Гомотопическое волокно

В математике , особенно в теории гомотопий , гомотопический слой (иногда называемый слоем отображения ) является частью конструкции, которая сопоставляет расслоение с произвольной непрерывной функцией топологических пространств. $f:A\to B$. Он действует как гомотопическое теоретико-ядро отображения топологических пространств, поскольку дает длинную точную последовательность гомотопических групп.

$\cdots \to \pi _{n+1}(B)\to \pi _{n}({\text{Hofiber}}(f))\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(B)\to \cdots$

Более того, гомотопический слой можно найти и в других контекстах, например в гомологической алгебре, где выделенный треугольник

$C(f)_{\bullet }[-1]\to A_{\bullet }\to B_{\bullet }\xrightarrow {[+1]}$

дает длинную точную последовательность, аналогичную длинной точной последовательности гомотопических групп. Существует двойственная конструкция, называемая гомотопическим кослоем .

Строительство

Гомотопический слой имеет простое описание непрерывного отображения. $f:A\to B$. Если мы заменим $f$ расслоением, то гомотопический слой — это просто слой замещающего расслоения. Напомним такую ​​конструкцию замены отображения расслоением:

Учитывая такое отображение, мы можем заменить его расслоением , определив пространство путей отображения. $E_{f}$ быть набором пар $(a,\gamma )$ где $a\in A$ и $\gamma :I\to B$ (для $I=[0,1]$) путь такой, что $\gamma (0)=f(a)$. Мы даем $E_{f}$ топологию, придав ей топологию подпространства как подмножество $A\times B^{I}$ (где $B^{I}$ это пространство путей в $B$ которое как функциональное пространство имеет компактно-открытую топологию ). Тогда карта $E_{f}\to B$ данный $(a,\gamma )\mapsto \gamma (1)$ является расслоением. Более того, $E_{f}$ эквивалентен гомотопически ​ $A$ следующим образом: Встроить $A$ как подпространство $E_{f}$ к $a\mapsto \gamma _{a}$ где $\gamma _{a}$ это постоянный путь в $f(a)$. Затем $E_{f}$ деформация возвращается в это подпространство, сжимая пути.

Слоем этого расслоения (которое корректно определено только с точностью до гомотопической эквивалентности) является гомотопический слой

${\begin{matrix}{\text{Hofiber}}(f)&\to &E_{f}\\&&\downarrow \\&&B\end{matrix}}$

который можно определить как совокупность всех $(a,\gamma )$ с $a\in A$ и $\gamma :I\to B$ путь такой, что $\gamma (0)=f(a)$ и $\gamma (1)=*$ для некоторой фиксированной базовой точки $*\in B$. Следствием этого определения является то, что если две точки $B$ находятся в одной компоненте линейной связности, то их гомотопические слои гомотопически эквивалентны.

предел

Другой способ построить гомотопический слой отображения — рассмотреть гомотопический предел ^{стр. 21} диаграммы

${\underset {\leftarrow }{\text{holim}}}\left({\begin{matrix}&&*\\&&\downarrow \\A&\xrightarrow {f} &B\end{matrix}}\right)\simeq F_{f}$

это потому, что вычисление гомотопического предела равнозначно нахождению обратного пути диаграммы

${\begin{matrix}&&B^{I}\\&&\downarrow \\A\times *&\xrightarrow {f} &B\times B\end{matrix}}$

где вертикальная карта — это исходная и целевая карта пути $\gamma :I\to B$, так

$\gamma \mapsto (\gamma (0),\gamma (1))$

Это означает, что гомотопический предел находится в наборе отображений

$\left\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}:f(a)=\gamma (0){\text{ and }}\gamma (1)=*\right\}$

что в точности является гомотопическим слоем, как определено выше.

Если $x_{0}$ и $x_{1}$ можно соединить путем $\delta$ в $B$, то диаграммы

${\begin{matrix}&&x_{0}\\&&\downarrow \\A&\xrightarrow {f} &B\end{matrix}}$

и

${\begin{matrix}&&x_{1}\\&&\downarrow \\A&\xrightarrow {f} &B\end{matrix}}$

гомотопически эквивалентны диаграмме

${\begin{matrix}&&[0,1]\\&&\downarrow {\delta }\\A&\xrightarrow {f} &B\end{matrix}}$

и, следовательно, гомотопические слои $x_{0}$ и $x_{1}$ изоморфны по ${\text{hoTop}}$. Поэтому мы часто говорим о гомотопическом слое отображения без указания базовой точки.

Свойства

Гомотопический слой расслоения

В особом случае, когда исходная карта $f$ было расслоением с волокном $F$, то гомотопическая эквивалентность $A\to E_{f}$ данное выше будет отображением расслоений над $B$. Это вызовет морфизм их длинных точных последовательностей гомотопических групп которого (применяя лемму пяти , как это делается в последовательности Пуппе ) можно увидеть, что отображение F → Ff _{, из} является слабой эквивалентностью . Таким образом, приведенная выше конструкция воспроизводит тот же гомотопический тип, если он уже существует.

Двойственность с картографическим конусом

Гомотопический слой двойственен конусу отображения , так же как пространство путей отображения двойственно цилиндру отображения .

Примеры

Пространство цикла

Учитывая топологическое пространство $X$ и включение точки

$\iota :\{x_{0}\}\hookrightarrow X$

тогда гомотопический слой этого отображения будет

$\left\{(x_{0},\gamma )\in \{x_{0}\}\times X^{I}:x_{0}=\gamma (0){\text{ and }}\gamma (1)=x_{0}\right\}$

что такое пространство цикла $\Omega X$.

Из укрытия

Учитывая универсальное покрытие

$\pi :{\tilde {X}}\to X$

гомотопический слой ${\text{Hofiber}}(\pi )$ имеет собственность

$\pi _{k}({\text{Hofiber}}(\pi ))={\begin{cases}\pi _{0}(X)&k<1\\0&k\geq 1\end{cases}}$

в чем можно убедиться, взглянув на длинную точную последовательность гомотопических групп расслоения. Это анализируется ниже, рассматривая башню Уайтхеда.

Приложения

Postnikov tower

Одним из основных применений гомотопического слоя является построение башни Постникова . Для (достаточно хорошего) топологического пространства $X$, мы можем построить последовательность пространств $\left\{X_{n}\right\}_{n\geq 0}$ и карты $f_{n}:X_{n}\to X_{n-1}$ где

$\pi _{k}\left(X_{n}\right)={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k\leq n\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}$

и

$X\simeq {\underset {\leftarrow }{\text{lim}}}\left(X_{k}\right)$

Теперь эти карты $f_{n}$ может быть построено итеративно с использованием гомотопических слоев . Это потому, что мы можем взять карту

$X_{n-1}\to K\left(\pi _{n}(X),n-1\right)$

представляющий класс когомологий в

$H^{n-1}\left(X_{n-1},\pi _{n}(X)\right)$

и построим гомотопический слой

${\underset {\leftarrow }{\text{holim}}}\left({\begin{matrix}&&*\\&&\downarrow \\X_{n-1}&\xrightarrow {f} &K\left(\pi _{n}(X),n-1\right)\end{matrix}}\right)\simeq X_{n}$

Кроме того, обратите внимание на гомотопический слой $f_{n}:X_{n}\to X_{n-1}$ является

${\text{Hofiber}}\left(f_{n}\right)\simeq K\left(\pi _{n}(X),n\right)$

показывая, что гомотопический слой действует как гомотопическое ядро. Обратите внимание, что этот факт можно показать, рассмотрев длинную точную последовательность слоя, образующего гомотопический слой.

Карты с башни Уайтхед

Двойственное понятие башни Постникова — это башня Уайтхеда , дающая последовательность пространств. $\{X^{n}\}_{n\geq 0}$ и карты $f^{n}:X^{n}\to X^{n-1}$ где

$\pi _{k}\left(X^{n}\right)={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k\geq n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

следовательно $X^{0}\simeq X$. Если мы возьмем индуцированное отображение

$f_{0}^{n+1}:X^{n+1}\to X$

гомотопический слой этого отображения восстанавливает $n$-th postnikov approximation $X_{n}$ поскольку длинная точная последовательность расслоения

${\begin{matrix}{\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)&\to &X^{n+1}\\&&\downarrow \\&&X\end{matrix}}$

мы получаем

${\begin{matrix}\to &\pi _{k+1}\left({\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)\right)&\to &\pi _{k+1}(X^{n+1})&\to &\pi _{k+1}(X)&\to \\&\pi _{k}\left({\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)\right)&\to &\pi _{k}\left(X^{n+1}\right)&\to &\pi _{k}(X)&\to \\&\pi _{k-1}\left({\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)\right)&\to &\pi _{k-1}\left(X^{n+1}\right)&\to &\pi _{k-1}(X)&\to \end{matrix}}$

что дает изоморфизмы

$\pi _{k-1}\left({\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)\right)\cong \pi _{k}(X)$

для $k\leq n$.

См. также

• Гомотопическое коволокно
• Квазирасслоение
• Резолюция Адамса

Ссылки

• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79540-0 .