Теория Гинзбурга – Ландау

Не путать с теорией Ландау .

О нелинейной неустойчивости см. уравнение Гинзбурга – Ландау .

В физике , теория Гинзбурга-Ландау , часто называемая теорией Ландау-Гинзбурга названная в честь Виталия Гинзбурга и Льва Ландау , представляет собой математическую физическую теорию, используемую для описания сверхпроводимости . В своей первоначальной форме она постулировалась как феноменологическая модель, которая могла описывать сверхпроводники I рода без изучения их микроскопических свойств. Одним из сверхпроводников типа GL является знаменитый YBCO , и вообще все купраты .

Позже версия теории Гинзбурга-Ландау была выведена на основе Бардина-Купера-Шриффера микроскопической теории Львом Горьковым . тем самым показывая, что он также появляется в некотором пределе микроскопической теории, и давая микроскопическую интерпретацию всех его параметров. Теории также можно дать общую геометрическую постановку, поместив ее в контекст римановой геометрии , где во многих случаях могут быть даны точные решения. Эта общая постановка затем распространяется на квантовую теорию поля и теорию струн , опять же благодаря ее разрешимости и тесной связи с другими подобными системами.

Введение

Основываясь на ранее созданной теории Ландау второго рода фазовых переходов , Гинзбург и Ландау утверждали, что свободной энергии плотность $f_{s}$ сверхпроводника вблизи сверхпроводящего перехода можно выразить через комплексное параметра порядка поле $\psi (r)=|\psi (r)|e^{i\phi (r)}$, где количество $|\psi (r)|^{2}$ является мерой локальной плотности сверхпроводящих электронов $n_{s}(r)$ аналог квантовомеханической волновой функции . Пока $\psi (r)$ отличен от нуля ниже фазового перехода в сверхпроводящее состояние, в оригинальной статье не было дано прямой интерпретации этого параметра. Предполагая малость $|\psi |$ и малости ее градиентов плотность свободной энергии имеет вид теории поля и обладает калибровочной симметрией U(1):

$$f_{s}=f_{n}+\alpha (T)|\psi |^{2}+{\frac {1}{2}}\beta (T)|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m^{*}}}\left|\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \right|^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{8\pi }},$$

где

• $f_{n}$ – плотность свободной энергии нормальной фазы,
• $\alpha (T)$ и $\beta (T)$ феноменологические параметры, являющиеся функциями T (и часто записываемые просто $\alpha$ и $\beta$).
• $m^{*}$ — эффективная масса ,
• $e^{*}$ — эффективный заряд (обычно $2e$, где e — заряд электрона),
• $\mathbf {A}$ – магнитный векторный потенциал , а
• $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$ является магнитное поле.

Полная свободная энергия определяется выражением $F=\int f_{s}d^{3}r$. Минимизируя $F$ относительно изменения параметра порядка $\psi$ и векторный потенциал $\mathbf {A}$, приходим к уравнениям Гинзбурга–Ландау

$$\alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\frac {1}{2m^{*}}}\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}\psi =0$$

$$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \;\;;\;\;\mathbf {J} ={\frac {e^{*}}{m^{*}}}\operatorname {Re} \left\{\psi ^{*}\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \right\},$$

где $J$ обозначает бездиссипативную — плотность электрического тока , а Re действительную часть . Первое уравнение, которое имеет некоторое сходство с независимым от времени уравнением Шредингера , но принципиально отличается из-за нелинейного члена, определяет параметр порядка: $\psi$. Второе уравнение затем дает сверхпроводящий ток.

Простая интерпретация

Рассмотрим однородный сверхпроводник, в котором нет сверхпроводящего тока, и уравнение для ψ упрощается до: $$\alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi =0.$$

Это уравнение имеет тривиальное решение: ψ = 0 . Это соответствует нормальному проводящему состоянию, то есть для температур выше температуры сверхпроводящего перехода T > T _c .

Ожидается, что ниже температуры сверхпроводящего перехода приведенное выше уравнение будет иметь нетривиальное решение (т.е. $\psi \neq 0$). При этом предположении приведенное выше уравнение можно преобразовать в: $$|\psi |^{2}=-{\frac {\alpha }{\beta }}.$$

Когда правая часть этого уравнения положительна, существует ненулевое решение для ψ (помните, что величина комплексного числа может быть положительной или нулевой). Этого можно добиться, если предположить следующую температурную зависимость $\alpha :\alpha (T)=\alpha _{0}(T-T_{\rm {c}})$ с $\alpha _{0}/\beta >0$:

• Выше температуры сверхпроводящего перехода, T > T _c , выражение α ( T ) / β положительное, а правая часть приведенного выше уравнения отрицательна. Величина комплексного числа должна быть неотрицательным числом, поэтому только ψ = 0 решает уравнение Гинзбурга – Ландау.
• Ниже температуры сверхпроводящего перехода T < T _c правая часть приведенного выше уравнения положительна, и существует нетривиальное решение для ψ . Более того, $$|\psi |^{2}=-{\frac {\alpha _{0}(T-T_{c})}{\beta }},$$ то есть ψ приближается к нулю по мере того, как T приближается к T _c снизу. Такое поведение характерно для фазового перехода второго рода.

В теории Гинзбурга-Ландау предполагалось, что электроны, вносящие вклад в сверхпроводимость, образуют сверхтекучую жидкость . В этой интерпретации | ψ | ² указывает на долю электронов, которые конденсировались в сверхтекучую жидкость.

Длина когерентности и глубина проникновения

Уравнения Гинзбурга – Ландау предсказали две новые характерные длины в сверхпроводнике. Первая характеристическая длина была названа длиной когерентности ξ . Для T > T _c (нормальная фаза) это определяется выражением

$\xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}|\alpha |}}}.$

тогда как для T < T _c (сверхпроводящая фаза), где это более актуально, оно определяется выражением

$\xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{4m^{*}|\alpha |}}}.$

Он устанавливает экспоненциальный закон, согласно которому малые возмущения плотности сверхпроводящих электронов восстанавливают свое равновесное значение ψ ₀ . Таким образом, эта теория характеризовала все сверхпроводники двумя масштабами длины. Второй — глубина проникновения λ . Ранее оно было введено братьями Лондонами в их лондонской теории . Выраженный через параметры модели Гинзбурга–Ландау, он равен

$\lambda ={\sqrt {\frac {m^{*}}{\mu _{0}e^{*2}\psi _{0}^{2}}}}={\sqrt {\frac {m^{*}\beta }{\mu _{0}e^{*2}|\alpha |}}},$

где ψ ₀ — равновесное значение параметра порядка в отсутствие электромагнитного поля. Глубина проникновения задает экспоненциальный закон затухания внешнего магнитного поля внутри сверхпроводника.

Оригинальная идея о параметре κ принадлежит Ландау. Отношение κ = λ / ξ в настоящее время известно как параметр Гинзбурга–Ландау. Ландау предположил, что сверхпроводниками I типа являются те, у которых 0 < κ < 1/ √ 2 , а сверхпроводниками II рода - те, у которых κ > 1/ √ 2 .

Колебания

Фазовый переход из нормального состояния для сверхпроводников II рода с учетом флуктуаций имеет второй порядок, как показали Дасгупта и Гальперин, а для сверхпроводников I рода — первого рода, как показали Гальперин, Лубенский и Ма.

Классификация сверхпроводников

В оригинальной статье Гинзбург и Ландау наблюдали существование двух типов сверхпроводников в зависимости от от энергии границы раздела нормального и сверхпроводящего состояний. Состояние Мейснера нарушается, когда приложенное магнитное поле слишком велико. Сверхпроводники можно разделить на два класса в зависимости от того, как происходит этот пробой. В сверхпроводниках I рода когда напряженность приложенного поля превышает критическое значение Hc _{сверхпроводимость резко разрушается ,} . В зависимости от геометрии образца можно получить промежуточное состояние состоящий из узора в стиле барокко областей обычного материала, несущего магнитное поле, смешанного с областями сверхпроводящего материала, не содержащего поля. В сверхпроводниках типа II увеличение приложенного поля выше критического значения H _{c 1} приводит к смешанному состоянию (также известному как вихревое состояние), в котором все большее количество магнитного потока проникает в материал, но не остается сопротивления потоку электрический ток, пока ток не слишком велик. При второй критической напряженности поля H _{c 2} сверхпроводимость разрушается. Смешанное состояние на самом деле вызвано вихрями в электронной сверхтекучей жидкости, иногда называемыми флаксонами, поскольку поток, переносимый этими вихрями, квантован . Большинство чистых элементарных сверхпроводников, за исключением ниобия и углеродных нанотрубок , относятся к типу I, тогда как почти все примесные и составные сверхпроводники относятся к типу II.

Самый важный вывод теории Гинзбурга-Ландау был сделан Алексеем Абрикосовым в 1957 году. Он использовал теорию Гинзбурга-Ландау для объяснения экспериментов со сверхпроводящими сплавами и тонкими пленками. Он обнаружил, что в сверхпроводнике II рода в сильном магнитном поле поле проникает в треугольную решетку квантованных трубок вихрей потока .

Геометрическая формулировка

Функционал Гинзбурга–Ландау можно сформулировать в общей ситуации комплексного векторного расслоения над компактным римановым многообразием . Это тот же функционал, что приведен выше, преобразованный в обозначения, обычно используемые в римановой геометрии. Можно показать, что во многих интересных случаях он демонстрирует те же явления, что и вышеописанные, включая вихри Абрикосова (см. обсуждение ниже).

Для комплексного векторного расслоения $E$ над римановым многообразием $M$ с волокном $\mathbb {C} ^{n}$, параметр порядка $\psi$ понимается как сечение векторного расслоения $E$. Функционал Гинзбурга – Ландау тогда является лагранжианом для этого сечения:

${\mathcal {L}}(\psi ,A)=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dotsm \wedge dx^{m}\left[\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}\right]$

Здесь используются следующие обозначения. Волокна $\mathbb {C} ^{n}$ предполагается, что они оснащены эрмитовым внутренним произведением $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ так что квадрат нормы записывается как $\vert \psi \vert ^{2}=\langle \psi ,\psi \rangle$. Феноменологические параметры $\alpha$ и $\beta$ были поглощены так, что термин потенциальной энергии представляет собой потенциал мексиканской шляпы четвертой степени ; т. е. демонстрируя спонтанное нарушение симметрии с минимумом при некотором реальном значении $\sigma \in \mathbb {R}$. Интеграл явно находится по форме объема

$*(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dotsm \wedge dx^{m}$

для $m$-мерное многообразие $M$ с определителем $|g|$ метрического тензора $g$.

The $D=d+A$ является связь одноформной и $F$ — соответствующая 2-форма кривизны (это не то же самое, что свободная энергия $F$ отказался от вершины; здесь, $F$ соответствует тензору напряженности электромагнитного поля ). $A$ соответствует векторному потенциалу , но, вообще говоря, неабелев, когда $n>1$, и нормируется по-разному. В физике связь условно записывают как $d-ieA$ для электрического заряда $e$ и векторный потенциал $A$; в римановой геометрии удобнее отбросить $e$ (и все другие физические единицы) и возьмем $A=A_{\mu }dx^{\mu }$ быть одной формой, принимающей значения в алгебре Ли, соответствующей группе симметрии слоя. Здесь группа симметрии — SU(n) , так как при этом остается скалярный продукт $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ инвариант; так вот, $A$ - это форма, принимающая значения в алгебре ${\mathfrak {su}}(n)$.

Кривизна $F$ обобщает напряженность электромагнитного поля на неабелеву настройку как форму кривизны аффинной связи на векторном расслоении . Условно его записывают так

${\begin{aligned}F&=D\circ D\\&=dA+A\wedge A\\&=\left({\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}+A_{\mu }A_{\nu }\right)dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}+[A_{\mu },A_{\nu }]\right)dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\\\end{aligned}}$

То есть каждый $A_{\mu }$ это $n\times n$ кососимметричная матрица. (Дополнительную формулировку этого конкретного обозначения см. в статье о метрической связи .) Чтобы подчеркнуть это, обратите внимание, что первый член функционала Гинзбурга – Ландау, включающий только напряженность поля, равен

${\mathcal {L}}(A)=YM(A)=\int _{M}*(1)\vert F\vert ^{2}$

что представляет собой не что иное, как действие Янга–Миллса на компактном римановом многообразии.

Уравнения Эйлера –Лагранжа для функционала Гинзбурга–Ландау представляют собой уравнения Янга–Миллса

$D^{*}D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi$

и

$D^{*}F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle$

где $D^{*}$ является сопряжением ​ $D$, аналог кодифференциала $\delta =d^{*}$. Обратите внимание, что они тесно связаны с уравнениями Янга–Миллса–Хиггса .

Конкретные результаты

В теории струн принято изучать функционал Гинзбурга–Ландау для многообразия $M$ будучи римановой поверхностью и принимая $n=1$; т. е. линейный пакет . Явление вихрей Абрикосова сохраняется и в этих общих случаях, в том числе $M=\mathbb {R} ^{2}$, где можно указать любой конечный набор точек, в которых $\psi$ исчезает, включая кратность. Доказательство обобщается на произвольные римановы поверхности и кэлеровы многообразия . В пределе слабой связи можно показать, что $\vert \psi \vert$ сходится равномерно к 1, а $D\psi$ и $dA$ сходятся равномерно к нулю, и кривизна становится суммой по распределениям дельта-функций в вихрях. Сумма по вихрям с кратностью равна степени линейного расслоения; в результате можно записать линейное расслоение на римановой поверхности как плоское расслоение с N особыми точками и ковариантно постоянным сечением.

Когда многообразие четырехмерно и обладает спином ^с структуру , то можно написать очень похожий функционал, функционал Зайберга–Виттена , который можно анализировать аналогичным образом и который обладает многими схожими свойствами, включая самодуальность. Если такие системы интегрируемы , их изучают как системы Хитчина .

Самодвойственность

Когда многообразие $M$ является римановой поверхностью $M=\Sigma$, функционал можно переписать так, чтобы явно показать самодвойственность. Этого можно достичь, записав внешнюю производную как сумму операторов Дольбо. $d=\partial +{\overline {\partial }}$. Аналогично, пространство $\Omega ^{1}$ одноформ над римановой поверхностью разлагается на голоморфное и антиголоморфное пространство: $\Omega ^{1}=\Omega ^{1,0}\oplus \Omega ^{0,1}$, так что образуется в $\Omega ^{1,0}$ голоморфны по $z$ и не зависеть от ${\overline {z}}$; и наоборот для $\Omega ^{0,1}$. Это позволяет записать векторный потенциал в виде $A=A^{1,0}+A^{0,1}$ и аналогично $D=\partial _{A}+{\overline {\partial }}_{A}$ с $\partial _{A}=\partial +A^{1,0}$ и ${\overline {\partial }}_{A}={\overline {\partial }}+A^{0,1}$.

Для случая $n=1$, где находится волокно $\mathbb {C}$ так что пучок является линейным расслоением , напряженность поля можно аналогичным образом записать как

$F=-\left(\partial _{A}{\overline {\partial }}_{A}+{\overline {\partial }}_{A}\partial _{A}\right)$

Обратите внимание, что в используемом здесь соглашении о знаках оба $A^{1,0},A^{0,1}$ и $F$ являются чисто мнимыми ( т.е. U(1) порождается $e^{i\theta }$ поэтому производные являются чисто мнимыми). Тогда функционал становится

${\mathcal {L}}\left(\psi ,A\right)=2\pi \sigma \operatorname {deg} L+\int _{\Sigma }{\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}}\left[2\vert {\overline {\partial }}_{A}\psi \vert ^{2}+\left(*(-iF)-{\frac {1}{2}}(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}\right]$

Под интегралом понимается форма объема

$*(1)={\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}}$,

так что

$\operatorname {Area} \Sigma =\int _{\Sigma }*(1)$

это общая площадь поверхности $\Sigma$. $*$ является звездой Ходжа , как и прежде. Степень $\operatorname {deg} L$ линейного пучка $L$ над поверхностью $\Sigma$ является

$\operatorname {deg} L=c_{1}(L)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Sigma }iF$

где $c_{1}(L)=c_{1}(L)[\Sigma ]\in H^{2}(\Sigma )$ это первый класс Черна .

Лагранжиан минимизируется (стационарно), когда $\psi ,A$ решить уравнения Гинзберга – Ландау

${\begin{aligned}{\overline {\partial }}_{A}\psi &=0\\*(iF)&={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\\\end{aligned}}$

Обратите внимание, что оба эти уравнения являются дифференциальными уравнениями первого порядка, явно самодвойственными. Интегрируя второй из них, быстро обнаруживаешь, что нетривиальное решение должно подчиняться

$4\pi \operatorname {deg} L\leq \sigma \operatorname {Area} \Sigma$.

Грубо говоря, это можно интерпретировать как верхний предел плотности вихрей Абрикосова. Можно также показать, что решения ограничены; нужно иметь $|\psi |\leq \sigma$.

В теории струн

В физике элементарных частиц любая квантовая теория поля с уникальным классическим вакуумным состоянием и потенциальной энергией с вырожденной критической точкой называется теорией Ландау–Гинзбурга. Обобщение N = (2,2) суперсимметричных теорий в двух измерениях пространства-времени было предложено Камруном Вафой и Николасом Уорнером в ноябре 1988 года; в этом обобщении предполагается, что суперпотенциал имеет вырожденную критическую точку. В том же месяце вместе с Брайаном Грином они доказали, что эти теории связаны потоком ренормгруппы с сигма-моделями на многообразиях Калаби – Яу . В своей статье 1993 года «Фазы теорий N = 2 в двумерных измерениях» Эдвард Виттен утверждал, что теории Ландау–Гинзбурга и сигма-модели на многообразиях Калаби–Яу представляют собой разные фазы одной и той же теории. Конструкция такой двойственности была получена путем соединения теории Громова – Виттена орбифолдов Калаби – Яу с теорией FJRW и аналогичной теорией «FJRW» Ландау – Гинзбурга. Сигма-модели Виттена позже использовались для описания низкоэнергетической динамики четырехмерных калибровочных теорий с монополями, а также конструкций бран.

См. также

• Закрепление флюса
• Уравнение Гросса – Питаевского
• теория Ландау
• Уравнение Стюарта – Ландау
• Реакционно-диффузионные системы
• Квантовый вихрь
• Пучок Хиггса
• Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound

Ссылки

Статьи

• Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д., Журн. Эксп. Теор. Физ. 20 , 1064 (1950). Английский перевод: Л.Д. Ландау, Сборник статей (Оксфорд: Pergamon Press, 1965), с. 546
• А.А. Абрикосов, Ж.А. Эксп. Теор. Физ. 32 , 1442 (1957) (английский перевод: Sov. Phys. JETP 5 1174 (1957)].) Оригинальная работа Абрикосова о вихревой структуре сверхпроводников II рода, полученной как решение уравнений Г–Л при κ > 1/√2.
• L.P. Gor'kov, Sov. Phys. JETP 36 , 1364 (1959)
• Нобелевская лекция А.А. Абрикосова 2003 г.: pdf-файл или видео
• Нобелевская лекция В.Л. Гинзбурга 2003 г.: pdf-файл или видео