Уравнение Стюарта – Ландау

Уравнение Стюарта–Ландау описывает поведение нелинейной колебательной системы вблизи бифуркации Хопфа , названной в честь Джона Тревора Стюарта и Льва Ландау . В 1944 году Ландау предложил уравнение эволюции величины возмущения, которое сейчас называется уравнением Ландау , для объяснения перехода к турбулентности на основе феноменологического аргумента. а попытка вывести это уравнение из гидродинамических уравнений была предпринята Стюартом для плоского течения Пуазейля в 1958 году. Формальный вывод для вывода уравнения Ландау был дан Стюартом, Уотсоном и Палмом в 1960 году. Возмущение в окрестности бифуркации определяется следующим уравнением

${\frac {dA}{dt}}=\sigma A-{\frac {l}{2}}A|A|^{2}.$

где

• $A=|A|e^{i\phi }$ – комплексная величина, описывающая возмущение,
• $\sigma =\sigma _{r}+i\sigma _{i}$ – комплексная скорость роста,
• $l=l_{r}+il_{i}$ является комплексным числом и $l_{r}$ — постоянная Ландау .

Эволюция фактического возмущения определяется действительной частью $A(t)$ то есть, чтобы $|A|\cos \phi$. Здесь реальная часть темпа роста принимается положительной, т.е. $\sigma _{r}>0$ поскольку в противном случае система устойчива в линейном смысле, т. е. при бесконечно малых возмущениях ( $|A|$ небольшое число), нелинейный член в приведенном выше уравнении пренебрежимо мал по сравнению с двумя другими членами, и в этом случае амплитуда растет со временем только в том случае, если $\sigma _{r}>0$. также Постоянная Ландау считается положительной: $l_{r}>0$ потому что в противном случае амплитуда будет расти бесконечно (см. уравнения ниже и общее решение в следующем разделе). Уравнение Ландау представляет собой уравнение для величины возмущения:

${\frac {d|A|^{2}}{dt}}=2\sigma _{r}|A|^{2}-l_{r}|A|^{4},$

который также можно переписать как

${\frac {d|A|}{dt}}=\sigma _{r}|A|-{\frac {l_{r}}{2}}|A|^{3}.$

Аналогично, уравнение для фазы имеет вид

${\frac {d\phi }{dt}}=\sigma _{i}-{\frac {l_{i}}{2}}|A|^{2}.$

Для неоднородных систем, т. е. когда $A$ зависит от пространственных координат, см. уравнение Гинзбурга – Ландау . Благодаря универсальности уравнения уравнение находит применение во многих областях, таких как гидродинамическая устойчивость , реакция Белоусова-Жаботинского , и т. д.

Общее решение

Уравнение Ландау является линейным, если оно записано для зависимой переменной $|A|^{-2}$,

${\frac {d|A|^{-2}}{dt}}+2\sigma _{r}|A|^{-2}=l_{r}.$

Общее решение для $\sigma _{r}\neq 0$ приведенного выше уравнения

$|A(t)|^{-2}={\frac {l_{r}}{2\sigma _{r}}}+\left(|A(0)|^{-2}-{\frac {l_{r}}{2\sigma _{r}}}\right)e^{-2\sigma _{r}t}.$

Как $t\rightarrow \infty$, величина возмущения $|A|$ приближается к постоянному значению, не зависящему от его начального значения, т. е. $|A|_{\mathrm {max} }\rightarrow (2\sigma _{r}/l_{r})^{1/2}$ когда $t\gg 1/\sigma _{r}$. Приведенное выше решение подразумевает, что $|A|$ не имеет реального решения, если $l_{r}<0$ и $\sigma _{r}>0$. Соответствующее решение для фазовой функции $\phi (t)$ дается

$\phi (t)-\phi (0)=\sigma _{i}t-{\frac {l_{i}}{2l_{r}}}\ln \left[1+{\frac {|A(0)|^{2}l_{r}}{2\sigma _{r}}}(e^{2\sigma _{r}t}-1)\right].$

Как $t\gg 1/\sigma _{r}$, фаза изменяется линейно со временем, $\phi \sim (\sigma _{i}/\sigma _{r}-l_{i}/l_{r})\sigma _{r}t.$

Поучительно рассмотреть случай гидродинамической устойчивости, когда обнаружено, что согласно анализу линейной устойчивости течение устойчиво, когда $Re\leq Re_{\mathrm {cr} }$ и неустойчиво в противном случае, где $Re$ это число Рейнольдса и $Re_{\mathrm {cr} }$ – критическое число Рейнольдса; знакомый пример, применимый здесь, — это критическое число Рейнольдса, $Re_{\mathrm {cr} }\approx 50$, что соответствует переходу к вихревой дорожке Кармана в задаче обтекания цилиндра. Темпы роста $\sigma _{r}$ является отрицательным, когда $Re<Re_{\mathrm {cr} }$ и является положительным, когда $Re>Re_{\mathrm {cr} }$ и поэтому по соседству $Re\rightarrow Re_{\mathrm {cr} }$, это можно записать как $\sigma _{r}={\text{const}}.\times (Re-Re_{\mathrm {cr} })$ где константа положительна. Таким образом, предельная амплитуда определяется выражением

$|A|_{\mathrm {max} }\propto {\sqrt {Re-Re_{\mathrm {cr} }}}.$

Отрицательная постоянная Ландау

Когда постоянная Ландау отрицательна, $l_{r}<0$, мы должны включить отрицательный член более высокого порядка, чтобы остановить неограниченное увеличение возмущения. В этом случае уравнение Ландау принимает вид

${\frac {d|A|^{2}}{dt}}=2\sigma _{r}|A|^{2}-l_{r}|A|^{4}-\beta _{r}|A|^{6},\quad \beta _{r}>0.$

Тогда предельная амплитуда становится

$|A|_{\mathrm {max} }\rightarrow {\frac {|l_{r}|}{2\beta _{r}}}\pm {\sqrt {{\frac {l_{r}^{2}}{4\beta _{r}^{2}}}+{\frac {2|l_{r}|\sigma _{r}}{\beta _{r}}}}},\quad {\text{as}}\quad t\gg 1/\sigma _{r}$

где знак плюс соответствует стабильной ветви, а знак минус — нестабильной. Существует значение критического значения $Re_{\mathrm {cr} }'$ где два вышеуказанных корня равны ( $\sigma _{r}=-|l_{r}|/8\beta _{r}$) такой, что $Re_{\mathrm {cr} }'<Re_{\mathrm {cr} }$, что указывает на то, что поток в области $Re_{\mathrm {cr} }'<Re<Re_{\mathrm {cr} }$ метастабилен . , то есть в метастабильной области поток устойчив к бесконечно малым возмущениям, но не к возмущениям конечной амплитуды

См. также

• Теория фазового перехода Ландау
• Теория Гинзбурга – Ландау