Секция (пучок волокон)

В математической области топологии — сечение (или поперечное сечение ). ^[1] пучка волокон $E$ является непрерывной правой обратной проекции функцией $\pi$ . Другими словами, если $E$ — расслоение над базовым пространством , $B$ :

\pi \colon E\to B

то часть этого расслоения является непрерывным отображением ,

\sigma \colon B\to E

такой, что

\pi (\sigma (x))=x

для всех

x\in B

.

Раздел — это абстрактная характеристика того, что значит быть графом . График функции $g\colon B\to Y$ можно отождествить с функцией, принимающей значения в декартовом произведении $E=B\times Y$ , из $B$ и $Y$ :

\sigma \colon B\to E,\quad \sigma (x)=(x,g(x))\in E.

Позволять $\pi \colon E\to B$ — проекция на первый фактор: $\pi (x,y)=x$ . Тогда график — это любая функция $\sigma$ для чего $\pi (\sigma (x))=x$ .

Язык расслоений позволяет обобщить понятие сечения на случай, когда $E$ не обязательно является декартовым произведением. Если $\pi \colon E\to B$ — расслоение, то сечение — это выбор точки $\sigma (x)$ в каждом из волокон. Состояние $\pi (\sigma (x))=x$ просто означает, что раздел в точке $x$ должен лежать $x$ . (См. изображение.)

Например, когда $E$ — векторное расслоение сечение $E$ является элементом векторного пространства $E_{x}$ лежащий над каждой точкой $x\in B$ . В частности, векторное поле на гладком многообразии $M$ — это выбор касательного вектора в каждой точке $M$ это сечение касательного расслоения : $M$ . Аналогично, 1-форма на $M$ является сечением котангенса .

Сечения, особенно главных расслоений и векторных расслоений, также являются очень важными инструментами дифференциальной геометрии . В этом случае базовое пространство $B$ представляет собой гладкое многообразие $M$ , и $E$ предполагается гладким расслоением над $M$ (т.е. $E$ является гладким многообразием и $\pi \colon E\to M$ — гладкое отображение ). В этом случае рассматривается пространство гладких участков $E$ на открытом сете $U$ , обозначенный $C^{\infty }(U,E)$ . также полезно В геометрическом анализе рассматривать пространства сечений промежуточной регулярности (например, $C^{k}$ сечения или сечения с регулярностью в смысле условий Гёльдера или пространств Соболева ).

Локальные и глобальные разделы

Расслоения вообще не имеют таких глобальных сечений (рассмотрим, например, расслоение над $S^{1}$ с волокном $F=\mathbb {R} \setminus \{0\}$ полученное путем взятия расслоения Мёбиуса и удаления нулевого сечения), поэтому также полезно определять сечения только локально. Локальное сечение расслоения — это непрерывное отображение $s\colon U\to E$ где $U$ представляет собой открытый набор в $B$ и $\pi (s(x))=x$ для всех $x$ в $U$ . Если $(U,\varphi )$ представляет собой тривиализацию локальную $E$ , где $\varphi$ является гомеоморфизмом из $\pi ^{-1}(U)$ к $U\times F$ (где $F$ — слой ), то локальные сечения всегда существуют над $U$ в биективном соответствии с непрерывными отображениями из $U$ к $F$ . (Локальные) секции образуют пучок над $B$ называется пучком сечений $E$ .

Пространство непрерывных участков расслоения $E$ над $U$ иногда обозначается $C(U,E)$ , а пространство глобальных сечений $E$ часто обозначается $\Gamma (E)$ или $\Gamma (B,E)$ .

Распространение на глобальные разделы

Сечения изучаются в теории гомотопий и алгебраической топологии , где одной из основных целей является объяснение существования или отсутствия глобальных сечений . Препятствие отрицает существование глобальных разделов , поскольку пространство слишком «перекручено». Точнее, препятствия «препятствуют» возможности расширения локального раздела до глобального из-за «искривленности» пространства. Препятствия обозначаются особыми характеристическими классами , которые являются когомологическими классами. Например, основной пакет имеет глобальную секцию тогда и только тогда, когда он тривиален . С другой стороны, векторное расслоение всегда имеет глобальное сечение, а именно нулевое сечение . Однако он допускает никуда не исчезающее сечение только в том случае, если его класс Эйлера равен нулю.

Обобщения

Препятствия к расширению локальных сечений можно обобщить следующим образом: возьмем топологическое пространство и сформируем категорию , объектами которой являются открытые подмножества, а морфизмы - включения. Таким образом, мы используем категорию для обобщения топологического пространства. Мы обобщаем понятие «локального сечения» с помощью пучков абелевых групп , которые присваивают каждому объекту абелеву группу (аналог локальных сечений).

Здесь есть важное различие: интуитивно локальные сечения подобны «векторным полям» на открытом подмножестве топологического пространства. элемент фиксированного Таким образом, в каждой точке назначается векторного пространства. Однако пучки могут «непрерывно изменять» векторное пространство (или, в более общем смысле, абелеву группу).

Весь этот процесс на самом деле представляет собой функтор глобального сечения , который присваивает каждому пучку его глобальный раздел. Тогда пучковые когомологии позволяют нам рассмотреть аналогичную задачу расширения при «непрерывном изменении» абелевой группы. Теория характеристических классов обобщает идею препятствий нашим расширениям.

См. также

Примечания

^ Хусмёллер, Дейл (1994), Пучки волокон , Springer Verlag, стр. 12, ISBN 0-387-94087-1

Ссылки

Норман Стинрод , Топология пучков волокон , Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6 .
Дэвид Бликер, Калибровочная теория и вариационные принципы , издательство Addison-Wesley, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7 .
Хуземеллер, Дейл (1994), Пучки волокон , Springer Verlag, ISBN 0-387-94087-1

Внешние ссылки

Пакет волокон , PlanetMath
Вайсштейн, Эрик В. «Пучок волокон» . Математический мир .

[1] Хусмёллер, Дейл (1994), Пучки волокон , Springer Verlag, стр. 12, ISBN 0-387-94087-1

[1]