}(T)>0$. Кубический член гарантирует, что $\eta _{+}$ является глобальным минимумом, поскольку он глубже. (ii) Для $T$ чуть выше $T_{0}$, минимум в $\eta _{-}$ исчезает, максимум при $\eta =0$ превращается в локальный минимум, а минимум при $\eta _{+}$ сохраняется и продолжает оставаться глобальным минимумом. При дальнейшем повышении температуры $F(T,\eta _{+}(T))$ поднимается до тех пор, пока не станет равным нулю при некоторой температуре $T_{*}$. В $T_{*}$ мы получаем прерывистый скачок глобального минимума от $\eta _{+}(T_{*})$ до 0. (Минимумы не могут сливаться, поскольку для этого потребуются первые три производные $F$ исчезнуть в $\eta =0$.)

Найти $T_{*}$, мы требуем, чтобы свободная энергия была равна нулю при $\eta =\eta _{+}(T_{*})$ (так же, как $\eta =0$ решение), и, кроме того, что эта точка должна быть локальным минимумом. Эти два условия приводят к двум уравнениям:

$0=A(T)\eta ^{2}-C_{0}\eta ^{3}+B_{0}\eta ^{4},$

$0=2A(T)\eta -3C_{0}\eta ^{2}+4B_{0}\eta ^{3},$

которые удовлетворяются, когда $\eta (T_{*})={C_{0}}/{2B_{0}}$. Из этих же уравнений следует, что $A(T_{*})=A_{0}(T_{*}-T_{0})=C_{0}^{2}/4B_{0}$. То есть,

$T_{*}=T_{0}+{\frac {C_{0}^{2}}{4A_{0}B_{0}}}.$

Как и в симметричном случае, параметр порядка претерпевает скачок от $(C_{0}/2B_{0})$ до 0. Во-вторых, температура перехода $T_{*}$ это не то же самое, что температура $T_{0}$ где $A(T)$ исчезает.

Приложения

Экспериментально было известно, что кривая сосуществования жидкость-газ и кривая намагничивания ферромагнетика имеют масштабную зависимость вида $|T-T_{c}|^{\beta }$, где $\beta$ загадочным образом был одинаковым для обеих систем. Это феномен универсальности . Было также известно, что простые модели жидкость-газ точно сопоставляются с простыми магнитными моделями, а это означало, что обе системы обладают одинаковой симметрией. Затем из теории Ландау следовало, почему эти две, казалось бы, несопоставимые системы должны иметь одинаковые критические показатели, несмотря на разные микроскопические параметры. Сейчас известно, что явление универсальности возникает по другим причинам (см. Ренормгруппа ). Фактически теория Ландау предсказывает неправильные критические показатели для систем Изинга и жидкости–газа.

Большим достоинством теории Ландау является то, что она делает конкретные предсказания относительно того, какое неаналитическое поведение следует наблюдать, когда лежащая в основе свободная энергия является аналитической. Тогда вся неаналитичность в критической точке, критических показателях, обусловлена ​​тем, что равновесное значение параметра порядка изменяется неаналитически, как квадратный корень, всякий раз, когда свободная энергия теряет свой уникальный минимум.

Расширение теории Ландау для включения флуктуаций параметра порядка показывает, что теория Ландау строго справедлива только вблизи критических точек обычных систем с пространственными размерностями больше 4. Это верхняя критическая размерность , и она может быть намного выше четырех в более точно настроенный фазовый переход. В среднего анализе изотропной точки Лифшица, проведенном Мухамелем, критическая размерность равна 8. Это связано с тем, что теория Ландау является теорией поля и не включает дальнодействующие корреляции.

Эта теория не объясняет неаналитичность в критической точке, но применительно к сверхтекучести и сверхпроводника теория Ландау послужила источником вдохновения для другой теории, Гинзбурга-Ландау теории сверхпроводимости фазовому переходу .

Включая долгосрочные корреляции

Рассмотрим свободную энергию модели Изинга, приведенную выше. Предположим, что параметр порядка $\Psi$ и внешнее магнитное поле, $h$, могут иметь пространственные вариации. Теперь можно предположить, что свободная энергия системы принимает следующий видоизмененный вид:

$F:=\int d^{D}x\ \left(a(T)+r(T)\psi ^{2}(x)+s(T)\psi ^{4}(x)\ +f(T)(\nabla \psi (x))^{2}\ +h(x)\psi (x)\ \ +{\mathcal {O}}(\psi ^{6};(\nabla \psi )^{4})\right)$

где $D$ – полная пространственная размерность. Так,

$\langle \psi (x)\rangle :={\frac {{\text{Tr}}\ \psi (x){\rm {e}}^{-\beta H}}{Z}}$

Предположим, что для локализованного внешнего магнитного возмущения $h(x)\rightarrow 0+h_{0}\delta (x)$, параметр порядка принимает вид $\psi (x)\rightarrow \psi _{0}+\phi (x)$. Затем,

${\frac {\delta \langle \psi (x)\rangle }{\delta h(0)}}={\frac {\phi (x)}{h_{0}}}=\beta \left(\langle \psi (x)\psi (0)\rangle -\langle \psi (x)\rangle \langle \psi (0)\rangle \right)$

То есть колебание $\phi (x)$ в параметре порядка соответствует корреляции порядок-порядок. Следовательно, пренебрежение этим колебанием (как и в более раннем подходе среднего поля) соответствует пренебрежению корреляцией порядка-порядка, которая расходится вблизи критической точки.

Можно также решить для $\phi (x)$, откуда показатель масштабирования, $\nu$, для корреляционной длины $\xi \sim (T-T_{c})^{-\nu }$ можно вывести. Исходя из них, критерий Гинзбурга для верхней критической размерности применимости теории Ландау среднего поля Изинга (без дальнодействующей корреляции) можно рассчитать как:

$D\geq 2+2{\frac {\beta }{\nu }}$

В нашей текущей модели Изинга теория Ландау среднего поля дает $\beta =1/2=\nu$ и поэтому она (теория Ландау среднего поля Изинга) справедлива только для пространственной размерности, большей или равной 4 (при предельных значениях $D=4$, есть небольшие поправки к показателям). Эту модифицированную версию теории Ландау среднего поля иногда также называют теорией фазовых переходов Изинга Ландау – Гинзбурга. В качестве пояснения, существует также теория Ландау-Гинзбурга, специфичная для фазового перехода сверхпроводимости, которая также включает флуктуации.

См. также

• Теория Гинзбурга – Ландау
• Теория Ландау – де Жена
• критерий Гинзбурга
• Уравнение Стюарта – Ландау

Дальнейшее чтение

• Ландау Л.Д. Сборник статей (Наука, Москва, 1969).
• Майкл К. Кросс, Теория Ландау фазовых переходов второго рода , [1] (конспекты лекций по статистической механике Калифорнийского технологического института).
• Юхновский И.Р., Фазовые переходы второго рода – метод коллективных переменных , World Scientific, 1987, ISBN   9971-5-0087-6