Теория препятствий
В математике теория препятствий — это название двух различных математических теорий , обе из которых дают когомологические инварианты .
В оригинальной работе Штифеля и Уитни характеристические классы определялись как препятствия к существованию определенных полей линейных независимых векторов . препятствий оказывается приложением теории когомологий к задаче построения сечения расслоения Теория .
В теории гомотопий [ править ]
Старое значение теории препятствий в гомотопической теории относится к процедуре, индуктивной по размерности, для расширения непрерывного отображения, определенного на симплициальном комплексе или комплексе CW . Ее традиционно называют теорией препятствий Эйленберга , в честь Сэмюэля Эйленберга . Он использует группы когомологий с коэффициентами в гомотопических группах для определения препятствий к расширениям. Например, при отображении симплициального комплекса X в другой, Y , первоначально определенном на 0-остове X ( вершинах X ), расширение до 1-скелета будет возможно всякий раз, когда образ 0-остова будет принадлежать одной и той же линейной связности компоненте Y . Расширение от 1-скелета до 2-скелета означает определение отображения для каждого сплошного треугольника из X с учетом отображения, уже определенного на его граничных ребрах. Аналогично, затем расширение отображения на 3-скелет включает в себя расширение отображения на каждый твердый 3-симплекс X с учетом отображения, уже определенного на его границе.
В какой-то момент, скажем, при расширении отображения с (n-1)-скелета X на n-скелет X , эта процедура может оказаться невозможной. В этом случае каждому n-симплексу можно приписать гомотопический класс π n-1 ( Y ) отображения, уже определенного на его границе (по крайней мере одно из которых будет ненулевым). Эти назначения определяют n-коцепь с коэффициентами из π n-1 ( Y ) . Удивительно, но эта коцепь оказывается коциклом и , таким образом, определяет класс когомологий в n-й группе когомологий X с коэффициентами из π n-1 ( Y ) . Когда этот класс когомологий равен 0, оказывается, что отображение может быть изменено в пределах своего гомотопического класса на (n-1)-остове X так, что отображение может быть расширено до n-остова X . Если класс не равен нулю, он называется препятствием к расширению отображения на n-остове, учитывая его гомотопический класс на (n-1)-остове.
Препятствие к расширению раздела основного пакета [ править ]
Строительство [ править ]
Предположим, что B — односвязный симплициальный комплекс и что p : E → B — расслоение со F. слоем , предположим, что у нас есть частично определенное сечение σ n : B n → E на n -остове B Кроме того .
Для каждого ( n + 1) -симплекса ∆ в B . σ n можно ограничить границей ∂∆ (которая является топологической n -сферой ) Поскольку p отправляет каждое σ n ( ∂Δ ) обратно в ∂Δ , σ n определяет отображение n -сферы в p −1 ( Δ ) . Поскольку расслоения удовлетворяют свойству гомотопического подъема Δ стягиваемо ; и п −1 ( ∆ ) эквивалентен гомотопически F . Таким образом, этот частично определенный раздел присваивает элемент из π n ( F ) каждому ( n + 1) -симплексу. Это в точности данные π n ( F ) -значной симплициальной коцепи степени n + 1 на B , т. е. элемента из C п + 1 (В; π п ( F )) . Эта коцепь называется коцепью препятствий, поскольку ее нулевой размер означает, что все эти элементы из π n ( F ) тривиальны, а это означает, что наше частично определенное сечение может быть расширено до ( n + 1) -скелета с помощью гомотопии между (частично определенным участком на границе каждого Δ ) и постоянным отображением.
Тот факт, что эта коцепь произошла из частично определенного сечения (в отличие от произвольного набора отображений всех границ всех ( n + 1) -симплексов), можно использовать для доказательства того, что эта коцепь является коциклом. Если начать с другого частично определенного сечения σ n , которое согласуется с исходным на ( n − 1) -скелете, то можно также доказать, что полученный коцикл будет отличаться от первого кограницей. Следовательно, мы имеем корректно определенный элемент группы когомологий H п + 1 ( B ; π n ( F )) такой, что если существует частично определенное сечение на ( n + 1) -остове, которое согласуется с заданным выбором на ( n - 1) -скелете, то этот класс когомологий должен быть тривиальным.
Обратное также верно, если допустить такие вещи, как гомотопические сечения , то есть отображение σ : B → E такое, что p ∘ σ гомотопно (а не равно) тождественному отображению на B . Таким образом, он обеспечивает полный инвариант существования сечений с точностью до гомотопии на ( n + 1) -остове.
Приложения [ править ]
- Проводя индукцию по n , можно построить первое препятствие для сечения как первый из вышеупомянутых классов когомологий, который не равен нулю.
- Это можно использовать для поиска препятствий на пути тривиализации главных расслоений .
- Поскольку любое отображение можно превратить в расслоение препятствия для существования подъема (с точностью до гомотопии) отображения в B до отображения в E, даже если p : E → B , эту конструкцию можно использовать, чтобы увидеть, существуют ли не расслоение.
- Это имеет решающее значение для построения систем Постникова .
В геометрической топологии [ править ]
В геометрической топологии теория препятствий связана с тем, когда топологическое многообразие имеет кусочно-линейную структуру и когда кусочно-линейное многообразие имеет дифференциальную структуру .
В размерности не выше 2 (Радо) и 3 (Мойз) понятия топологических многообразий и кусочно-линейных многообразий совпадают. В измерении 4 они не одинаковы.
В размерностях не выше 6 понятия кусочно-линейных многообразий и дифференцируемых многообразий совпадают.
В теории хирургии [ править ]
Два основных вопроса теории хирургии ли топологическое пространство с n -мерной двойственностью Пуанкаре является гомотопически эквивалентным многообразию n мерному - , а также является ли гомотопическая эквивалентность многообразий n -мерных гомотопной диффеоморфизму заключаются в том , . В обоих случаях существуют два препятствия для n>9 , первичное препятствие топологической K-теории для существования векторного расслоения : если оно исчезает, существует нормальное отображение , позволяющее определить препятствие вторичной хирургии в алгебраической L- теории выполнение операции на нормальном отображении для получения гомотопической эквивалентности .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Хуземеллер, Дейл (1994), Пучки волокон , Springer Verlag, ISBN 0-387-94087-1
- Стинрод, Норман (1951), Топология пучков волокон , Princeton University Press, ISBN 0-691-08055-0
- Скорпан, Александру (2005). Дикий мир 4-многообразий . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3749-4 .